牛顿第二定律的系统表达式及应用 一中

牛顿第二定律的系统表达式

一、整体法和隔离法处理加速度相同的连接体问题 1.加速度相同的连接体的动力学方程：

F 合 = （m 1+m 2+……）a

分量表达式： F x = （m 1+m 2+……）a x

F y = （m 1+m 2+……）a y

2. 应用情境：已知加速度求整体所受外力或者已知整体受力求整体加速度。

例1、如图，在水平面上有一个质量为M 的楔形木块A ，其斜面倾角为α，一质量为m 的木块B 放在A 的斜面上。现对A 施以水平推力F ， 恰使B 与A 不发生相对滑动，忽略一切摩擦，则B 对 A 的压力大小为( BD )

A 、 mgcos α

B 、mg/cos α

C 、FM/(M+m)cos α

D 、Fm/(M+m)sin α

★题型特点：隔离法与整体法的灵活应用。

★解法特点：本题最佳方法是先对整体列牛顿第二定律求出整体加速度，再隔离B 受力分析得出A 、B 之间的压力。省去了对木楔受力分析（受力较烦），达到了简化问题的目的。

例2.质量分别为m 1、m 2、m 3、m 4的四个物体彼此用轻绳连接，放在光滑的桌面上，拉力F 1、F 2分别水平地加在m 1、m 4上，如图所示。求物体系的加速度a 和连接m 2、m 3轻绳的张力F 。（F 1＞F 2）

例3、两个物体A 和B ，质量分别为m 1和m 2，互相接触放在光滑水平面上，如图所示，对物体A 施以水平的推力F ，则物体A 对B 的作用力等于 ( )

A ．F B.m 2

m 1＋m 2

F

C.m 1m 2F

D.m 1

m 1＋m 2

F

3、B 解析：首先确定研究对象，先选整体，求出A 、B 共同的加速度，再单独研究B ，B 在A 施加的弹力作用下加速运动，根据牛顿第二定律列方程求解．

将m 1、m 2看做一个整体，其合外力为F ，由牛顿第二定律知，F=(m 1+m 2)a ，再以m 2为研究对象，受力分析如右图所示，由牛顿第二定律可得：F 12=m 2a ，以上两式联立可得：F 12= ，B 正确．

例4、在粗糙水平面上有一个三角形木块a ，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m 1和m 2的两个木块b 和c ，如图1所示，已知m 1＞m 2，三木块均处于

静止，则粗糙地面对于三角形木块（ D ）

A ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向右。

B ．有摩擦力作用，摩擦力的方向水平向左。

C ．有摩擦力作用，组摩擦力的方向不能确定。

D ．没有摩擦力的作用。

b c

a α A B

F

二、对加速度不同的连接体应用牛顿第二定律 1．加速度不同的连接体的动力学方程：

F 合 = m 1 a 1 +m 2 a 2 +……

分量表达式： F x = m 1 a 1x +m 2 a 2x +……

F y = m 1 a 1y +m 2 a 2y +……

2. 应用情境：对已知系统内各物体的加速度，求某个外力，或已知系统内的各物体受外力情况，求某个物体的加速度。

例1、(2004,全国理综四）如图，在倾角为α的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫。已知木板的质量是猫的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为（ C ）

A ．gsin α/2

B ．gsin α

C ．3gsin α/2

D ．2gsin α

解析：设猫的质量为m ，则木板的质量为2m.先取猫为研究对象，因猫对地静止，所以木板对猫必有沿着斜面向上的作用力，大小为F ＝mgsinα；再以木板为研究对象，由牛顿第三定律，猫对木板必有沿斜面向下的作用力F ，据牛顿第二定律对木板列方程有F ＋2mgsinα＝2ma ，a ＝3

2

gsinα.

答案：C

例2．如图所示，有一只质量为m 的猫，竖直跳上一根用细绳悬挂起来的质量为M 的长木柱上。当它跳上木柱后，细绳断裂，此时猫要与地面保持不变的高度，在此过程中，木柱对地的加速度为______________。

2. 答案 a ＝M ＋m

M

g 竖直向下

甲 乙

解析 由于小猫对地的高度不变，故小猫下落的加速度为零小猫受力如右图甲所示，由牛顿第二定律得：F f －mg ＝0

由牛顿第三定律知，小猫对杆的摩擦力F f ′的方向向下，木杆受力情况如上图乙所示，由牛顿第二定律可知：F f ′＋Mg ＝Ma ，

由①②式可知，杆的下落加速度为 a ＝M ＋m M g ，方向竖直向下．

例3．如图所示为杂技“顶竿”表演，一人站在地上，肩上扛一质量为M 的竖直

竹竿，当竿上一质量为m 的人以加速度a 加速下滑时，竿对地面上的人的压力大小为( )

A ．(M ＋m )g －ma

B ．(M ＋m )g ＋ma

C ．(M ＋m )g

D ．(M －m )g

解析：当竿上一质量为m 的人以加速度a 加速下滑时，竿与人所组成的系统处于失重状态，竿对地面上的人的压力大小为(M ＋m )g －ma .本题也可分步求解，对m 有：mg －F f ＝ma ；对M 有：Mg ＋F f ′＝F N ，由牛顿第三定律得F f 与F f ′大小相等，同样可得F N ＝(M ＋m )g －ma ，故选项A 正确．

答案：A

例4、（2003年辽宁）如图所示，质量为M 的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β。a 、b 为两个位于斜面上的质量均为m 的小木块，已知所有的接触面都是光滑的，现发现a 、b 沿斜面下滑，而楔形木块不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于（ ）

A ．Mg mg +

B ．2Mg mg +

C ．(sin sin )Mg mg αβ++

D ．(cos cos )Mg mg αβ++

★解析：取a 为研究对象，受到重力和支持力的作用，则加速度沿斜面向下，设大小为1a ，由牛顿第二定律得：1sin mg ma α= ⇒ 1sin a g α= 同理，b 的加速度也沿斜面向下，大小为：2sin a g β=。

将1a 和2a 沿水平方向和竖直方向进行分解，a 、b 竖直方向的分加速度分别为

2212sin sin y y a g a g αβ==

再取a 、b 和楔形木块的组成的整体作为研究对象，仅在竖直方向受到重力和桌面支持力

N F ，由牛顿第二定律得

a

b α

β

M