小波与傅里叶的区别

小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标 ，而且还有时间的指标 。也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 ，在不同时刻 ，小波系数也是不同的。这样就克服了上面所述的第一个不足。
由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。
小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。
根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。
为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。
选择小波函数的“四项原则”。
小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。
为了克服以上两点局限性，这就要求：
（1） 将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
小波分析之前，大家曾尝试着用加窗傅里叶变换，加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减小 ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
（1） 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。（举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。
在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。
Байду номын сангаас
傅里叶变换将信号分解到正余弦函数上，得到信号的频域特征，这些特征是信号的整体特征，体现不出信号的局部特征。在一些情况下，需要联合分析信号的时、频特征。此时傅里叶变换无能为力。（当然包括快速傅里叶变换）
短时傅里叶变换可以在一定程度上解决这个问题，它又叫加窗傅利叶变换，但是由于窗函数固定，无法兼顾时域分辨率和频域分辨率。（根据海森堡测不准定理，它在时频分析时将受到分辨率的限制。也即增加时域分辨率，必将降低频域分辨率，反之亦然。）
（2） 求傅立叶系数是全时间域上的加权平均，(这里因为没有办法显示数学公式，简单的说明，就是傅里叶表达式里的系数表达式ak和bk前面都有2/N）局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来（好比吃大锅饭，平均主义）。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。
后记
遗憾的是，上帝像是有意考验我们的数学家，没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类。数学家们已经证明，具有正交、线性相位、紧支撑的小波函数只有 Harr函数，而Harr函数是间断函数，对于工程应用来说，是不理想的。
目前比较新的研究是CS（当然不是警匪枪战的那个，是compressed sensing)，中文大家翻译压缩感知理论，是在盲源分离和稀疏分解理论基础上的一个和成品吧。用这种方法，采样就可以比Nyquist–Shannon sampling theorem里的少很多，减轻计算机硬件压力。利用L1范数之类的方法，可以有很大概率，甚至满足一定条件可以达到唯一解，即能恢复到原来信号的模样。
小波变换将信号分解为不同尺度上的分量。突破了加窗傅里叶变换的局限。在大尺度上的信号分量具有较好的时域分辨率，在小尺度上的信号分量具有较好的频域分辨率。
原因有三：
（1） 傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况；
（2）求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特征；
（3）加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。