微积分第一章预备知识

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函数表示的其他分类： （1）显函数 y f ( x)
（2）隐函数 由方程 F(x, y) 0 确定的函数
（3）参数式函数
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由 参 数 方 程 xy 遵义师院数学系杨梅
x(t) 确定的函数 y(t )
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[例1]
椭 圆 ：
x y
a b
cos t sint
t [0, 2 ]
对 应 规 则f 表 示 f () 2 2 1
f (1) 2 12 1
f ( 1 ) 2( 1 )2 1
x
x
f (2t 1) 2(2t 1)2 1
例: y x与y x2 定义域不同，
x
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表 示 的 是 不 同 的 函 数 遵义师院数学系杨梅
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三、函数的初等性质
这是一个由 f (D)到D 新的对应关系, 称为函数
y f ( x)的反函数.
记作 x f 1( y) y f (D)
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由定义可以知道：
反 函 数 f 1 的 定 义 域 是 函 数 f 的 值 域 f ( D)；
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
每一个x D,都有 f ( x ) N
则称函 数f 在 D 上是有 下界的.
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(3) 既有上界又有下界的函数, 称为 有 界 函数.
即存在一个正数M 0, 使得对于
每一个x D,成立 f (x) M.
[例] y e x 和 y e x x (, )
D( f ) R(g) .
所以, 不能构成复合函数 f (g( x)).
(4) y f (u) ln u, u g( x) x2 1,
则有 f ( g( x)) ln( x2 1), x (, 1) (1, ).
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2. 反函数
在函数定义中，要求函数是单值的，即
R { x x是实数}
实数集
C { x iy x, y R} 复数集
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7来自百度文库
2. 邻域 设 x0 R, 0 数集{ x x x0 }称为点x0 的 邻域
记作 N ( x0, ).
x x0 x0 x x0
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4、其它符号 （1）阶乘符号 （2）连加与连乘符号
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二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
[例] y 1 在( , 0) (0, )上是无界的.
x 对任意的M 0, 取 x*
1
,则有
2M
1
2M M
x x x*
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四、 复合函数与反函数
1. 复合函数
定义： 假 定 给 了 两 个 函 数y f (u)和
u g( x),并 且 g的 值 域R( g)与 f 的 定 义 域D( f )的 交 集 非 空, 这 时 在 集 合
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
{ y y R, y f ( x), x D}— 值 域 f (D)
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或R( f ) 11
函数的两个要素：
1.对应规则 f
2.定义域 D
例 ：f ( x) 2x2 1
Qd f ( p) 则称此函数为需求函数.
需求函数 Qd f ( p) 一般是 p 的递减函数. 最常见、最 简单的需求函数是如下形式的线性需求函数
Qd f ( p) ap b (a、b均为正常数)
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这个函数的几何形态, 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图.
x0 O
x0
x0
x
N(x0, ) {x x x0 } (x0 , x0 )
数 集{ x 0 x x0 } N *( x0, )称 为
点 x 的 空 心 邻 域 ( x 2020/08/7
0 遵义师院数学系杨梅
, x0
) { x8 0 }
3.逻辑符号
[例2]
圆：
x
y
x0 y0
r cos t r sint
t [0, 2 ]
[例3]
摆 线 ： xy
a(t sint) a(1 cos t)
,a 0
a•
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2a 遵义师院数学系杨梅
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[例4]
星 形 线 ： x y
a cos3 t a sin3 t
t [0, 2 ]
内旋轮线
Qd
b
o
b a
p
特别地, 当价格 p=0时, 需求量 Qd=b , 它表示人们的 需要是有限的. b/a 为最大销售价格, 此时需求量为零.
当然价格 p 也可表示成需求量Qd的函数, p g(Qd ) 称
作价格函数.
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例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增
加3元就少买300件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数. 解 设价格由70元增加 k个3元, 则
第二节 函数
概念、函数的初等性质、复合函数与 反函数、初等函数
第三节 切线与速度、面积与路程
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一、集合与符号
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
Z {0， 1， 2,， n,} 整数集
Q { p p, q为 互 质 的 整 数} 有理数集 q
微积分
讲课教师 杨 梅
Tel: 13648520111
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高等数学的基本特征 抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
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关于学习高数的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
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x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
有反函数
是严格单调函数
x f 1( y) ln y y (0, )
1. 函数的奇偶性
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为奇函数
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为偶函数
2. 函数的增减性
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
（f ( x1 ) f ( x2 )）,称 f 为 单 调 增 函 数
反双曲余弦 arccoshx ln(x x2 1)
反双曲正切
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x [1, )
arctanhx 1 ln 1 x 2 1 x
x (1, 1)
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4、非初等函数的例子 1,
（1）符号函数
y
sgn
x
0,
y
1
1,
x 0, x 0, x 0.
O•
x
因 为x (, ), 有 e x 0 和 e x 0
所以, y e x和 y e x 在(, )上,
有 下 界, 无 上 界.
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[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对 任 意 的 正 数M 0,总 存 在x* D,
使 得 f ( x* ) M ,则 称 函 数 f 在 D 上 无 界.
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
y f (D), ! x D, 使得 y f ( x)
（5）三角函数 sin x, cos x, tan x, cot x
（6）反三角函数
都是周期函数
arcsin x, arccos x, arctan x, arc cot x
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2、初等函数 基本初等函数经过有限次的四则运算
及复合运算所得到的函数, 称为初等函数.
（严格单 调增函数)
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
( f ( x1 ) f ( x2 ) ),称 f 为 单 调 减 函 数
（严 格 单 调 减 函 数) 2020/8/7
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3. 函数的周期性
T 0,x R f ( x T ) f ( x ) 称 f 为周期函数 若 f 有最小周期T ,则称T 是 f 的周期
D {x x D(g), 且 g( x) D( f )}上,
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
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记作 f g
即 f g( x) : f (g( x))
例 (1) y f (u) eu , u g( x) sin x,
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本期学习内容：
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算 微分学应用
不定积分
• 一元函数积分 定积分概念与计算
积分学应用
• 简单微分方程
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第一章 预备知识
第一节 集合与符号
3、双曲函数（工程函数） 双曲正弦 sinh x 1 (e x ex ) 2
双曲余弦 cosh x 1 (e x ex ) 2
双曲正切
tanh
x
sinh x cosh x
ex ex
ex ex
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x ( , ) 遵义师院数学系杨梅
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反双曲正弦 arcsinhx ln(x 1 x2 ) x (, )
a
2
2
2
隐 函 数 方 程 ：x 3 y 3 a 3 , a 0
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六、经济学中常用的函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及 商品价格等等因素的影响. 但最主要的是价格因素; 若 不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即
则有 f ( g( x)) esin x x ( , )
(2) y f (u) u, u g( x) x2 ,
则有 f (g( x)) x2 x
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x (, )
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(3) f (u) arcsin u, g( x) e x 1.
因为 D( f ) [1, 1], R(g) (1, ),
（1）全称量词“” “” 表 示 “ 任 意 的 ” 。 例如“：x R”表示“对于任意的实数x”。
（2） 存 在 量 词 “” “”表示“存在”。 例如“：a,b Q,a b,c Q且c （a,b）”
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a , b之 间 ， 存 在
有 理 数c". 2020/8/7
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[注意] x x sgn x
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（2）取整函数
y x: k (k x k 1, k Z )
[例如] 2.5 2 y 2.5 3
3
•
2
•
1 •
3 2 1 •
x
O 1234
• 1
• 2
•
3
[注意] 2020/8/7
x x x 1 遵义师院数学系杨梅 ( x R)
习惯上, 记 y ln x x (0, )
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五、 初等函数
1、基本初等函数
（1）常量函数 y c (常 数) （2）幂函数 y x
e是无理数
（3）指数函数 y a x (a 0) y e x
（4）对数函数 y log a x y ln x : loge x
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
1, 当x为有理数
(x)
0,
当x为无理数
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4. 函数的有界性
定义： (1) 如果存在一个实数M , 使得对 每一个x D,都有 f ( x ) M, 则称函 数f 在 D 上是有 上界的.
(2) 如果存在一个实数N , 使得对