第五章__大数定律与中心极限定理

0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
易知，当n变大时，这些图形越来越接近正态
分布的密度曲线.
定义1 设Fn (x), n 1, 2,...F(x)分别为随机变量序列， {X n}(n 1, 2,...)及随机变量X的分布函数，若对 F (x)的任一连续点x,有
分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、 大气折射偏差X2,温度变化偏差X3、估读误差 造成的偏差X4等等，这些偏差Xi 对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影
响，虽然每个Xi的分布并不知道，但 X Xi
却服从正态分布。
例如：
设随机变量序列X n独立同分布于两点分布B(1, p),
Xi
1
c
n
2
所以lim P( n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
)
1
●切比雪夫大数定律表明，当n很大时，
X1，X2 ,…，Xn的算术平均值
1 n
X n i1 X i
的取值，集中在其数学期望
E(X
)
1 n
n
i 1
E(Xi
)
附近。
推论 设随机变量序列X1, X 2, X n 相互独立,
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
切比雪夫不等式也可以写成
P(| X | ) 1 2 2
第一节 大数定律
大数定律— 概率论中有关阐明大量随机现象平 均结果的稳定性的一系列定理。
迄今为止,人们已发现很多大数定律(laws of large numbers),所谓大数定律，简单地说，就是大 量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般 用随机变量序列的某种收敛性来刻画。
n
那么其部份和Yn X k服从二项分布B(n, p)， k 1 分别对n 5,10, 20画出二项分布密度b(n,0.5)的图形
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
且具有相同的期望和方差：E( Xi )=,D( Xi )= 2,
则对任意正数，有lim P( n
1 n
n i1
Xi
) 1
这使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。
如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n
次，得n个测量值 X1, X 2, , X n，它们可以看成是n个相
互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望μ
从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以 用事件发生的频率来近似代替概率。
若记
1, 第i次实验中事件A发生 Xi 0，第i次实验中事件A不发生
(i 1, 2
n)
n
则n Xi ,
i 1
n
n
1 n
n i 1
Xi,
1n
1n
p n i1 P( A) n i1 E( X i ),
从而定理可写成：
P
lim
n
X
n
X
1,
我们称随机变量序列X1, X 2, X n ,
以概率1收敛于X，或说几乎处处收敛于X，
并记为lim n
Xn
X，a.s.或X n a.s.X。
定义3 设X1, X 2, X n , 是一个随机变量序列，
数学期望E( X n )存在，令
X n
1 n
n i1
Xi
若
lim[ X
从而E( n ) p,
n
D( n
n
)
1 n2
D(n )
p(1 p) n
由切比雪夫不等式，P{|
X
EX
|
}
1
DX
2
P(
n
n
p
) 1
D( n )
n
2
1
p(1 p)
2n
令n
1 p(1 p) 1
2n
从而 lim P( n p ) 1
n
n
●伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其频率的稳定性。
第五章 大数定律及中心极限定理
第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
第5章概述
大数定律和中心极限定理就是使用极限方法 研究大量随机现象统计规律性.
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的 一系列定律都称为大数定律.
论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某 一分布的定理称为中心极限定理.
契比雪夫不等式
lim P n
1 n
n i1
X
i
源自文库
－
1 n
n i1
E( Xi )
1
2.切比雪夫大数定律
设相互独立的随机变量序列X1, X 2 , X n 的数学期望与方差都存在,且存在常数c,使得
D( Xi ) c(i 1, 2 ),则对任意 0,有
lim P(
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
)
1
证明: 由期望与方差的性质知
E(1
n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E( Xi )
D(1 n
n i 1
X i )
1 n2
n
D( X i )
i 1
1 n2
nc
c n
利用切比雪夫不等式,
1
P(
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
)
1 1
2
D
1 n
n i1
和方差 2，
由大数定律知，只要n充分大，则以接近于1的概率保证
1 n
n i1
Xi
这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定
律
第二节 中心极限定理
人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大 量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此， 正态分布占有特别重要的地位。
那么，如何判断一个随机变量服从正态分布 显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知 道，很多工程测量中产生的误差X都是服从正态分 布的随机变量。
n
n
E( X n )]
0, (P),
则称随机序列｛Xn｝服从大数定律。
1.伯努利大数定律
定理5.1设试验E重复进行了n次, 事件A在每次实验中出现的
概率为p, n表示事件A发生的次数,则对任意 0,有
lim P{| n p | } 1
n
n
证明: 因为n ~ b(n, p), 故E(n ) np, D(n ) np(1 p)
定义1 设X1, X 2 , X n , 是一个随机变量序列，
a是一个常数，若对任意正数，有
lim
n
P{|
X
n
a
|
}
1，
或等价地，lim n
P{|
X
n
a
|
}
0，
则称{Xn}依概率收敛于a, 记作:
lim
n
Xn
a, (P)
或Xn Pa
定义2 设X1, X 2, X n, 是一个随机变量序列， 若存在随机变量X（可以是一常数），使