运筹学胡运权第五版课件(第二章)

例：写出下列LP问题的对偶问题
max z 5 x1 6 x2 x1 4 x 1 s.t. 解：对偶问题为： 2 x2 4 x2 x1 , x2 8 16 12 0
min w 8 y1 16 y2 12 y3 5 y1 4 y2 s.t.2 y1 4 y3 6 y1 , y2 , y3 0
T T T
x1 x2 X xn
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A am1 am 2 amn
y1 y2 Y ym
b , A , C 为b, A, C的转置
解：第一步 改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2 min z 7 x1 （ 4 x2 x2） 3x3 4 x （ 2 x2 x2） 6 x3 24 1 3x1 （ 6 x2 x2） 4 x3 15 s.t. （ 5 x2 x2） 3x3 30 （ 5 x2 x2） 3x3 30 x1 ，x2，x2，x3 0
对偶的定义
max W’ = -bTY s.t. -ATY≤-CT Y≥0
例 写出下列问题的对偶问题。
min z 7 x1 4 x2 3 x3 4 x1 2 x2 6 x3 24 3 x 6 x 4 x 15 1 2 3 s.t. 5 x2 3 x3 30 x1 0, x2无约束，x3 0
如何安排生产才能使 总的利润最大？
解： LP1
max z=2 x1+3 x2 2 x1+2 x2 12 4x1 16
s.t.
5 x2 15 x10， x2 0
假设另有四海机器厂想租借常山机器厂的全部可用资源进 行生产。问：常山机器厂应该如何给这些资源定出一个合理 的租金，既使四海机器厂愿意租借，又使本厂能得到自己组 织生产这些产品时所能获得的最大收益。
对偶问题D
min w = b1 y1 + b2 y2 + · · · + bm ym s.t. a11 y1 + a21 y2 + · · · + am1 ym c1 a12 y1 + a22 y2 + · · · + am2 ym c2 · · · a1n y1 + a2n y2 + · · · + amn ym cn yi 0，(i=1,2,· · · ,m )
2y 3 3 y1 2y1 y 2 3y 3 2 s.t. 3y1 3y 2 7y 3 3 4y 4y 4y 4 1 2 3 y1 0, y 2 0, y 3无约束
§2.3 对偶问题的基本性质
在本节中设原问题和对偶问题如下：
对偶问题（D）：
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
解：先改写为原问 题的基本形式：
再对偶化：
最后简化得到已知问 题的对偶问题：
3、互为对偶关系
若LP2是LP1的对偶问题，则LP1是LP2的对偶问题。
max Z=C X
s.t. AX≤b X ≥0
改写
对偶的定义
min W= b TY s.t. AT Y≥ CT Y≥0
改写
min Z’= - CX s.t. - AX≥- b X ≥0
变量
约束
2、一般形式
原问题P s.t. max z = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn b2 · · · am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn bm xj 0，（j=1,2, · · · ,n）
第二章 线性规划的对偶理论
Dual Theory
§2.1 对偶问题的提出
消耗设备 例 常山机器厂生产 I、 工时 II 两种产品。这两种产品 都分别要在ABC三种不同设 设备A 备上加工。按工艺规定，生 设备B 产每件产品的单位利润、消 设备C 耗三种设备的工时以及各种 利润（元） 设备工时的限额如表： I 2 4 0 2 II 设备工时限 量 2 0 5 3 12 16 15
P max z CX AX b s.t. X 0
D min w bT Y AT Y C T s.t. Y 0
1、弱对偶性（弱对偶原理）：设 X 和 Y 分别是问题P 和D的可行解，则必有
__
__
C X bT Y
证明：
__
AX b Y AX Y b
例 直接写出下列线性规划问题的对偶问题。
min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4 x4 5 x1 x2 3 x3 2 x 2 x3 4 x4 4 1 s.t. x2 x3 x4 6 x1 0 , x2，x3 0 , x4 无约束
原问题
P
对偶问题 D 对偶变量 y1,y2,y3
对偶目标 w 对偶约束
2 2 y1 4 y2 5 y3 3 2 y1 y , y , y 0 1 2 3
原变量 x1,x2
原目标 z 原约束
2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 5 x2 15 x1 , x2 0
3、矩阵形式： P max z CX AX b s.t. X 0
其中
D min w bT Y AT Y C T s.t. Y 0

C (c1 , c2 ,, cn )
b1 b2 b bm
max w 24 y1 15 y2 30 y3 30 y4
第二步 对偶化
7 4 y1 3 y2 2 y 6 y 5 y 5 y 4 1 2 3 4 s.t. 2y1 6 y2 5 y3 5 y4 4 6y 4 y 3 y 3 y 3 1 2 3 4 y1 , y2 , y3 , y4 0
§2.2 原问题与对偶问题
P max z CX AX b s.t. X 0
（max的基本形式） 1、基本形式的联系与区别
D min w bT Y AT Y C T s.t. Y 0
（min的基本形式）
（1）原目标求数
基本形式
非基本形式
4、原问题与对偶问题的互化
原问题（或对偶问题） 目标函数 max （基本） m个 约 束 ≤（基本） 条 ≥ 件 =
n个 变 量 ≥0 （基本） ≤0 无约束 约束条件的右端项 目标函数的系数
对偶问题（或原问题） 目标函数 min （基本） m个 变 ≥0 （基本） 量 ≤0
无约束 n个 ≥ （基本） ≤ = 目标函数的系数 约束条件的右端项 约 束 条 件
原约束决定对偶变量 原变量决定对偶约束；
（3）原约束≤方向，对偶约束≥方向； （4）原目标的系数对应对偶约束的右端常数 原约束的右端常数对应对偶目标的系数； （5）原系数矩阵与对偶系数矩阵互为转置； （6）原变量与对偶变量都是非负取值。
2、基本形式的表格比较
例 将下列问题作为原问题，写出其对偶问题。
解：设A、B、C设备每小时出租的价格分别为y1、y2、y3元， 则新的线性规划数学模型为： LP2
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
1、基本概念
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。 每一个线性规划（ LP1 ）必然有与之相伴而生的另一 个线性规划问题（ LP2 ），即任何一个求 max z 的LP1都 有一个求 min w的LP2 。 将LP1称为“原问题”，记为P ； 将LP2称为“对偶问题”，记为D 。 原问题（P）：
第三步 简化为已知 问题的对偶问题：
令y1 y1，y3 y3 y4 max w 24 y1 15 y2 30 y3 4 y 3 y 7 1 2 2 y1 6 y2 5 y3 4 s.t. 6y1 4 y2 3 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
min Z 3 x1 2 x2 3 x3 4 x4 x1 2 x2 3 x3 4 x4 3 x2 3x3 4 x4 5 s.t. 2 x1 3 x2 7 x3 4 x4 2 x1 0，x2 0, x3、x4无约束 解：对偶问题为： max W 3 y1 5 y2 2 y3
对偶问题： max w 5 y1 4 y2 6 y3 y1 2 y2 2 y1 y3 3 s.t. 3 y1 2 y2 y3 5 y1 4 y2 y3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
练习
写出下列问题的对偶问题。
T T
A Y C C Y A
T T T
CX Y AX Y b b Y
T T T
2、最优性： 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = bT Y* ， 则X*，Y*分别是问题 P和D 的最优解。