专题五：勾股定理的分类应用

勾股定理全章常考分类习题

方程思想的应用：

1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，

，求、、的值。

2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的

长．

3．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．

4. 如图，在长方形ABCD 中，将∆ABC 沿AC 对折至∆AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。（1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长

5. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积

D

C

B A

F E

典型几何题

1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

2．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD 的长．

3．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

4．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8，求AB、CD的长

D

C

B

A

6．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝

CB 4

1

，求证：AF ⊥FE ．

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．

8. 如图，已知：在

中，

，

，

. 求：BC 的长.

实际应用：

1．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．

1题图 2题图 3题图 2．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ． 3．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米若楼梯宽2米，地毯每平

方米30元，那么这块地毯需花多少元

4.如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

5..将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如右图所示，设筷子露在杯子外面的

长度h cm，则h的取值范围是（）

A、h≤17cm

B、h≥8cm

C、15cm≤h≤16cm

D、7cm≤h≤16cm

6.种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，

问吸管要做㎝。

7、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，

周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒

典型证明题：

1．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．

3.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

最短路径问题：

1.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧

面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

2.如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B

处吃食，要爬行的最短路程是 cm

3.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．

4、小明要外出旅游，他带的行李箱长cm

40，宽cm

30，高cm

60，一把cm

70长的雨伞能

否装进这个行李箱

5.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少

A•

B

•A

B

C D

L

6.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少

小河