数学分析习题及答案 (39)

习 题 16.1

⒈ 设交流电的变化规律为E t A t ()sin =ω，将它转变为直流电的整流过程有两种类型：

⑴ 半波整流（图16.1.5(a)）

f t A

t t 12

()(sin |sin |)=+ωω；

⑵ 全波整流（图16.1.5(b)）

f t A t 2()|sin |=ω；

现取ω=1，试将f x 1()和f x 2()在]

,[ππ-展开为Fourier 级数。

⒉ 将下列函数在],[ππ-上展开成Fourier 级数：

⑴ x x f sgn )(=; ⑵ f x x ()|cos |=;

⑶ 2

22)(π-=x x f ; ⑷ f x ()⎩⎨

⎧∈-∈=);

,0[,0),0,[,ππx x x ⑸ f x ()⎩

⎨

⎧∈-∈=).,0[,),

0,[,ππx bx x ax ⒊ 将下列函数展开成正弦级数：

⑴ x x f +=π)(,],0[π∈x ;

⑵ f x x ()e =-2,],0[π∈x ; ⑶ f x ()⎩⎨⎧∈∈=];,[,),,0[,222πππ

πx x x ⑷ f x ()⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=].2,1[,

0),1,0[,2cos x x x π ⒋ 将下列函数展开成余弦级数：

⑴ f x x x ()()=-π,],0[π∈x ; ⑵ f x x ()e =,],0[π∈x ;

⑶ f x ()⎩⎨⎧∈∈=];,[,

1),,0[,2sin 244πππx x x ⑷ 22)(ππ-+-=x x x f ,],0[π∈x . ⒌ 求定义在任意一个长度为π2的区间]2,[π+a a 上的函数f x ()的Fourier 级数

及其系数的计算公式。

⒍ 将下列函数在指定区间展开成Fourier 级数：

⑴ 2

)(x

x f -=π,]2,0[π∈x ; ⑵ f x x ()=2,]2,0[π∈x ; ⑶ x x f =)(, x ∈[,]01;

⑷ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=);1,0[,

0),

0,1[,e 3x x x ⑸ f x ()⎩⎨

⎧∈-∈=)

,0[,0),

0,[,T x T x C (C 是常数).

(a)

(b)

图16.1.5

⒎ 某可控硅控制电路中的负载电流为

⎩

⎨⎧<≤<≤=,,sin 5,0,

0)(00T t T t T t t I ω

其中ω为圆频率，周期ω

π

2=T 。现设初始导通时间T T

08=（见图16.1.6），求I t ()在[,]0T 上的Fourier 级数。 ⒏ 设f x ()在],[ππ-上可积或绝对可积，证明： ⑴ 若对于任意],[ππ-∈x ，成立)()(π+=x f x f ，则a b n n 21210--==；

⑵ 若对于任意],[ππ-∈x ，成立)()(π+-=x f x f ，则a b n n 220==.

⒐ 设f x ()在()2/,0π上可积或绝对可积，应分别对它进行怎么样的延拓，才能

使它在[,]-ππ上的Fourier 级数的形式为

⑴ f x a n x n n ()~cos()211-=∞

∑;

⑵ f x b nx n n ()~

sin 21

=∞

∑.

⒑ 设周期为π2的函数f x ()在[,]-ππ上的Fourier 系数为a n 和b n ，求下列函数

的Fourier 系数~a n

和~b n

：

⑴ g x f x ()()=-; ⑵ h x f x C ()()=+ (C 是常数)；

⑶ ⎰--=π

ππdt t x f t f x F )()(1)( （假定积分顺序可以交换）

。

习 题 16.2

1．设)(x ψ在[,)0+∞上连续且单调，0)(lim =+∞

→x x ψ，证明

0sin )(lim

=⎰

∞

++∞→dx px x p ψ.

2．设函数)(u ψ在],[ππ-上分段连续，在u =0点连续且有单侧导数，证明

⎰⎰--=--+∞→πππψψψ02

cot )]()([212

sin

2cos 2cos )(lim du u u u du u pu u u p .

3．设函数)(u ψ在],[δδ-上单调，证明

0sin )]0()0([21)(lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++-⎰-+∞→δδψψψdu u

pu u p . 4．证明Dirichlet 引理对)(u ψ是分段单调有界函数的情况依然成立。 5．证明Lipschitz 判别法的推论。

6．对§16.1的习题2、3、4、6中的函数，验证它们的Fourier 级数满足收敛判

别法的条件，并分别写出这些Fourier 级数的和函数。

7．利用∑∞

==12

261n n

π，证明：

图16.1.6

⑴ 1241312112222π=+-+-Λ； ⑵ 87

1513112

222π=++++Λ.

8. 求sin x 全部非零零点的倒数的平方和。 9. 证明下列关系式：

⑴ 对π20<

ax e π⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+-=∑∞

=12

22sin cos 21)1(e n a n a nx n nx a a π

； ⑵ 对π20<

ax cos π∑∞

=--++=1

2

2sin )12(cos cos 2sin 22sin n n a nx

a n nx a a a a πππ； ⑶ 对⑵，令π=x ，有

∑∞

=--+=12

22

)1(21sin n n n

a a a a ππ . 10． ⑴ 验证函数

⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,

0,0,ln 1

)(2||x x x f x π

满足Dirichlet-Jordan 判别法条件而不满足Dini-Lipschitz 判别法条件。 ⑵ 验证函数

⎩⎨⎧=≠=0,

0,0,cos )(2x x x x f x π

满足Dini-Lipschitz 判别法条件（今后会学到，它不满足Dirichlet-Jordan

判别法条件，在此从略）。

习 题 16.3

⒈ 由例16.1.2的结果

~x ∑∞

=+-1

1

sin )1(2n n nx n ， ),(ππ-∈x ，

用逐项积分法求x 2和x 3的Fourier 级数。

2．证明定理16.3.2的推论16.3.1：

a a nx

b nx n

n n 012++=∞

∑(cos sin )是某个可积或绝对可积函数的Fourier 级数的必要条件是b

n

n n =∞

∑1收敛。

3．说明级数 ∑∞=2ln sin n n nx 和 ∑∞

=2

ln ln sin n n nx

点点收敛，但不可能是任何可积或绝对可

积函数的Fourier 级数。

4．利用例16.1.1的结果

f x ()[)[)⎩

⎨

⎧∈-∈=ππ,0,00,,1x x ∑∞=---112)12sin(221~n n x

n π 和Parseval 等式，证明1212

1

()n n -=∞

∑82π=.