图像的霍夫曼编码

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图像的霍夫曼编码

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湖南理工学院物理与电子学院

目录

摘要： (1)

一、引言 (1)

二、霍夫曼编码简介 (1)

三、霍夫曼编码 (2)

1、霍夫曼编码规则 (2)

2、霍夫曼树 (3)

（1）霍夫曼树的相关概念 (3)

（2）霍夫曼算法 (3)

（3）霍夫曼树的构建 (4)

3. 霍夫曼的局限性 (5)

四、霍夫曼编码分类 (6)

1、截断霍夫曼编码 (6)

2、自适应霍夫曼编码 (6)

五、仿真 (8)

六、结论 (12)

参考文献 (12)

摘要：

霍夫曼编码是一种常用的无损编码，他基于不同符号的概率分布，在信息源中出现概率越大的符号，相应的码越短；出现概率越小的符号，其码越长，从而达到用尽可能少的码符号表示源数据。本文介绍了霍夫曼编码的原理、方法、特点、应用、霍夫曼树的生成过程，霍夫曼编码的产生，霍夫曼表的构建，霍夫曼编码的结果以及怎样用MATLAB实现霍夫曼编码。

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一、引言

随着科学技术的发展和需求，人们广泛致力于对各种文本、图片、图形、语言、声音、活动图像和影视信号等实际信源进行了实用压缩方法和技术研究，使信源的数据压缩技术得以蓬勃发展和逐渐走向成熟。在信息化高度发达的当今社会，我们必须对信息的传递有着较高的要求，我们希望信息在传递的过程中，能够保持节省性和保密性和无损性，而著名的霍夫曼编码就能够达到这样的要求。因此研究霍夫曼编码对信息的压缩和解压是相当有必要的。

二、霍夫曼编码简介

1952年，David A. Huffman在麻省理工攻读博士时，根据香农（Shannon）在1948年和范若（Fano）在1949年阐述的编码思想提

出了一种不定长编码的方法——霍夫曼编码，并发表于《一种构建极小多余编码的方法》一文。霍夫曼编码是常用的无损编码方法，广泛应用于图像压缩技术。JPEG 标准中的基准模式采用的就是霍夫曼编码。 霍夫曼编码是不定长编码，即代表各元素的码字长度不等。该编码是基于不同符号的概率分布，在信息源中出现概率越大的符号，相应的码越短；出现概率越小的符号，其码越长，从而达到用尽可能少的码符号表示源数据。它在变长编码中是最佳的。在计算机信息处理中，“霍夫曼编码”是一种一致性编码法（又称"熵编码法"） 霍夫曼编码的基本方法是先对图像数据扫描一遍，计算出各种像素出现的概率，按概率的大小指定不同长度的唯一码字，由此得到一张该图像的霍夫曼码表。编码后的图像数据记录的是每个像素的码字，而码字与实际像素值的对应关系记录在码表中。

三、霍夫曼编码

1、霍夫曼编码规则

设信源X 的信源空间为：

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧•)()()(:)(::][2121N N x P x P x P X P x x x X P X 其中，1)(1=∑=N

i i x P ，现用二进制对信源X 中的每一个符号

)2,1(N i x i =进行编码

a. 将信源符号xi 按其出现的概率，由大到小顺序排列。

b. 将两个最小的概率的信源符号进行组合相加，并重复这一步骤，始终将较大的概率分支放在上部，直到只剩下一个信源符号且概率达到1.0为止；

c. 对每对组合的上边一个指定为1，下边一个指定为0（或相反：对上边一个指定为0，下边一个指定为1）；

d. 画出由每个信源符号到概率1处的路径，记下沿路径的1和0，所得的就是该符号的霍夫曼码字。

2、霍夫曼树

（1）霍夫曼树的相关概念

霍夫曼树：指所有叶子结点的二叉树中带权路径长度最小的二叉树。

节点的带权路径长度：从树的根节点到该节点的路径长度与该节点权的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和。（2）霍夫曼算法

a. 根据给定的n个权值{w1,w2,...,wn}构造n棵二叉树的集合F={T1,T2,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点，其左右子树均空。

b. 在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左、右子树上根结

点的权值之和。

c. 在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F中。

d. 重复（2)和（3)，直到F中只含一棵树为止。这棵树便是最优二叉树。

（3）霍夫曼树的构建

假设对由a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8八个信源符号组成的源信息字符串:“a1 a1 a2 a2 a3 a3 a3 a4 a4 a4 a4 a5 a5 a5 a6 a6 a6 a7 a7 a8”进行霍夫曼编码。首先应对信息中各数字出现的次数进行统计，得出各数字出现的相对概率。假设各数字出现的次数及概率如表1所示。

表一

具体过程是这样的，先将所有符号排成一行构成8个最底层节点。首先将这些节点中最小两个概率值相加：0.05+0.1=0.15, 得到新的节点，这时拥有的概率值为0.2, 0.1, 0.1, 0.15, 0.15, 0.15, 0.15。再将两个最小的概率值相加得到新的节点... ... 直到得到根节点概率为 1.0为止。相加时，对于概率值相等的多个节点，可以任意选取。除根节点外，设节点左边分支为0，右边分支为1（也可以反过来）。根据表一生成的霍夫曼树如图1所示。

图1

对于各值（码值）的代码（码字）就是从根节点出发到底层节点所经历的分支序列。如a4的代码（码字）为00，a6的码字为111... ...通常a4和a6等称为码值，00和111等称为码字。所有码值和码字对应关系如表2所示。

3.霍夫曼的局限性

a. 利用霍夫曼编码，每个符号的编码长度只能为整数，所以如果源符号集的概率分布不是2负n次方的形式，则无法达到熵极限。

b. 输入符号数受限于可实现的码表尺寸

c. 译码复杂