求具体矩阵的逆矩阵(方法集锦)

，即
故
．利用初等变换法求
．由于
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故 Hale Waihona Puke Baidu 例4 设
，则
_________.
应填：
.
分析 在遇到 的有关计算时，一般不直接由定义去求 ，而是利用 的重要公式.如此题，由
得
，而
，于是
=
例5 已知
，试求 和 ．
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分析 因为
，所以求 的关键是求
．又由
知
后即可得到 ．
解对
两边取行列式得
，于是
，可见求得
和
即
，故
又因为 故由
注2 对分块矩阵
不能按上述规律求伴随矩阵．
方法2初等变换法：
注 对于阶数较高( 初等行变换．
)的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行
方法3 分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中
均为可逆矩阵．
例1 已知
，求 ．
解 将 分块如下：
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5．求具体矩阵的逆矩阵
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．
方法1 伴随矩阵法：
．
注1 对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意
元素的位置及
符号．特别对于2阶方阵
，其伴随矩阵
，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规
律．
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其中
，
而 ，
从而 例2 已知
解 由题设条件得
例3 设4阶矩阵
，且
，试求 ．
且矩阵 满足关系式
，试将所给关系式化简，并求出矩阵 ．
解 由所给的矩阵关系式得到
故
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，其中 得
，又 ，
，可求得
例6 设
，其中
（
），则
____.
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应填：
.
分析 法1.
，其中
从而
.又
法2. 用初等变换法求逆矩阵.
=
，
.
，
，代入即得 的逆矩阵.