02-5 时差域相关分析

Rx (0)
2 x
x(t)在同一时刻的记录样本完全成线性
自相关函数的性质
2.5 信号的时差域相关分析
4） 当τ→∞时，x(t)和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关
Rx ( )
2 x
lim x(t ) x(t )dt (3-11) Rx ( ) T 0
(1).自相关函数的性质 1） Rx(τ)的值限制范围为
2 2 2 2 x x Rx ( ) x x
2 2 Rx ( ) x ( ) x x
(3-6)
(3-7)
T T 0
xy 1
(3-2)
2) Rx(τ)为偶函数 T Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt
x y 0 0 T 0

T
0
sin(1t ) sin[2 (t ) ]dt
(3-20)
不同频率不相关
2.5 信号的时差域相关分析
4）两个同频率正弦函数的互相关函数Rxy(τ) ：
求x(t)=x0Sin(ωt+θ)，y(t)=y0sin(ωt+θ-υ)互相关函数Rxy(τ)
Rx (t )
0

a)正弦波加随机噪声信号
b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数
2.5 信号的时差域相关分析
4.互相关函数 对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)、y(t)的互相关函 数定义为 T
Rxy ( ) lim x(t ) y(t )dt
T 0
(3-15)
互相关函数Rxy(τ)——描述一个系统中的一处测点上所得的 数据x(t)与同一系统的另外一测点数据y(t)互相比较得出它们 之间的关系。也就是说，Rxy(τ)是表示两个随机信号x(t)、y(t) 相关性的统计量。 x(t)
Rx ( )
(3-8)
自相关函数的性质
2.5 信号的时差域相Βιβλιοθήκη Baidu分析
3）当时延τ=0时，Rx(0)达到最大值。即Rx(0) ≥| Rx(τ)|
1 T Rx (0) lim x(t ) x(t 0)dt T T 0 1 T 2 lim x (t ) dt T T 0
(2).相关系数
例如，玻璃管温度计液 面高度(Y)与环境温度(x) 的关系就是近似理想的 用相关系数表示两个变量x、y之间的相关程度 线形相关，在两个变量 E ( x x )( y y ) 相关的情况下，可以用 xy (3-2) 其中一个可以测量的量 x y 的变化来表示另一个量 当ρxy=±1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系 的变化。 |ρxy|≤1
第二章、信号分析基础
2.5 信号的时差域相关分析
1 变量相关的概念
统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相 关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性， 表征了x、y之间的关联程度。
xy
cxy x y
E[( x )2 ]E[( y )2 ]1/ 2
x y
E[( x x )( y y )]
y
y
y
y
x
xy ( ) 1
x
xy ( ) 1
0 xy ( ) 1
x
xy ( ) 0
x
2.5 信号的时差域相关分析
(1).互相关函数的性质 1）互相关函数的限制范围为 μxμy-σxσy≤Rxy(τ) ≤μxμy＋σxσy
Rxy ( ) x y xy ( ) x y


当ρxy=0时，两随机变量x、y完全不相关
y y y
y
x
xy 1
x
xy 1
0 xy 1
x
xy 0
x
2.5 信号的时差域相关分析
(3).相关函数和相关系数的关系 设y(t+τ)是y(t)时延τ后的样本，对于x(t)和y(t+τ)的相关系数 x (t ) y (t ) 简写为ρxy(τ) 推导
2 T x0 cos cos(2t 2 )dt 0 2T 2 2 T T x0 x0 cos dt cos(2t 2 )dt 0 0 2T T0 2 x0 cos (3-14) 2
正弦函数的自相关函数
它保留了变量x(t)的幅值信息x0和频率ω信息，但缺 丢掉了初始相位υ信息。
2.5 信号的时差域相关分析 Rx ( nT ) Rx ( ) 自相关函数Rx(τ)的应用
可根据自相关图的形状来判断信号的性质
(3-13)
由性质5）知，周期信号的自相关函数仍为周期信号， τ→∞时，Rx(τ)不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号， 当τ→∞时，Rx(τ)衰减→0(μx=0)。 利用自相关函数进行机械设备的故障诊断
T 0 T
Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt (3-4)
t+τ← t
lim x(t ) x(t )d (t ) d(t+τ)=d(t) T 0 lim x(t ) x(t )d (t )
T 0 T
Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt (3-4)
T 0 T

2 x 2 x
2 x
(3-9)
x ( )
2 Rx ( ) x 2 x
(3-5)
x (0)
2 x 2 2 2 x x x 2 x 2 x 2 1 (3-10) x
1 lim T T xy ( )

T
0
[ x(t ) x ][ y (t ) y ]dt
x y

Rx, y ( ) x y
x y
(3-1)
(3-3)
1 Rx , y ( ) lim T T

T
0
x(t ) y (t )dt
Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt
T 0
(3-4)
若周期函数为x(t)= x(t+nT)，则其自相关函数为
1 T Rx ( nT ) 0 x(t nT ) x(t nT )d (t nT ) T 1 T x(t ) x(t )dt T 0
2.5 信号的时差域相关分析
自相关系数ρx(τ)
x ( )
2 Rx ( ) x 2 x
(3-5)
2 2 Rx ( ) x ( ) x x
(3-6)
xy ( )
Rx, y ( ) x y
x y
(3-3)
2.5 信号的时差域相关分析
xy
E ( x x )( y y )


(3-2)
x y
2.5 信号的时差域相关分析
3.自相关函数
Rx , y ( ) lim 1 T T

T
0
x(t ) y (t )dt
(3-1)
设x(t)是各态历经随机过程的一个记录样本，而x(t+τ)是x(t) 时移τ后的样本。令x(t) ← x(t)，y(t+τ) ← x(t+τ)，则得到x(t) 的自相关函数Rx(τ) 1 T Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt (3-4) T T 0 自相关函数：描述随机 过程一个时刻的幅值与另 一个时刻幅值之间的依赖 关系。或者说，现在的波 形与时间坐标移动了之后 的波形之间的相似程度。
同频率正余弦不相关
6）周期信号与随机信号的互相关函数为零 由于随机信号y(t+τ)在时间t→t+τ内并无确定的关系， 它的取值显然与任何周期函数x(t)无关，因此，Rxy(τ)=0。
2.5 信号的时差域相关分析
相关函数的性质
（1）自相关函数是 的偶函数，RX()=Rx(- )； （2）当 =0 时，自相关函数具有最大值。 （3）两同频率的周期信号的自相关函数仍然是同频率 的周期信号，但不保留原信号的相位信息。 （4）两同频率的周期信号的互相关函数仍然是同频率 的周期信号，且保留原了信号的相位信息。 （5）两个非同频率的周期信号互不相关。 （6）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。
互相关函数的性质
2.5 信号的时差域相关分析
3）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零 x(t)＝x0Sin(ω1t+θ)，y(t)＝y0Sin(ω2t+θ-φ)
1 T Rxy ( ) lim x(t ) y (t )dt T T 0 1 T x0 sin(1t ) y0 sin[( 2 (t ) ]dt T 0
y(t)
时 延 器 乘 法 器
x(t)y(t +τ)
积 分 器
Rxy(τ)
y(t +τ)
2.5 信号的时差域相关分析
互相关系数
xy ( )
|ρxy(τ)|≤1
Rxy ( ) x y
x y
(3-16)
当ρxy(τ)=±1时，则随机变量x、y具有理想的线性关系
当ρxy(τ)=0时，两随机变量x、y完全不相关
T
(3-4) (3-5)
x ( ) 0
如果均值μx=0，则Rx(τ) →0。 x(t)与x(t＋∞）彼此无关
(3-12)
x ( )
2 Rx ( ) x

2 x
自相关函数的性质
2.5 信号的时差域相关分析
5）当信号x(t)为周期函数时，自相关函数Rx(τ)也是周期的， 且周期相同 T
2.5 信号的时差域相关分析
5) 两个同频率正余弦函数不相关 x(t)＝x0Sin(ωt)，y(t)＝y0cos(ωt)
1 Rxy ( ) lim T T

T
0
x(t ) y (t )dt
0
1 T

T
0
x0 y0 sin t cos (t )dt
(3-22)
t← t+nT
Rx ( )
(3-13)
2.5 信号的时差域相关分析 例1：求正弦函数x(t)＝x0Sin(ωt+φ)的自相关函数。
Rx ( ) lim 1 T T

T
0
x(t ) x(t )dt
1 T 2 x0 sin(t ) sin[ (t ) ]dt T 0 正弦函数 2 x T 0 cos[ (t ) (t )] cos[ (t ) (t )]dt 2T 0
1 T Rxy ( ) lim x(t ) y (t )dt T T 0 1 T x0 sin(t ) y0 sin[ (t ) ]dt T 0
x0 y0 cos( ) 2
(3-21)
同频率正弦相关
互相关函数不仅保留了两个信号的幅值x0、y0信息、 频率ω信息，而且还保留了两信号的相位υ信息
1 Rx , y ( ) lim T T

T
0
x(t ) y (t )dt
式中，τ∈(-∞, ∞)，表示时间位移，或时延，为连续变量，与t 无关。 x(t) x(t)y(t +τ) Rxy(τ) y(t)
时 延 器 乘 法 器 积 分 器
y(t +τ)
2.5 信号的时差域相关分析
(3-17) (3-18)
xy ( )
Rxy ( ) x y
|ρxy(τ)| ≤1
x y
(3-16)
互相关函数的性质
2.5 信号的时差域相关分析
2) Rxy(τ)的峰值不在τ=0处，其幅值偏离原点的位置反映了两 信号时移的大小，相关程度最高， 在τ0时，Rxy(τ)出现最大值，它反映x(t)、y(t)之间主传输通 道的滞后时间。 峰值点
2.5 信号的时差域相关分析
相关的概念
确定性信号：两个变量 t、 y之间用函数关系来描述 y=10sin(2π ƒ t+υ 0) 人的身高和体重的关系
相关：指两变量之间的线性关系
(a)
(b)
(c)
2.5 信号的时差域相关分析 2.相关函数和相关系数
(1).相关函数 随机变量x(t)和y(t)在不同时刻的乘积平均来描述它们之 间的线性相关程度，称为相关函数，表示为：