各种多属性决策方法
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例1学校扩建问题。设某地区现有6所学校，由于无法完全容纳该地区适龄儿童，需要 扩建其中的一所。在扩建时既要满足学生就近入学的要求，又要使扩建的费用尽可能 小。(至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考虑。)经过调研，获得如下表所示的决 策矩阵。
例2 研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状 况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过 一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收 集有关数据资料进行了试评估。下表中所给出的是为了介绍各 种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的 数据。
0，最佳属性值为1。
若j为成本型属性，可以令
zij=1-yij/yjmax
(2)
经过(2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成本型属
性也可以用下式进行变换：
zij’=yjmin/yij
(2’)
用式(2’)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非线性变换。
2、标准0-1变换
对于线性变换，属性值进行线性变换后，若属性j的最优值为1，则最差值一般不为0;若 最差值为0,最优值就往往不为1。为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0,可以进 行标准0-1变换。对效益型属性j,令
2 数据预处理
数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个作用：
(1)属性值有多种类型。有的属性值越大越好。有的属性值越小越好，有的属性值越接近 于某个值越好。因此，需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优 的方案变换后的属性值越大。
(2)无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数值的大小来反映属性值的优劣。 (3)归一化。即把表中数均变换到[0,1]区间上。
变换z后i的j 属性值11zij与(原y属ij性值yyi*jj之)间/的(y函'j'数图形y*为j )一般若 若 梯形yy。'j'0j yyiijj
y*j y*j
0
其他
4、向量规范化 无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换：
z y / y (6) 这分此常种辨用变属于换性计也值算是的各线优方性劣案的。与，它某但的ij种是最虚它大拟与特方i前点j 案面是(介，如绍i规理m1的范想几点化i种或后j2变负，换理各不想方同点案，)的的从同欧变一式换属距后性离属值的性的场值平合的方。大和小为上1，无法因
理想解x*是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案， 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而负理 想解x0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵 中该属性最差的值。在n维空间中，将方案集X中的各备选 方案xi与理想解x*和负理想解x0的距离进行比较，既靠近理 想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并 可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。TOPSIS法的 思路可以用下图来说明。
f2 x1
x4
x*
x5
x3 x6
x0
x2
f1 图1 理想解和负理想解示意图
2、TOPSIS 的算法步骤
(1 ) 用向量规范化的方法求
得规范决策矩阵 。
设多属性决策问题的决
策矩阵 Y y ij , 规范化决策矩阵
Z z ij , 则
m
z ij y ij /
y
2 ij
,
i 1, , m; j 1, , n
z ij
y ij
y m in j
y max j
wenku.baidu.com
y m in j
j为成本型属性时 ， 令
z ij
y max j
y ij
y max j
y m in j
(3) (4)
3、最优值为给定区间时的变换 设给定的最优属性区间为[yj0,yj*],yj’为无法容忍下限，yj’’为无法容忍上限，则
1(y0j yij)/(y0j y'j) (5若 ) y'j yij y0j
i1
(2) 构成加权规范矩阵 X x ij 。
设由决策人给定 w ( w 1 , w 2 , , w n ) T , 则
x ij w j z ij , i 1, , m ; j 1, , n (9 .33 )
(3)确定理想解 x * 和负理想解 x 0。
若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式(3)相 同。
9.5 TOPSIS法
1、TOPSIS法的解题思路
TOPSIS 是 逼 近 理 想 解 的 排 序 方 法 (technique for order preference by similarity to ideal solution)，它借助多属性问题 的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。
为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况，使 各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应该把所有专家 的打分值规范到相同的分值区间[M0,M*]。M0和M*的选值不同 对评价结果并无影响，只要所有专家的打分值都规范到该区间 就行。具体算法为
zijM0(M*M0)yym jij axyym jm j inin (8)
5、原始数据的统计处理
有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某 个方案特别突出。如果按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评价中的作用将 被不适当地夸大。为此可以采用类似于评分法的统计平均方法。方法之一是设定一个 百分制平均值M，将方案集X中各方案该属性的均值定位于M，再用下式进行变换：
其中，
是各方案属性j的均值，m为方案
个数，M的取值可在0.5-0.75之间。
zij
yijyj ym j axyj
(1.00M)M
(7)
y j
1 m
m i1
yij
６、专家打分数据的预处理
有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡 量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分。 再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评 价对象的优劣。
数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。
1、线性变换 Z若=j{为原zi效j}始,i益=的1型,…决属,m性策,j，=矩1则,…阵,为n。Y设={yyjmij}ax是, 变决策换矩后阵的第决j列策中矩的阵最记大值为。
zij=yij/yjmax
(1)
采用上式进行数据预处理时，经过变换的最差属性值不一定为
例2 研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状 况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过 一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收 集有关数据资料进行了试评估。下表中所给出的是为了介绍各 种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的 数据。
0，最佳属性值为1。
若j为成本型属性，可以令
zij=1-yij/yjmax
(2)
经过(2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成本型属
性也可以用下式进行变换：
zij’=yjmin/yij
(2’)
用式(2’)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非线性变换。
2、标准0-1变换
对于线性变换，属性值进行线性变换后，若属性j的最优值为1，则最差值一般不为0;若 最差值为0,最优值就往往不为1。为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0,可以进 行标准0-1变换。对效益型属性j,令
2 数据预处理
数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个作用：
(1)属性值有多种类型。有的属性值越大越好。有的属性值越小越好，有的属性值越接近 于某个值越好。因此，需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优 的方案变换后的属性值越大。
(2)无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数值的大小来反映属性值的优劣。 (3)归一化。即把表中数均变换到[0,1]区间上。
变换z后i的j 属性值11zij与(原y属ij性值yyi*jj之)间/的(y函'j'数图形y*为j )一般若 若 梯形yy。'j'0j yyiijj
y*j y*j
0
其他
4、向量规范化 无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换：
z y / y (6) 这分此常种辨用变属于换性计也值算是的各线优方性劣案的。与，它某但的ij种是最虚它大拟与特方i前点j 案面是(介，如绍i规理m1的范想几点化i种或后j2变负，换理各不想方同点案，)的的从同欧变一式换属距后性离属值的性的场值平合的方。大和小为上1，无法因
理想解x*是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案， 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而负理 想解x0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵 中该属性最差的值。在n维空间中，将方案集X中的各备选 方案xi与理想解x*和负理想解x0的距离进行比较，既靠近理 想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并 可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。TOPSIS法的 思路可以用下图来说明。
f2 x1
x4
x*
x5
x3 x6
x0
x2
f1 图1 理想解和负理想解示意图
2、TOPSIS 的算法步骤
(1 ) 用向量规范化的方法求
得规范决策矩阵 。
设多属性决策问题的决
策矩阵 Y y ij , 规范化决策矩阵
Z z ij , 则
m
z ij y ij /
y
2 ij
,
i 1, , m; j 1, , n
z ij
y ij
y m in j
y max j
wenku.baidu.com
y m in j
j为成本型属性时 ， 令
z ij
y max j
y ij
y max j
y m in j
(3) (4)
3、最优值为给定区间时的变换 设给定的最优属性区间为[yj0,yj*],yj’为无法容忍下限，yj’’为无法容忍上限，则
1(y0j yij)/(y0j y'j) (5若 ) y'j yij y0j
i1
(2) 构成加权规范矩阵 X x ij 。
设由决策人给定 w ( w 1 , w 2 , , w n ) T , 则
x ij w j z ij , i 1, , m ; j 1, , n (9 .33 )
(3)确定理想解 x * 和负理想解 x 0。
若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式(3)相 同。
9.5 TOPSIS法
1、TOPSIS法的解题思路
TOPSIS 是 逼 近 理 想 解 的 排 序 方 法 (technique for order preference by similarity to ideal solution)，它借助多属性问题 的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。
为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况，使 各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应该把所有专家 的打分值规范到相同的分值区间[M0,M*]。M0和M*的选值不同 对评价结果并无影响，只要所有专家的打分值都规范到该区间 就行。具体算法为
zijM0(M*M0)yym jij axyym jm j inin (8)
5、原始数据的统计处理
有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某 个方案特别突出。如果按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评价中的作用将 被不适当地夸大。为此可以采用类似于评分法的统计平均方法。方法之一是设定一个 百分制平均值M，将方案集X中各方案该属性的均值定位于M，再用下式进行变换：
其中，
是各方案属性j的均值，m为方案
个数，M的取值可在0.5-0.75之间。
zij
yijyj ym j axyj
(1.00M)M
(7)
y j
1 m
m i1
yij
６、专家打分数据的预处理
有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡 量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分。 再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评 价对象的优劣。
数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。
1、线性变换 Z若=j{为原zi效j}始,i益=的1型,…决属,m性策,j，=矩1则,…阵,为n。Y设={yyjmij}ax是, 变决策换矩后阵的第决j列策中矩的阵最记大值为。
zij=yij/yjmax
(1)
采用上式进行数据预处理时，经过变换的最差属性值不一定为