22狄拉克符号

ψ = ∑ am m
m
am = m ψ
Φ = ∑ bn n
n
bn = n Φ
显然有 即
ˆ ˆ nΦ = n F ψ =∑ n F m mψ
m
bn = ∑ Fnm a m
m
ˆ ˆ F 其中， 表象中的矩阵元。 其中， nm = n F m 为算符 F 在 Q 表象中的矩阵元。
特别地， ˆ 特别地， Q在自身表象中的矩阵元
n
m ψ = ∑ an m n = ∑ anδ mn = am
n n
所以， 所以，展开系数
an = n ψ
又 因此 比如 引入算符 因为
ψ =∑ nψ n =∑ n nψ
n n
∑n
n
n =1
∫
∞
−∞
dx ′ x ′ x ′ = 1
ˆ Pn ≡ n n
Pn ψ = n n ψ = n n
m
∑a
m
m
m = ∑ am n n m
m
= ∑ am n δ nm = an n
显然，该算符对任何矢量的运算， 显然，该算符对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢 n 上去， 方向上的分量。所以此算符称为投影算符 投影算符。 上去，使它变成在基矢 方向上的分量。所以此算符称为投影算符。
n
四、算符的狄拉克符号表示
ˆ Φ =Fψ
在 Q 表象下
ˆ x Fψ = xφ
iℏ
∂ ˆ ψ ( x) = Hψ ( x) ∂t ˆ Fu ( x) = λu ( x)
n n
kj
iℏ
∂ ˆ ψ =H ψ ∂t ˆ F n =λ n
iℏ
∂ ˆ xψ =H xψ ∂t ˆ F x n =λ x n
∑ (F
j
− λδ kj )a j = 0
m
∑ k
j
ˆ F j − λδ kj j ψ = 0
En 或 n 表示能量的本征态，对应的本征值为 E n ； 表示能量的本征态，
ˆ 的本征态； ˆ lm 表示 L2 和 L z 的本征态；
………………
ˆ 力学量算符 A 满足的本征方程为
ˆ A ψ n = An ψ n
或
ˆ A n = An n
ψ n 或 n 代表 An 对应的本征态。 对应的本征态。
§4-4 狄拉克符号
一、右矢和左矢 二、标量积 三、基矢组 四、算符的狄拉克符号表示 五、本征方程的狄拉克符号表示 六、薛定格方程的狄拉克符号表示 七、平均值公式的狄拉克符号表示 八、表象变换的狄拉克符号表示
§4-4 狄拉克符号
一个量子态相当于一个态矢量。 一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基 即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（ 矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的 分量）表示，这就是波函数。 分量）表示，这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似， 标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。 量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄 拉克符号。 拉克符号。
ϕψ
= ψ ϕ
在同一表象中， 的标量积是相应的分量的乘积之和。 在同一表象中，ψ 和 ϕ 的标量积是相应的分量的乘积之和。 比如： 比如： 在 x 表象中 在 Q 表象中
ϕ ψ = ∫ ϕ * ( x )ψ ( x)dx
* ϕ ψ = ∑ bn a n n
三、基矢组
ˆ 力学量算符 Q 的本征方程为 ˆ Qψ = λ ψ 或
m m
其中， 其中，Smα = m α 。 ψ 在 A 表象、 B 表象的表示 表象、
am = m ψ
有
m
bα = α ψ
m
bα = α ψ = ∑ α m m ψ = ∑ Sα m am
其中， 其中，Sα m = α m 。
一般表示与狄拉克符号表示对照表
ψ ψ
xψ ˆ Fψ = φ
ψ ( x)
ˆ Fψ ( x) = φ ( x)
ˆ Qmn = m Q n = λn m n = λnδ mn
五、本征方程的狄拉克符号表示
ˆ F 的本征方程
ˆ F ψ =λ ψ 它在 Q 表象中的表示
ˆ n F ψ =λ nψ
∑
m
ˆ n F m mψ =λ nψ
即
∑F
m
nm m
a = λan
ˆ ∑ n F
m
m − λδ nm m ψ = 0
2．态叠加原理 右矢空间中的任意态矢可以表示成若干个右矢叠加， 右矢空间中的任意态矢可以表示成若干个右矢叠加，左矢空间 中的任意态矢可以表示成若干个左矢叠加， 中的任意态矢可以表示成若干个左矢叠加，即 ψ = c1 ψ 1 + c2 ψ 2 + ⋯
′ ′ ′ ψ = c1 ψ 1 + c 2 ψ 2 + ⋯ = ψ 1 c1 + ψ 2 c ′ + ⋯ 2
ˆ 本征方程的狄拉克符号表示。 这就是的 F 本征方程的狄拉克符号表示。
六、薛定格方程的狄拉克符号表示
∂ ˆ iℏ ψ = H ψ ∂t
在 Q 表象下
iℏ ∂ ˆ ˆ nψ = n H ψ =∑ n H m mψ ∂t m ∂ iℏ an = ∑ H nm am ∂t m
即
这就是薛定格方程的狄拉克符号表示。 这就是薛定格方程的狄拉克符号表示。 定态薛定格方程 在 Q 表象下
nm
∫ u ( x)u
* n
( x)dx = δ nm
n m = δ nm
ψ ( x) = ∑ anun ( x)
n
an = ∫S mα = ∫ um ( x)φα ( x) dx
∫ n x x m dx = δ xψ =∑ x n nψ n ψ = ∫ n x x ψ dx S α = m α = ∫ m x x α dx
但右矢和左矢不能叠加。 右矢和左矢不能叠加。 3．右矢和左矢互为共轭
ψ
+
= ψ
ψ
+
=ψ
* * * * (c1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ) + = c1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = ψ 1 c1 + ψ 2 c 2
ˆ ˆ ( A ψ ) + = ψ A+
ˆ ψ 注意： A 和 A ψ 都没有意义。 注意： ˆ 都没有意义。
ˆ H ψ = Eψ
ˆ nHψ =E nψ
∑
m
ˆ n H m mψ =E nψ
即
∑H
m
nm
a m = Ea n
七、平均值公式的狄拉克符号表示
在 Q 表象下
* ˆ ˆ F = ψ F ψ = ∑ ψ m m F n n ψ = ∑ am Fmn an
mn
mn
八、表象变换的狄拉克符号表示
表象、 设 A 表象、 B 表象的基矢分别为 m 、α ，则 α = ∑ m m α = ∑ Smα m
一、右矢和左矢
量子力学体系的一切可能状态构成一个希尔伯特空间 希尔伯特空间即 1 ． 量子力学体系的一切可能状态构成一个 希尔伯特空间 即 态 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间 右矢空间和一个相应的左矢空间。 空间，态空间包括一个右矢空间和一个相应的左矢空间。 右矢空间中矢量 A 写成 A ，左矢空间的矢量 B 写成 B 。 表示坐标的本征态， 如： x ′ 表示坐标的本征态，对应的本征值为 x′ ； p′ 表示动量的本征态，对应的本征值为 p ′ ； 表示动量的本征态，
n
m
{ n } 构成一正交归一完备基矢组。 构成一正交归一完备基矢组。
正交归一性 比如 完备性 上式两边左乘 m ，则
x x ′ = δ ( x − x ′)
n
n
n
ˆ Q n = λn n
* m n = ∫ψ m ( x )ψ n ( x ) dx = δ mn
p p ′ = δ ( p − p ′)
ψ = ∑ an n
因为 另一方面 所以
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ( BA ψ ) + = ( A ψ ) + B + = ψ A+ B +
ˆˆ ˆˆ ( BA ψ ) + = ψ ( BA) +
ˆ ˆ ˆˆ ( BA) + = A + B +
二、标量积
ψ 和 ϕ 的标量积定义为
+
ϕ ψ ≡ ϕψ
标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。 标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。 显然