正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后试
专题06正多边形和圆(3个考点六大类型)(原卷版)
专题06 正多边形和圆（3个考点六大类型）【题型1 正多边形与圆求角度】【题型2正多边形与圆求线段长度】【题型3正多边形与圆求半径】【题型4正多边形与圆求面积】【题型5正多边形与圆求周长】【题型6正多边形与直角坐标系综合】【题型1 正多边形与圆求角度】1．（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，∠ADB的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°2．（2023•荷塘区模拟）如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG 的度数为（）A．116°B．120°C．124°D．126°3．（2023•惠水县一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（）A．10°B．12°C．20°D．22°4．（2023•渌口区二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝96°，则∠FCD的大小为（）A．38°B．42°C．48°D．58°5．（2022秋•曲周县期末）已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数等于（）A．45°B．60°C．35°D．55°6．（2023•新市区校级一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．150°B．144°C．135°D．120°7．（2023•泰兴市二模）如图，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则∠COF＝°．8．（2023•南关区校级模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是．9．（2023•天山区校级一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠DAC的度数为．10．（2023•霍林郭勒市校级三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE 的度数是．11．（2023•陇南模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是．12．（2022秋•南浔区期末）已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．13．（2023•子洲县校级一模）如图，在正六边形ABCDEF中，延长AB交EC 的延长线于点G，则∠G的度数为．【题型2正多边形与圆求线段长度】14．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADB＝15°，则该正多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12 15．（2022秋•烟台期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．B．3C．D．16．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．B．C．3D．2 17．（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为．18．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，已知正六边形的边心距OG为，则它的边长AB为．19．（2022秋•甘井子区校级期末）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为mm．【题型3正多边形与圆求半径】20．（2022秋•铜山区期中）如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12cm，则该正六边形的内切圆半径为（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm21．（2022秋•红桥区期末）若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（）A．2，1B．2，C．，2D．，3 22．（2022秋•巩义市期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（）A．B．C．1D．23．（2022秋•东丽区期末）正方形边长为4，则其外接圆半径为（）A．2B．C．4D．24．（2022秋•开封期末）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是24，则⊙O的半径是．【题型4正多边形与圆求面积】25．（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）A．πB．2πC．D．26．（2023•济源一模）如图，正六边形ABCDEF，A（﹣2，0），D（2，0），点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1个单位长度的速度运动，当运动到第2023秒时，△AOP的面积为（）A．B．C．D．1 27．（2023•大冶市一模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（）A．4m2B．12m2C．24m2D．24m2 28．（2023•宁江区二模）如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若S1＝13，S2＝5，则S3的面积为（）A．12B．25C．8D．18 29．（2023•高碑店市模拟）如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5B．6C．8D．10 30．（2023•惠山区校级模拟）如图，面积为6的正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则阴影部分面积为（）A．2B．3C．4D．5 31．（2023•桓台县一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（）A．B．C．D．32．（2023•温州二模）如图，菱形花坛ABCD的边长为9米，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的面积为米2．33．（2022秋•碑林区校级期末）如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE长为4，则△BDE的面积为．【题型5正多边形与圆求周长】34．（2023春•余姚市期中）一个边长为1的正多边形的每个外角的度数是36°，则这个正多边形的周长是（）A．1B．10C．5D．35．（2022秋•开封期末）一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是（）A．12B．15C．18D．21 36．（2022秋•北辰区校级期末）边心距为3的正六边形的周长为（）A．18B．C．D．37．（2022秋•南沙区校级期末）已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（）A．12m B．12m C．24m D．24m 38．（2023春•和平区校级月考）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（）A．6B．12C．D．39．（2022•新昌县校级模拟）一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（）A．8B．14C．16D．20 40．（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）A．5B．6C．30D．36 41．（2023•鼓楼区模拟）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A．B．C．D．42．（2022秋•河西区期末）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为10，求中间正六边形的周长．43．（2023•苏州模拟）已知正六边形的半径为，则它的周长＝．44．（2023•青海模拟）等宽曲线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是相等的．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧则弧AB，弧BC弧AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．莱洛三角形是“等宽曲线”，用莱洛三角形做横断面的滚子，能使载重物水平移动而不至于上下颠簸，若AB＝3，则此“莱诺三角形”的周长为．【题型6正多边形与直角坐标系综合】45．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）46．（2023•辉县市二模）我们知道，五边形具有不稳定性．正五边形OABCD 在平面直角坐标系中的位置如图（1）所示，A（﹣2，0）．固定边AO，将正五边形向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图（2）所示，则此时点D的坐标为（）A．B．C．（1，2）D．47．（2023•宝应县二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是，则B点的坐标是．。
2020年九年级数学上册专题24.3正多边形和圆(讲练)【含解析】
2020年九年级数学上册专题24.3正多边形和圆（讲练）一、知识点1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC 为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2二、标准例题：例1：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF 中，∠BCD ＝＝120°，BC ＝CD，(62)1806-⨯∴∠CBD ＝（180°﹣120°）＝30°，12故选：A ．总结：本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．例2：如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）A ．B ．C ．D ．45342312【答案】C【解析】连接AC ，设正方形的边长为a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC 为圆的直径，a ，，223π=≈故选C.总结：本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．例3：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G .(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)已知FG ＝，求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为.83π【解析】(1)证明：连接OF ，AO ，∵AB ＝AF ＝EF ，∴，AB AF EF ==∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠EBF ＝30°，∵OB ＝OF ，∴∠OBF ＝∠BFO ＝30°，∴∠ABF ＝∠OFB ，∴AB ∥OF ，∵FG ⊥BA ，∴OF ⊥FG ，∴FG 是⊙O 的切线；(2)解：∵，AB AF EF ==∴∠AOF ＝60°，∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AFO ＝60°，∴∠AFG ＝30°，∵FG ＝，∴AF ＝4，∴AO ＝4，∵AF ∥BE ，∴S △ABF ＝S △AOF ，∴图中阴影部分的面积＝.260483603ππ⨯=总结：此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角三、练习1．如图，正六边形的边长为2，分别以点为圆心，以为半径作扇形，扇形ABCDEF ,A D ,AB DCABF ．则图中阴影部分的面积是（ ）DCE A ．B ．C ．D．43π83π-43π-43π【答案】B 【解析】解：∵正六边形的边长为2，ABCDEF ∴正六边形的面积是：，，ABCDEF ()22sin 606622︒⨯⨯=⨯=120FAB EDC ∠=∠=∴图中阴影部分的面积是：，21202823603ππ⨯⨯-⨯=故选：B ．2．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则的值是（）1∠A ．B ．C ．D ．15︒18︒20︒9︒【答案】B 【解析】解：正五边形的内角的度数是1(52)1801085︒︒⨯-⨯=正方形的内角是90°，则∠1=108°-90°=18°．故选：B ．3．如图，已知正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点逆ABCD A B O C D O ABCD A 时针旋转，使点落在上.若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为D O ABCD O 6cm D （）A ．B ．C ．D ．2cmπ32cm πcm π12cm π【答案】C 【解析】解：设圆心为O ，连接AO ，BO ， OF ，∵AB=6，AO=BO=6，∴AB=AO=BO，∴三角形AOB 是等边三角形，∴∠OAB=60°∵AF=AO=FO=6，∴△FAO 是等边三角形，∴∠OAF=60°∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°，∴∠EAC=120°-90°=30°，∵AD=AB=AF=6，∴点D 运动的路径长为：=π．306180π⨯⨯故选：C ．4．如图，在正五边形中，，的延长线交于点，则等于（ ）.ABCDE AE CD FF ∠A ．B ．C ．D ．30°32︒36︒38︒【答案】C 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AED =∠EDC =108°，∴∠FED =∠FDE =72°，由三角形的内角和定理得：∠F =180°﹣72°﹣72°=36°．故选C ．5．如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）ABCDE O BD ABD ∠A ．B ．C ．D ．60︒70︒72︒144︒【答案】C 【解析】∵五边形为正五边形ABCDE ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒∵CD CB =∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选：C ．6．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）A ．B ．C ．D ．π-2π-π+2π+【答案】A【解析】解：6个月牙形的面积之和，2132622πππ⎛=--⨯⨯= ⎝故选：A ．7．阅读理如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定,有序数对(θ,m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
正多边形和圆(解析版)九年级数学-下册
27.4正多边形和圆姓名：_______班级_______学号：________题型1直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程212200x x -+=的一个实数根，则三角形的内切圆半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内切圆，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的两根，根据构成三角形的条件确定这个三角形的三边长为6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，根据等面积法得到求出OD 的长即可得到答案．【详解】解：212200x x -+=，()()2100x x --=，10x ∴=或2，当2x =时，268+=，不能组成三角形，不符合题意；10x ∴=，当第三边为10时，2226810+= ，此三角形是直角三角形，如图所示，在Rt ABC △中，点O 是Rt ABC △的内接圆，分别与,,AB BC AC 相切于D 、E 、F ，,,OD OE OF OD AB OE ∴==⊥ABC ABO ACO BCO S S S S ∴=++ 111222AB BC AB OD BC ∴⋅=⋅+1683452OD OE OF ∴⨯⨯=++2OD ∴=，∴圆O 的半径为2，【答案】()5,1()8093,1【分析】作PD OA ⊥交OA 于D ，PF OB ⊥交OB PB ，由A 、B 的坐标得出4OA =，3OB =，由勾股定理可得点A的坐标为()3,0，0,4，点B的坐标为()OA=，∴=，43OB2222∴=+=+=，AB OA OB435点P是Rt OAB内切圆的圆心，PD OA⊥⊥，PF OB【答案】3cm【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出1()2CD CF AC BC AB ==+-是解题关键．设易证得四边形OFCD 是正方形；那么根据切线长定理可得：在Rt ABC △，90C ∠=︒，9cm BC =根据勾股定理2215(cm)AB AC BC =+=四边形OECF 中，OD OF =，ODC ∠∴四边形OFCD 是正方形，题型2圆外切四边形模型5．（2022上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，O 是四边形ABCD 的内切圆．若70AOB ∠=︒，则COD ∠=（）A ．110︒B ．125︒C ．140︒D ．145︒【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；【详解】解：∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OAB OAD ∠=∠，ODA ODC ∠=∠，OCD OCB ∠=∠，OBC OBA ∠=∠，∵360OAB OAD ODA ODC OCD OCB OBC OBA ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴180OAB OBA ODC OCD OAD ODA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，∵70AOB ∠=︒，180OAB OBA AOB ∠+∠+∠=︒，180ODC OCD DOC ∠+∠+∠=︒，∴18070110COD ∠=︒-︒=︒，故选：A ；【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到180OAB OBA ODC OCD ∠+∠+∠+∠=︒．6．（2021·九年级课时练习）下面图形中，一定有内切圆的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．平行四边形【答案】C【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案．【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角，所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆，选项中只有菱形，对角线平分对角．故选C【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键．7．（2019上·浙江温州·九年级校考期末）如图，正方形EBFI ，正方形MFCG 和正方形HLGD 都在正方形ABCD 内，且=BF HD ．O 分别与AE ，EI ，HL ，AH 相切，点M 恰好落在【答案】1682-【分析】连接AC ，由题意可知【详解】解：如图所示，连接∵正方形EBFI ，正方形MFCG ∴45ACD MCD DAC ∠=∠=∠=∵O 分别与AE ，EI ，HL ，∴四边形AQOP 是正方形，∴AC 过点O ，M ，四边形ABCD 为正方形，题型3三角形内心有关应用9．（2023上·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）下列语句中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆A ．12B ．【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，【详解】解：过O 点作OD ∵O 是正ABC 的内切圆，A．100︒B．【答案】D【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出1【答案】52-/2-+【分析】在AB 的下方作等腰直角三角形过点K 作KT DB ⊥交DB ∵点P 是ACB △的内心，∠∴12PAB CAB ∠=∠，PBA ∠=∴(12PAB PBA CAB ∠+∠=∠∴18045135APB ∠=︒-︒=︒，∴点P 在以K 为圆心，KA 为半径的圆上运动，∵2AB =，AK BK =，AKB ∠设这个三角形内切圆的半径为r ，则11145222S ar br cr =++=，即()1452r a b c ++=，∵三角形的三边a ，b ，c 分别为7，6，∴()1763452r ++=，则：DAC DBC ∠=∠，∵I 是ABC 内心，∴,ABD DBC CAI ∠=∠∠=∴DAC DBA ∠=∠，∴DAC CAI DBA ∠+∠=∠+则：222CH AC AH =-=即：(222141315x -=--解得：425x =，∴22CH AC AH =-=设AD x =，则2BD =-由勾股定理得：2CD AC =222243(2)x x ∴-=--．解得： 2.75x =．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接OD 、在Rt ABC △中，AC AB =设内切圆半径为r ，AB 、BC ∴OD AB ⊥，OE BC ⊥，∵AB BC ⊥，OD OE =，∴四边形ODBE 为正方形，∴OD OE BD BE r ====，由切线长定理得，8AF AD r ==-，6CE CF r ==-，MD MP =，NE NP =，∴8610AC AF CF r r =+=-+-=，解得2r =，则的周长为BM BN MN++BM BN MP NP=+++BM BN MD NE=+++BD BE=+2BD=2r=4=．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形ODBE 为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．题型5三角形内切圆与外接圆综合18．（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知O 是ABC 的内心，70BAC ∠=︒，P 为平面上一点，点O 恰好又是BCP 的外心，则BPC ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．62.5︒D ．65︒【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得OB OC 、分别是ABC ACB ∠∠、的角平分线，进而求出BOC ∠的大小，再利用三角形外心的性质得出BPC ∠等于BOC ∠的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．∵O是ABC的内心，，∴12OBC ABC ∠=∠，∴12 OBC OCB∠+∠=∠【答案】65︒/65度【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接OB、OC，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得BOC∠，再根据圆周角定理得到∵80BAC ∠=︒，∴180ABC ACB ∠+∠=︒-∵O 是ABC 的内心，∴12OBC ABC ∠=∠，OCB ∠【答案】58【分析】作AD BC ⊥于点D ，作PF 且AD 垂直平分BC ，及BD CD ==得BQ 、PF 和DQ ，由PCF ≌ R R t 答案．则90ADB ADC ∠=∠=︒，∵5AB AC ==，∴AD 平分BAC ∠，且AD 垂直平分∵6BC =，∴1=32BD CD BC ==，【答案】40︒/40度【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出COB ∠的度数和OGE ∠【详解】解：连接,OD OE【答案】5【分析】连接OA 、OB 、OC 、33BE BD OE ===，进而得出【详解】解：如图，连接OA 、OB ∵ABC 的内切圆半径3r =，30ABO CBO ∴∠=∠=︒，33BE BD OE ∴===，8BC = ，A．72°【答案】A【分析】根据正n边形的中心角的度数为【答案】2【分析】本题考查圆内接正多边形的性质、形的中心角36060AOB︒∠==︒，进而证明由题意，360 AOB∠=∴AOB为等边三角形，【答案】72︒/72度【分析】本题考查的是正多边形和圆；根据正五边形的性质可得解．【详解】∵五边形ABCDE1【答案】72︒/72【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，求出正五边形的中心角的度数，掌握圆周角定理是正确解答的前提．求出正五边形的中心角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【详解】解：如图，连接∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，∴3605AOB BOC ︒∠=∠=∴7272144AOC ∠=︒+︒=∴1722AFC AOC ∠=∠=A．4B【答案】B【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出60BOC ∠=︒，OB OC =∴BOC 是等边三角形，∴6OB BC ==，OM BC ⊥，1A ．2B ．确定，所以CMP S △的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出1S S =则2MN OM =，∵12COD S CD OM = ，PCM S ∴COD PCM S S = ，∵16COD ABCDEF S S = 正六边形，34．（2023上·浙江温州记ACE △的周长为1C ，正六边形为【答案】32【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含长为a ，利用含30︒角的直角三角形的性质求出【详解】解：设正六边形的边长为∵六边形ABCDEF 是∴DC DE a ==，CDE ∠∴60,EDH DEH ∠=︒∠∴12DH a =，(1)在方格纸中画出以AC为对角线的正方形小正方形的顶点上；∠为顶角的等腰三角形(2)在方格纸中画出以GFE格点上，连接AG，并直接写出线段【答案】(1)见详解；∠为顶角的等腰三角形（2）解：以GFE22AG=+=．5334【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．36．（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知的内接正方形ABCD法，作出O【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙【详解】解：如图，正方形ABCD的直径，∵BD垂直平分AC，AC为O的直径，∴BD为O∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，的内接正方形．∴四边形ABCD是O【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．37．（2020下·山东青岛·九年级统考学业考试）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．38．（2022上·江西景德镇·九年级统考期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：(1)在图1中，画出CD的中点G；(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．39．（2023上·江苏盐城【答案】（1）3；（2）21316AN≤≤；（3）9373222r-≤≤【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果；（2）当MNA'的外接圆与线段DC相交，且点N与D重合时，此时AN外接圆与线段DC相切时，此时AN最小，利用勾股定理构建方程求解即可；由折叠的性质得：A D AD'=，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相交，且点N 与D 重合时，此时AN 最大，即3AN =，当MNA ' 的外接圆与线段DC 相切时，设半径为r ，则3,OF r AO r =-=，则1924AF AM ==，∴()222934r r ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当N 与D 重合时r 最大，3,6,6A F r MF r MA ''∴=-=-=，Rt FA M ' 中，()()222366r r -+-=，1r =9372+（舍），29372r -=，故答案为：93732r -≤≤．。
正多边形与圆 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。
《正多边形和圆—知识讲解 》同步 2022人教九年级上册专练
正多边形和圆—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。
24.3正多边形和圆知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册
24.3正多边形和圆知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（3）正多边形是对称图形。
当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（4）与正多边形有关的概念：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。
正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
例题1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化例题2.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 例题3.正n边形是对称图形，它的对称轴有条。
例题4.正n边形的每个内角是，每个中心角是。
例题5.如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的边长、周长、面积．知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心；2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角；3.在正n 变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径，底边是正n 边形的边，顶角是正n 边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距；注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式例题 6.司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O ，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A ～H ），过点E 作⊙O 的切线与AG 的延长线交于点M ，连接EG ．（1）相邻两个方位 间所夹的圆心角的度数为 ．（2）求AG 的长．（3）求ME 的长．2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a r R例题7.如图，在正六边形ABCDEF中，P是BC的中点，点Q在CD上，且CQ ＝1，DQ＝3，求∠APQ的度数．例题8.正六边形ABCDEF的边长为4，求对角线AC的长和正六边形的面积．例题9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．课堂同步练习1.一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则∠ABF的度数为（）A．18°B．20°C．22°D．24°2．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2．则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（）A．1B．3C．πD．2π4．如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O，若EF＝2，则BC的长为（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．经过三个不同的点可以画一个圆B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧C．每条边都相等的圆内接多边形是正多边形D．如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等6．如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是（）A．B．C．D．17．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为.8．如图，边长为1的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为.（结果保留π）9．如图，已知正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC的度数为°．10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．11．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C度数是．12．在一个正多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的每一个外角的度数．13．如图，正六边形ABCDEF的半径为5．（1）求对角线AC的长；（2）求这个正六边形的周长与面积．14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．（1）求证：AB＝AF．（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F．（1）求∠CAD的度数．（2）已知AB＝2，求DF的长．16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则（1）⊙O的直径长为；（2）△AMN周长的最小值是．。
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+典型正多边形和圆知识点整理
例题+课后试
作者: 日期:
个性化辅导教案
学生年级： 上课时间：2016年 月 日 时 分至 时 分共 小时
教学标题 正多边形和圆
教学重难点 知识梳理：
1、 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、 正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一 个正多边形的外接圆的圆心叫
做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的
一边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 180°。
4、 圆内接正n 边形的性质(n >3,且为自然数)：
(1) 当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时，圆内接正 n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即 外接圆的圆心。
5、 常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：
(设圆内接正多边形的半径为
r ，边心距为d)
1
(1)圆内接正三角形：d r (2)圆内接正四边形：
d S
2
(3)圆内接正六边形：
d 3
2
2
6、常见圆内接正多边形半径
r 与边长x 的关系：
(1)圆内接正三角形：x
.3r
(2)圆内接正四边形：
x 2r
(3)圆内接正六边形：
x=r
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为
R 的正n 边形，只要把半径为 R
的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
(1) 用量角器等分圆周。
(2)
用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。
正n 边形每一个内角的度数为：
n 2
180
n 正n 边形的一个中心角的度数为:
学生姓名:
授课教师： ____________ 所授科目： _____________________ 360 n
8、定理1:把圆分成n(n > 3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依
次连结圆的n(n > 3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n > 3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。
•
(2) 要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3) 此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2: 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是冋心圆。
经典例题
例1、已知正六边形ABCDEF如图所示，其外接圆的半径是a, ?求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂
上钩，很自然应连接0A过0点作OM L AB垂于M,在Rt△ AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的
长•正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。
例2 :已知O O和O O上的一点A（如图）.
（1）作O O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH
⑵在⑴题的作图中，如果点E在弧AD上,求证：DE是O O内接正十二边形的一边
例3仲考）：
如图，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
课堂练习
:
选择题
1•一个正多边形的一个内角为120 °，则这个正多边形的边数为（）
3•如图所示，两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,
则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）
A • 7
B • 8
C • 9
D • 10
4•如图4所示，正六边形ABCDE内接于O Q则/ ADB的度数是（）.
A • 60°
B • 45°
C • 30 °
D • 22 • 5°
5 •若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，？则这段弧所对的圆心角为（）
A • 18°
B • 36°
C • 72 °
D • 144°
6 •正六边形的周长为12,则同半径的正三角形的面积为______________________ ，同半径的正方形的周长为________________
7.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 _______________________ .
2 •如图所示，正六边形螺帽的边长是
cm
2cm,这个扳手的开口a的值应是（）
2^3
C •- cm
D • 1 cm
第3题图第4题图
Q,半径为2,求厶ABC的边长a,周长P,边心距r,面积S •8 •如图所示，正△ ABC的外接圆的圆心为
巩固练习
4. 正多边形的一个中「心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于________________ _ _______ 度.
5. 如图，两相交圆的公共弦AB为2 3，在O 01中为内接正三角形的一边，在O 02中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比
6. 某正多边形的每个内角比其外角大100°,求这个正多边形的边数
思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求。