运动路径问题

1、已知R t △ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O 是AB 中点，点P 、Q 分别从点A 、C 出发，沿

AC 、CB 以每秒1个单位的速度运动，到达点C 、B 后停止。连结PQ 、点D 是PQ 中点，连

结CD 并延长交AB 于点E.

（1） 试说明：△POQ 是等腰直角三角形；

（2） 设点P 、Q 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式来表示△CPQ 的面积S ，并求出

S 的最大值；

（3） 如图2，点P 在运动过程中，连结EP 、EQ ，问四边形PEQC 是什么四边形，并说明

理由；

（4） 求点D 运动的路径长（直接写出结果）.

2、ABC Rt ∆在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，︒=∠90C ，6=AB ，3=AC ，

点A 在x 轴上由原点O 开始向右滑动，同时点B 在y 轴上也随之向点O 滑动，如图2所示；当

点B 滑动至点O 重合时，运动结束。在上述运动过程中，⊙G 始终以AB 为直径。

（1）试判断在运动过程中，原点O 与⊙G 的位置关系，并说明理由；

（2）设点C 坐标为（x ，y ），试求出y 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C 运动的路径的长。 3、如图①，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，6=AC ，8=BC ，动点P 从点A 开始沿边AC

向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单

位长度的速度运动，过点P 作PD ∥BC ，交AB 于点D ，连接PQ ，点P 、Q 分别从点A 、C 同

时出发，当其上一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（0≥t ）

（1）直接用含t 的代数式分别表示：=QB __________，=PD _____________.

（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形，若存在，求出t 的值;若不存在，说明理由，

并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点

Q 的速度。

（3）如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ 中点M 所经过的路径长。

如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是

BC 的中点。P （0，m ）是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交A B 的延长线

于点D 。

⑴求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

⑵当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；

（图2） （图1） A

⑶设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂

足为H （如图2），当点P 从点O 向点C 运动时，点H 也随之运动。请直接写出点

H 所经过的路径长。（不必写解答过程）

在平面直角坐标系x O y 中，点A 的坐标为（0，2），直线OP 经过原点，且位于一、三象

限，∠AOP=45 °（如图1），设点A 关于直线OP 的对称点为B .

（1）写出点B 的坐标 ；

（2）过原点O 的直线l 从直线OP 的位置开始，绕原点O 顺时针旋转，

①当直线l 顺时针旋转10°到直线l 1的位置时（如图1），点A 关于直线l 1的对称点为C ，则∠BOC 的度数是 ，线段OC 的长为 ； ②当直线l 顺时针旋转55°到直线l 2的位置时（如图2），点A 关于直线l 2的对称点为D ，

则∠BOD 的度数是 ；

③直线l 顺时针旋转n °（0＜n ≤90），在这个运动的过程中，点A 关于直线l 的对称点所

经过的路径长为 （用含n 的代数式表示）.

5.如图，一块含有30º角的直角三角形ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到

A ’

B ’

C ’的位置。若BC 的长为15cm ，那么顶点A 从开始到结束所经过的路径长为 （ ）

A ．π10cm

B ．π310cm

C ．π15cm

D ．π20cm

如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙角处，此时BC 为1米，当A 点下滑至A'处并且A'C=1米时，

木棒AB 的中点P 运动的路径长为 米．

如图，扇形AOB 中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点B 顺时针旋转，得一新扇形A′O′B ，其中A

点在O′B 上，则点O 的运动路径长为 cm ．（结果保留π）

如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形OAB 的AB ︵ 上有一动点P ，过P 作PH ⊥OA 于H ．设△OPH 的内心为I ，当点P 在AB ︵

上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为___________．

A P I H A O

C

P B D M x y

A O C

P B

D M x

y E

如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．

如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为。

如图，在以O为圆心，2为半径的圆上任取一点A，过点A作AM⊥y轴于点M，AN⊥x轴于点N，点P为MN的中点，当点A沿着圆圈在第一象限内顺时针方向走完45°弧长时，则点P走过的路径长为。

18．如图，一根木棒(AB)长为2a，斜靠在与地面(OM)垂直的墙壁(ON)上，与地面的

3 )a，则B端倾斜角（∠ABO）为60°，当木棒A端沿NO向下滑动到A′，AA′＝(2

沿直线OM向右滑动到B′，木棒中点从P随之运动到P′所经过的路径长为________．

如图，在直角坐标系中有一块三角板GEF按图1放置，其中∠GEF=60°，∠

G=90°，EF=4．随后三角板的点E沿y轴向点O滑动，同时点F在x轴的正

半轴上也随之滑动．当点E到达点O时，停止滑动．

（1）在图2中，利用直角三角形外接圆的性质说明点O、E、G、F四点在同

一个圆上，并在图2中用尺规方法作出该圆，（不写作法，保留作图痕迹）；（2）滑动过程中直线OG的函数表达式能确定吗？若能，请求出它的表达式；若不能，请说明理由；

（3）求出滑动过程中点G运动的路径的总长；

（4）若将三角板GEF换成一块∠G=90°，∠GEF=α的硬纸板，其它条件不变，试用含α的式子表示点G运动的路径的总长．

如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正△ABC

的边长为1，它的一边AC在MN上，且顶点A与M重合．现将正△ABC在梯

形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．

（1）请在所给的图中，画出顶点A在正△ABC整个翻滚过程中所经过的路

线图；

（2）求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路径长；

（3）求正△ABC在整个翻滚过程中顶点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．

如图，边长为4的等边三角形AOB

的顶点O在坐标原点，点A在x