运动路径解析
机器人运动规划和路径规划算法分析设计整理
机器人运动规划和路径规划算法分析设计整理在现代自动化领域中，机器人已经成为各个产业的重要组成部分。
无论是在制造业、物流业还是服务业中，机器人的运动规划和路径规划算法都起着至关重要的作用。
本文将对机器人运动规划和路径规划算法进行深入分析和设计整理。
一、机器人运动规划算法分析设计整理机器人的运动规划算法主要是指如何使机器人在给定的环境中找到一条最优路径，以到达指定的目标点。
下面将介绍几种常用的机器人运动规划算法。
1.1 图搜索算法图搜索算法是一种基于图论的方法，将机器人的运动环境表示为一个图，每个位置都是图的一个节点，连接的边表示两个位置之间的可达性。
常用的图搜索算法有广度优先搜索（BFS）、深度优先搜索（DFS）和A*算法。
BFS和DFS适用于无权图的搜索，适用于简单的运动环境。
而A*算法将节点的代价函数综合考虑了节点的代价和距离，能够在复杂的运动环境中找到最优路径。
1.2 动态规划算法动态规划算法通过将问题分解为相互重叠的子问题，从而找到最优解。
在机器人运动规划中，动态规划算法可以将整个运动路径划分为一系列子路径，逐步求解子路径的最优解，然后将这些最优解组成整个路径的最优解。
动态规划算法的优点是对于复杂的运动环境能够找到全局最优解，但是由于需要存储中间结果，消耗的内存较大。
1.3 其他算法除了图搜索算法和动态规划算法外，机器人运动规划还可以采用其他一些算法。
例如，弗洛伊德算法可以用于解决带有负权边的最短路径问题，适用于一些复杂的运动环境。
此外，遗传算法和模拟退火算法等进化算法也可以用于机器人的运动规划，通过模拟生物进化的过程来找到最优解。
这些算法在不同的运动环境和问题中具有各自的优势和适用性。
二、机器人路径规划算法分析设计整理路径规划算法是指在机器人的运动规划基础上，通过考虑机器人的动力学约束，生成机器人的具体轨迹。
下面将介绍几种常用的机器人路径规划算法。
2.1 轨迹插值算法轨迹插值算法是一种基于多项式插补的方法，通过控制机器人的位置、速度和加速度等参数，生成平滑的轨迹。
运动路径长度问题
硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C.1 D.2【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为．4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．8．如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C ＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度．9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD 运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．10．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．12．已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是，∠FEO＝°；（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则①求点P运动的路径长是多少？②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．13．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．14．（2019•兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C．4D．15．（2019•武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P 向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A．B．C．D．17．（2020•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（）A．πB．C．D．118．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于．19．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为．20．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段PA绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为．22．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE （E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为____________.23．等边△ABC的边长为18，在AC，BC边上各取一点D，E，连接AE，BD相交于点P，若AE＝BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为．24．（2020•武汉模拟）如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA绕着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是．25．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD 于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．26．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．。
AE中的运动路径和路径跟随技术解析
AE中的运动路径和路径跟随技术解析AE（Adobe After Effects）是一款非常强大的视觉特效软件，广泛应用于电影、电视制作、广告等领域。
在AE中，运动路径和路径跟随技术是非常常用且重要的功能，可以为动画添加更丰富的运动效果。
本文将深入解析AE中的运动路径和路径跟随技术，帮助读者更好地运用这些技巧。
首先，我们来谈谈AE中的运动路径。
运动路径是指物体在一个时间范围内的移动轨迹，可以是直线、曲线、自定义路径等。
在AE中，我们可以通过关键帧来设置物体在运动路径上的位置和移动方式。
具体操作步骤如下：首先，创建一个新的合成（composition），然后在时间轴面板（timeline panel）中选择要添加运动路径的物体图层。
接下来，在时间轴面板上选中该物体图层，在属性面板（property panel）中找到“Transform”选项。
展开“Transform”选项，可以看到“Position”属性。
点击右侧的时钟图标，可以为该属性添加关键帧。
然后，在时间轴上移动到新的时间点，再次修改“Position”属性的值，这样就创建了第二个关键帧。
在时间轴上可以看到两个关键帧，AE会自动计算并显示两个关键帧之间的运动路径。
可以通过调整关键帧之间的位置和属性值，来实现不同的运动效果。
另外，AE还提供了一些高级的运动路径调整工具，例如贝塞尔曲线编辑器（Bezier Curve Editor）和路径调整工具（Path Adjustment Tool），可以通过这些工具来精确调整运动路径的形状和曲线。
接下来，我们来探讨一下AE中的路径跟随技术。
路径跟随是指物体或文字沿着预先设定好的路径进行运动的效果。
在AE中，可以通过几个简单的步骤实现路径跟随效果。
首先，创建一个新的合成，然后在时间轴面板中选择要添加路径跟随效果的物体或文字图层。
接下来，在时间轴面板上选中该图层，在属性面板中找到“Position”属性。
点击右侧的时钟图标，为该属性添加关键帧。
路径的概念在物理中的应用(一)
路径的概念在物理中的应用(一)路径的概念在物理中的应用1. 轨迹和位移路径•轨迹：指的是物体运动时所经历的路径。
当一个物体在空间中运动时，可以通过观察它的位置变化得到一条连续的轨迹。
•位移路径：指的是物体从初始位置到最终位置之间的路径。
位移路径可以是直线、曲线、圆弧等形式。
2. 光的传输路径•光线传输路径：当光通过介质传播时，它会沿着一定的路径传输。
光的传输路径可以根据介质的不同而有所变化，例如在空气中的光线传输路径与在水中的光线传输路径是不同的。
•光的反射路径：当光从一个介质反射到另一个介质时，它会按照一定的规律发生反射。
通过研究光的反射路径，可以了解到光的反射规律，例如光的入射角等于反射角。
3. 电流的路径•电流路径：当电流在电路中流动时，电子会沿着一条闭合的路径流动。
电流路径的确定与电路的布局和元件的连接方式有关，例如在串联电路中，电流沿着从正极到负极的路径流动。
4. 直线运动的路径•经典力学中，当物体沿直线运动时，它的路径可以用一条直线来表示。
根据牛顿第一定律，物体在未受到力的作用时，会保持匀速直线运动。
5. 弧线运动的路径•当物体在弯曲的轨道上做运动时，它的路径可以被描述为一条弧线。
这种弧线运动常见于圆周运动或曲线运动，例如行星绕太阳的运动轨道。
6. 粒子在电磁场中的路径•在电磁场中，带电粒子会受到电场力和磁场力的作用。
根据洛伦兹力的定律，粒子在电磁场中的路径可以被描述为一条带曲线的轨迹。
这种应用在粒子加速器和磁共振成像等领域具有重要意义。
以上是在物理中应用路径概念的一些例子，这些应用对于理解物体运动、光的传播、电路、力学等领域起到了重要的作用。
路径的概念帮助我们描述和分析物理现象，推导出相应的物理定律和规律，进而实现对自然界和人造系统的控制和应用。
点运动的路径长问题
图５
图６
例 ３ 如图 ７ ， 正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 长 是 ２ ， 是
△Ａ Ｐ Ｂ ， 联结 Ｂ Ｂ 可 得 Ａ Ｄ 的中点 ， 点 Ｅ从点 Ａ出发 ， 沿Ａ Ｂ运 动到点 Ｂ停
／ ＿Ｐ Ａ Ｂ＝／Ｐ Ｂ ＝ ９ ０ 。 ， 在 Ｐ从 点 ０到 点 Ⅳ 的运动
１
一
４
３ ２ １ ＞ｊ
ｏ
—
４
３ ２ ｌ
、
Ｄ ０ ２ ＝ ’ Ｃ － ｐ ｃ ＝ √ ５ ．
／
。 ｊ
Ａ Ｐ Ｄ
Ｍ ４
－
ｌ
２
０ ｌ
－ ’
’
２
３
Ⅳ
３
Ｎ ｃ
图 １
图 ２
分析
如 图 ２， 在线段 Ｏ Ｎ上另取点 Ｐ ， 构 成 ＝ ＝ 因 为
（ ２ ） 当 ＡＡ Ｄ Ｐ是 等腰 三角 形 时 ， 求 ｍ 的值 ； （ ３ ） 设 过 点 Ｐ， Ｍ， Ｂ的抛 物 线 与 轴 的正 半 轴
（ ｚ ｏ ｌ ｏ年 江 苏省 南京市数 学 中考试 题 ） 分析 （ １ ） Ｙ＝ ２ ｘ ＋２ ， 其中 ０ ≤ ≤２ ．
交于点 Ｅ ， 过点 ０作直线 Ｍ Ｅ的垂线 ， 垂足为 日 （ 如 图１ ２ ） ， 当点 Ｐ从原 点 ０向点 Ｃ运 动 时 ， 点 日也 随
止． 联结 Ｅ Ｍ 并延长交射线 Ｃ Ｄ 于点 Ｆ， 过 点 作 Ｆ的垂线 交射线 Ｂ Ｃ于点 Ｇ， 联结 Ｅ Ｇ， Ｆ Ｇ ．
过程中始终存在 △ ／ ｌ 一ＡＡ Ｂ Ｂ ， 且相似 比为 ，
所 以点 Ｂ的 路 径 Ｂ ＝ Ｐ 尸 ， 当Ｐ Ｐ ＝（ ） ～时 ， 运
AE中的动路径技巧
AE中的动路径技巧在AE（Adobe After Effects）中，动路径技巧是一种强大的工具，可以让我们创建精确而流畅的动画效果。
通过利用动路径技巧，我们可以轻松地控制和调整对象在画面中的运动路径，使其符合我们的设计需求。
本文将介绍AE中的一些常用动路径技巧，以帮助读者提高动画制作的效率和质量。
一、创建动路径在AE中，我们可以使用多种方式来创建动路径。
最常见的方法是使用“形状层”和“路径”工具来绘制路径。
首先，我们可以创建一个新的形状层，并选择“路径”工具。
然后，我们可以通过点击和拖动鼠标来绘制路径。
完成路径绘制后，我们可以调整路径的顶点和曲线，以满足动画效果的要求。
二、调整动路径一旦创建了动路径，我们就可以对其进行调整，以达到我们想要的运动效果。
AE提供了一些工具和技巧，可用于精确调整动路径。
我们可以使用“直接选择工具”来选择和移动路径上的顶点。
通过调整顶点的位置和曲率，我们可以改变路径的形状和方向。
此外，AE还提供了“贝塞尔曲线”工具，可以调整路径上的曲线，使其更加平滑或锐利。
三、运用控制点除了调整路径上的顶点，我们还可以使用控制点来控制动路径的形状和运动方式。
控制点是位于路径上的特殊点，用于控制路径的切线和速度变化。
通过调整控制点的位置和方向，我们可以改变动路径的速度和曲率。
在AE中，我们可以使用“贝塞尔控制器”来添加和调整控制点。
通过点击和拖动控制器，我们可以自由地调整控制点的位置和曲线，以实现各种不同的动画效果。
四、运动跟随路径在AE中，我们可以将对象与动路径关联，使其沿着路径运动。
通过运动跟随路径技巧，我们可以实现对象在画面中的自动移动和旋转。
要实现运动跟随路径，我们只需将对象与路径进行关联，并设置关键帧来控制对象的起始位置、运动路径和结束位置。
通过调整关键帧的时间和数值，我们可以控制对象在路径上的运动速度和运动方式。
五、使用“插值”在AE中，我们可以使用“插值”来调整动路径的运动方式和效果。
第12讲：运动路径长度问题解析版
第12讲：运动路径长度问题解析版1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—旋转相似模型5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，△AOB＝90°，OA＝，△O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设△O与AB相切于C，连接OC，则OC△AB，△OA＝OB，△AOB＝90°，OB＝，△AB＝2，OP＝OC＝AB＝，△△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，△＝，△ABO＝△QBP＝45°，△＝，△ABQ＝△OBP，△△ABQ△△OBP，△△BAQ＝△BOP，＝，即＝，△AQ＝，又△点P在弧MN上由点M运动到点N，△0°≤△BOP≤90°，△0°≤△BAQ≤90°，△点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，△点Q运动的路径长为＝，【例题2】已知△O，AB是直径，AB＝4，弦CD△AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ△AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，△△AFD＝90°，△点F在以AD为直径的圆上，△点F运动的路径为，△弦CD△AB且过OB的中点，△OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，△△DOE＝60°，△△DAC＝60°，△△ACD为等边三角形，△MQ和ME为中位线，△MQ＝，△QME＝60°，△F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，已知扇形AOB中，OA=3，△AOB=120°，C是在上的动点．以BC 为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．【例题4】等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE ＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）△APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）△△ABC为等边三角形，△AB＝AC，△C＝△CAB＝60°，又△AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，△△ABE△△CAF（SAS），△AF＝BE，△ABE＝△CAF．又△△APE＝△BPF＝△ABP+△BAP，△△APE＝△BAP+△CAF＝60°．△△APB＝180°﹣△APE＝120°．（2）如图1，△AE＝CF，△点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且△ABP＝△BAP＝30°，△△AOB＝120°，又△AB＝2，△OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，△AE＝CF，△点P的路径是一段弧，△当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′△AC于E′，△PC＝BE′，△△ABC是等边三角形，△BE′＝BC＝3，△PC＝2．△CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．【例题5】已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若△AEP＝△BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．△△APE和△PBF都是等腰三角形，且△AEP＝△BFP△△A＝△FPB，△AH△PF，同理，BH△PE，△四边形EPFH为平行四边形，△EF与HP互相平分．△M为EF的中点，△M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．△CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，△QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．【例题6】．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，△△A＝△FPB＝60°，△AH△PF，△△B＝△EP A＝60°，△BH△PE，△四边形EPFH为平行四边形，△EF与HP互相平分．△G为EF的中点，△G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．△MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：5【例题7】如图，AB为△O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，△AB为△O的直径，△△APB＝90°，△AP•AQ＝AB2．即＝，而△BAP＝△QAB，△△ABP△△AQB，△△ABQ＝△APB＝90°，△BQ为△O的切线，点Q运动的路径长为切线长，△弧AC的度数是60°，△△AOC＝60°，△△OAC＝60°，当点P在C点时，△BAQ＝60°，△BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．【例题8】．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF△PE交射线BC于点F．设点M 是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH△AD.△AD△CB，GH△AD，△GH△BC.在△EGM和△FHM中，△△EGM△△FHM.△MG=MH.△点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,△F2+△EBF1=90△,△BEF1+△EBF1=90△，△△F2=△EBF1.△△EF1B=△EF1F2，△△EF1B△△△EF1F2.△ ，即△F1F2=8，△M1M2是△EF1F2的中位线，△M1M2= F1F2=4.故答案为：4.【例题9】．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD 边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C．4D．【解析】如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO＝CQ＝，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．经典练习：1.如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】△当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A△y轴，点C运动的路径长是CC′的长，△AC′＝OC＝8，△AC′△OB，△△AC′O＝△COB，△cos△AC′O＝cos△COB＝＝，△＝，△OC′＝4，△CC′＝4﹣8；△当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．2.如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．△AC＝BC＝，△ACB＝90°，△AB＝＝2，△OP＝AB＝1，△CM＝MP，CK＝OK，△MK＝OP＝，△当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，△点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．4.如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足△COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D 两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，△PAB=△PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，△AED=60°,在Rt△ADO中，△DOA=90°,△PAB=30°,AO=1,故AD=,△AE=AD=弧APB的长度==。
描述运动轨迹
描述运动轨迹运动轨迹是指运动员在进行运动过程中，身体各部位的运动路径。
它在运动生物力学、运动训练学和运动表现等方面具有重要意义。
本文将从运动轨迹的定义、分类、应用、测量与分析、优化策略等方面进行详细阐述。
一、运动轨迹的定义与重要性运动轨迹是指运动员在进行运动过程中，身体各部位的运动路径。
它是运动表现的基础，直接影响着运动员的技能水平和比赛成绩。
了解和掌握运动轨迹，对于提高运动技能、优化运动表现具有重要意义。
二、运动轨迹的分类及特点运动轨迹可分为线性轨迹、曲线轨迹和复杂轨迹。
线性轨迹表现为直线运动，如跑步、跳跃等；曲线轨迹表现为物体在空间中沿一定曲线运动，如投掷、击打等；复杂轨迹则包含多种曲线和折线，如花样滑冰、体操等。
不同类型的运动轨迹具有不同的特点，如速度、加速度、关节角度等。
三、运动轨迹在运动技能学习与训练中的应用运动轨迹在运动技能学习与训练中具有重要作用。
通过对运动轨迹的分析和比较，运动员和教练可以发现运动过程中的不足，从而针对性地进行改进和提高。
此外，运动轨迹还可作为评价运动员技能水平的重要指标。
四、运动轨迹在运动表现提升中的作用运动轨迹对运动表现的提升具有直接影响。
优化运动轨迹可以使运动员在比赛中发挥更高的水平，提高运动成绩。
例如，在田径项目中，优化投掷运动的轨迹可以提高投掷距离；在球类项目中，优化击球运动的轨迹可以提高命中率。
五、运动轨迹的测量与分析方法运动轨迹的测量与分析方法主要有以下几种：高速摄影、运动捕捉系统、三维重建技术、肌电信号检测等。
这些方法可以为运动员和教练提供详细的运动轨迹数据，为运动训练提供科学依据。
六、运动轨迹的优化策略运动轨迹的优化策略包括：技术改进、训练方法调整、运动器材改进等。
运动员和教练可根据运动轨迹的分析结果，制定针对性的优化方案，提高运动表现。
七、总结运动轨迹在运动生物力学、运动训练学和运动表现等方面具有重要意义。
了解和掌握运动轨迹，有助于提高运动员的技能水平和比赛成绩。
中考数学复习轨迹问题的解题策略
轨迹问题的解题策略对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点，下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略．一、运动路径是线段例1（2012年张家界中考题）如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC ＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．解析此题中主动点是P，动点G是因点P的变化而变化，动点P在运动过程中始终保持不变的量是AP＋BP＝6．另外，题中还有不变的量是△APE和△PBF始终为等边三角形．解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量，而既然是求动点G的运动轨迹，则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变，还是到某个定点的距离保持不变，显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变，因此尝试作GQ⊥AB，垂足为Q．又根据△APE 和△PBF均是等边三角形这一性质，不难想到分别作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分别为M，N（如图2）．此时容易得到EM ＝2AP ，FN ＝2BP ，所以EM ＋FN （AP ＋BP ）＝．再根据梯形中位线的性质，可得到CQ ＝12（EM ＋FN ． 因此得到点G 到直线AB 的距离始终保持不变，从而得证点G 的运动轨迹是一条线段．而此时就点G 的运动路径长，便可转化为求点Q 的运动路径长，这时只要分别求出点P 在C 点和D 点时AQ 的长度即可．当点P 在点C 时（如图3），MQ 1＝12MN ＝32， 所以AQ 1＝AM ＋MQ 1＝12＋32＝2．当点P 在点D 时（如图4），MQ 2＝12MN ＝32， 所以AQ 2＝AM ＋MQ 2＝5322 ＝4． 所以点G 运动的路径长为4－2＝2．事实上，点G 在运动过程中，MQ 的长度也是始终保持不变，因此G 的运动路径长度就是M 点的运动路径长度，而整个运动过程中M 点是从AC 的中点运动到AD 的中点，即M 1M 2(如图5)．笔者认为，如果用这样的方式去分析问题，那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解．此题的解题思路中还体现了转化思想，对培养学生的数学思维是有积极作用的．二、运动路径是圆弧例2（2011年湖州中考题）如图6，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析(1)、(2)略．(3)此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H 是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧．下面只需确定圆弧的度数即可，即要找到动点H的始点和终点，根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C，因此可将点C定为动点H的终点．当点P在O点时，点H 在始点，记为H1，由对称性可知，此时点E的坐标为(3，0)，作MN⊥OE，垂足为N，取DM的中点F，再连结FC、F H1（如图8）．因为M点的坐标为(1，2)，所以可得MN＝NE＝2，所以得到∠MEN＝45°，所以∠H1OE ＝45°，所以∠H1OC＝45°．因为C，D，H1，M四点共圆，所以∠CFH1＝90°．又因为FC＝OM，所以弧CH1的长为：902180π∙，所以点H所经过．以上两个例题刚好反映了初中数学轨迹问题中的两种典型情况．此类问题的解题策略便是确定动点到定直线的距离保持不变，还是到定点的距离保持不变．沿着这个思路走下去，便能找到变化过程中不变的量，从而找到解题的突破口．。
运动路径的概念
运动路径的概念运动路径是指物体在运动过程中所经过的轨迹或路线。
无论是线性运动还是曲线运动，物体总是沿着某个轨迹移动。
运动路径不仅与物体自身的运动特点有关，还与外界环境的限制和作用力有关。
在物理学中，运动路径是研究物体运动的一个重要概念。
根据物体的运动方式和运动轨迹的形状，可以将运动路径分为直线运动和曲线运动两种。
直线运动是指物体在运动过程中沿着一条直线运动的情况。
直线运动是最简单的一种运动方式，常见的例子有物体自由下落、匀速直线运动等。
对于直线运动，物体的位置随时间的变化呈线性关系，可以用直线方程来描述。
运动路径是一条直线，在直线上任意两点之间的距离是固定的。
曲线运动是指物体在运动过程中沿着一条曲线运动的情况。
曲线运动较为复杂，物体的位置随时间的变化不再呈线性关系。
物体在曲线运动过程中，其位置、速度和加速度等物理量都会随时间变化而发生改变。
曲线运动的运动路径可以是圆弧、抛物线、椭圆等形状，取决于物体所受到的作用力和运动轨迹。
运动路径的形状和特点是由物体所受到的作用力决定的。
在自由下落的情况下，物体受到的作用力是重力，运动路径是垂直向下的直线。
在弹簧振子的摆动过程中，物体受到弹簧的弹力和重力的作用力，运动路径是来回摆动的曲线。
在行星围绕太阳运动的过程中，行星受到太阳的引力作用，运动路径是椭圆。
除了受到外力的影响，物体的运动路径还受到外界环境的限制。
在平面运动中，物体受到支撑力、摩擦力等作用，运动路径会受到这些力的影响而有所改变。
例如，游泳选手在水中游动时，受到水的阻力作用，运动路径会受到水流的影响而呈现出曲线。
运动路径的变化还可能受到其他因素的影响，如摆球、抛体等运动过程。
摆球运动是指物体通过绳子或其他支撑物进行来回摆动的运动。
摆球运动的运动路径是曲线，摆球摆动的形状取决于摆球的长度、重力加速度和摆动的幅度。
抛体运动是指物体在受到初速度和重力作用下进行抛射运动的过程。
抛体运动的运动路径是抛物线，其形状取决于初速度、抛射角度和重力加速度。
路径物理意义
路径物理意义路径在物理学中是一个重要的概念，它在描述物体运动、传播和变化过程中起着关键的作用。
路径可以指示物体在空间中的轨迹、光线在介质中的传播路径以及电流在电路中的流动路径等等。
本文将从不同的角度探讨路径的物理意义。
1. 运动路径：在描述物体的运动过程中，路径是一个基本的概念。
物体的运动路径可以是直线、曲线或者其他复杂的形状。
例如，一个投掷物体的轨迹可以是抛物线，一个行走的人的路径可以是曲线或者蜿蜒的线路。
通过研究物体的运动路径，我们可以了解其速度、加速度以及受力情况等信息。
2. 光的传播路径：光的传播路径是光学研究中的重要内容。
光线在介质中传播时会发生折射、反射等现象，它们的路径可以通过折射定律、反射定律等几何光学的原理来描述。
光的传播路径决定了我们能够看到的物体形状和位置，也决定了光学仪器的成像原理。
3. 电流路径：在电路中，电流的路径决定了电荷的流动方向和方式。
电流可以通过导线、电阻、电容等元件流动，它们的路径决定了电路的功能和性能。
例如，在并联电路中，电流可以选择不同的路径流动，这就决定了电路中的电压分配和电流分流。
4. 粒子轨迹：在粒子物理学中，粒子的轨迹是研究粒子性质和相互作用的重要手段。
通过探测器和加速器等装置，科学家可以测量和重建粒子在高能物理实验中的运动轨迹。
通过分析粒子的轨迹，可以研究粒子的质量、电荷和衰变等性质，也可以探索更深层次的物理规律。
5. 传感器路径：在传感器技术中，路径也具有重要的意义。
传感器可以感知和测量各种物理量，如温度、压力、湿度等。
传感器的路径决定了它所能感知到的物理量分布和变化规律。
通过合理布置和连接传感器，可以实现对环境和物体的监测、控制和调节。
路径在物理学中具有重要的意义。
它不仅可以描述物体的运动轨迹，还可以揭示光、电流、粒子等在空间中的传播和流动规律。
路径的研究有助于我们理解物理现象背后的规律和机制，也为各种应用提供了理论基础和技术支持。
因此，深入研究路径的物理意义对于推动科学进步和技术创新具有重要意义。
运动（motion）规划、路径（path）规划和轨迹（trajectory）规划之区别
运动（motion）规划、路径（path）规划和轨迹（trajectory）规划之区别1. 运动规划/路径规划/轨迹规划的联系与区别https:///wx545644217/article/details/54175035⼀、基本概念运动规划Motion Planning路径规划Path Planning轨迹规划Trajectory Planning运动规划由路径规划(空间)和轨迹规划(时间)组成，连接起点位置和终点位置的序列点或曲线称之为路径，构成路径的策略称之为路径规划。
路径规划是运动规划的主要研究内容之⼀。
路径是机器⼈位姿的⼀定序列，⽽不考虑机器⼈位姿参数随时间变化的因素。
路径规划（⼀般指位置规划）是找到⼀系列要经过的路径点，路径点是空间中的位置或关节⾓度，⽽轨迹规划是赋予路径时间信息。
运动规划，⼜称运动插补，是在给定的路径端点之间插⼊⽤于控制的中间点序列从⽽实现沿给定的平稳运动。
运动控制则是主要解决如何控制⽬标系统准确跟踪指令轨迹的问题，即对于给定的指令轨迹，选择适合的控制算法和参数，产⽣输出，控制⽬标实时，准确地跟踪给定的指令轨迹。
路径规划的⽬标是使路径与障碍物的距离尽量远同时路径的长度尽量短（避障、最短路径）；轨迹规划的⽬的主要是机器⼈关节空间移动中使得机器⼈的运⾏时间尽可能短，或者能量尽可能⼩（运⾏时间尽可最短，除了路径最短，还有考虑速度最优等）。
轨迹规划在路径规划的基础上加⼊时间序列信息，对机器⼈执⾏任务时的速度与加速度进⾏规划，以满⾜光滑性和速度可控性等要求。
下⾯要划重点了：另外，根据⽆⼈驾驶车辆的模型预测控制⼀书中的内容，路径与轨迹、路径规划与轨迹规划、路径跟踪和轨迹跟踪的联系和区别如下：对于智能车辆⽽⾔，全局路径点只要包含空间位置信息即可，也可以包含姿态信息，⽽不需要与时间相关，但局部规划时，则可以考虑时间信息。
这⾥规定轨迹点也是⼀种路径点，即当路径点信息中加⼊时间约束，就可以被称为轨迹点。
物理运动路程知识点归纳总结
物理运动路程知识点归纳总结物理运动路程知识点归纳总结一、距离和位移在物理学中，距离和位移是描述物体运动路程的两个重要概念。
距离是指物体从起点到终点所走过的路径长度，是一个标量量纲，单位通常为米。
位移是指物体的位置变化，是一个矢量量纲，有大小和方向之分，单位也为米。
二、常见的运动路程计算公式1. 匀速直线运动对于匀速直线运动，物体的速度保持恒定，可以使用以下公式计算路径长度：路程 = 速度 x 时间2. 直线加速度运动对于直线加速度运动，物体的速度随时间而变化，可以使用以下公式计算路径长度：路程 = (初速度 + 末速度) / 2 x 时间3. 自由落体运动对于自由落体运动，物体受重力作用，速度随时间增加，可以使用以下公式计算路径长度：路程 = (初速度 + 末速度) / 2 x 时间4. 二维运动对于二维运动，如斜抛运动或任意角度的抛体运动，可以分解为水平方向和垂直方向上的运动，并分别计算路径长度。
三、运动中的位移与位移的特性1. 位移与路径不等距离是描述物体所走过的路径长度，而位移是描述物体位置变化的矢量量纲。
因此，当物体绕圆形轨道运动时，虽然路径长度可能相等，但位移却不为零。
2. 位移的方向与速度方向一致位移是一个矢量量纲，具有大小和方向之分。
当物体运动时，位移的方向与速度的方向一致。
例如，物体做直线运动时，位移的方向与速度的方向相同；物体做曲线运动时，位移的方向始终指向运动轨迹的切线方向。
3. 位移与时间无关位移与时间无关，只与初始位置和末位置有关。
这意味着无论物体运动的过程是匀速运动还是变速运动，其位移是由初始位置和末位置决定的。
4. 位移的合成对于多个运动的位移，可以使用矢量运算的方法进行合成。
合成位移可以通过将各个位移矢量相加得到。
五、运动的图像和图像的分析1. 位移-时间图像位移-时间图像是描述物体位置随时间变化的图像。
在直线运动中，位移-时间图像为一条直线，斜率表示速度的大小和方向。
巧用瓜豆原理，破解初中数学路径问题
解题研究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀巧用瓜豆原理,破解初中数学路径问题◉甘肃省天水市清水县第三中学㊀许志强１瓜豆原理我们所说的 瓜豆原理 是数学问题中的一个动态问题 主从联动．这类问题涉及到路径问题,因此利用本模型解题,首先要明确 主动点 的路径,再结合具体的问题分析 主动点 和 从动点 之间的关系,之后确定 从动点 运动路径的形状,最终达到顺利解题的目的．１．１模型特征瓜豆原理实际上就是数学中的轨迹问题,它所涉及到的动点有两个,一个看作是 瓜 ,一个看作是豆 , 主动点 是 瓜 , 从动点 是 豆 ,根据瓜运动的情况来判断豆的变化轨迹,从而根据主动点运动过程中的特殊位置变化,突破从动点运动的路线,将动态问题转化为静态问题进行解答．１．２模型思路利用瓜豆原理解题,一般要做好以下五步:第一,根据问题情境确定主动点,并简单作出主动点的运动轨迹;第二,确定从动点,判断其与主动点之间的变化关系;第三,根据运动情况确定主动点的特殊位置,一般是起点或者终点位置;第四,根据问题要求确定主动点的变化特点,从而明确从动点的运动情况,再确定从动点的轨迹;第五,根据从动点运动的轨迹利用相关知识进行解答,往往涉及长度㊁最值等问题．２原理应用这类模型在应用过程中往往涉及到全等㊁位似及其旋转的知识,故笔者从这三种模型分析瓜豆原理在初中数学压轴问题中的破解方法．２．１全等模型图１模型探究:如图１,P 为әA B C边A C 上的一点,以B P 为边长向一侧作特殊三角形B P E (一般为等边三角形或等腰直角三角形等),当点P 由点A 运动到点C 时,判断点E 的运动路径．结论:根据上述图示２,首先确图２定点P 运动的起点和终点,确定好相对应的点E 的位置,分别记为点M ,N ,则MN 即为点E 的运动轨迹．连接B M 和B N ,根据特殊三角形的性质,可以判定әA B C 与әB MN 全等,进而得到MN ＝A C ．典型例题１㊀如图３,在等边三角形A B C 中,A B ＝１０,B D ＝４,B E ＝２,点P 从点E 出发沿E A 方向运动,连接P D ,以P D 为边,在P D 的右侧按如图所示的方式作等边三角形D P F ,当点P 从点E 运动到点A 时,试求点F 运动的路径长．图３㊀㊀图４分析:如图４,连接D E ,作F H ʅB C 于点H ,根据等边三角形的性质得øB ＝６０ʎ．过点D 作D E ᶄʅA B ,则B E ᶄ＝１２B D ＝２,则点E ᶄ与点E 重合,所以øB D E ＝３０ʎ,D E ＝３B E ＝２３．接着证明әD P E ɸәF DH ,得到F H ＝D E ＝２３,于是可判断点F 运动的路径为一条线段,此线段到B C 的距离为２３．当点P 在E 点时,作等边三角形D E F １,则D F １ʅB C ;当点P 在A 点时,作等边三角形D A F ２,作F ２Q ʅB C 于点Q ,则әD F ２Q ɸәA D E ．所以D Q ＝A E ＝８,从而F １F ２＝D Q ＝８．于是得到,当点P 从点E 运动到点A 时,点F 运动的路径长为８．２．２位似模型模型探究:如图５,P 为线段B C 上一动点,A 为定点,连接A P ,取A P 上一点Q ,当点P 在B C 上运动时,如图６,线段E F 即为点Q 的运动路径．图５㊀㊀图６结论:根据上述图示６,可以进一步得到E F ʊ４５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀B C ,从而可以确定әA E F 与әA B C 相似,进而得到A Q A P ＝E FB C．拓展探究:点P 若在一圆(或弧线)上运动时,点Q 的运动轨迹也是成为圆(或弧线)．典型例题２㊀如图７,矩形A B C D 中,A B ＝４,A D ＝２,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为D F 中点,连接P B ,求P B 的最小值．图７㊀㊀图８分析:如图８,根据中位线定理可得点P 的运动轨迹是线段P １P ２,再根据垂线段最短可知当B P ʅP １P ２时,P B 取得最小值．由矩形的性质及已知数据即可知B P １ʅP １P ２,故B P 的最小值为线段B P １的长,由勾股定理求解即可．典型例题３㊀如图９,在平面直角坐标系中,点P(３,４),☉P 的半径为２,A (２．６,０),B (５．２,０),M 是☉P 上的动点,C 是M B 的中点,试求A C 的最小值．图９㊀㊀㊀图１０分析:如图１０,连接O P 交☉P 于M ᶄ,连接O M ．因为O A ＝A B ,C M ＝C B ,所以A C ʊO M ,于是A C ＝１２O M ．故当O M 最小时,A C 最小．因此当点M 运动到点M ᶄ时,O M 最小．由此即可解决问题．２．３旋转模型模型探究:如图１１所示,A 为定点,øP A Q 为定值,A PA Q为定值,当点P 在直线B C 上运动时,则点Q 的运动路径也是直线．图１１㊀㊀㊀图１２结论:如图１２,当øP A Q ＜９０ʎ时,直线B C 与MN 的夹角等于øP A Q ．拓展探究:如图１３,A 为定点,øP A Q 为定值,A PA Q为定值,当点P 在☉O 上运动时,则点Q 的运动路径也是圆(如图１４虚线所画☉M )．图１３㊀㊀㊀图１４结论:øP A Q ＝øO AM ;A P A Q ＝A O AM ＝O PM Q．典型例题４㊀如图１５,已知扇形A O B 中,O A ＝３,øA O B ＝１２０ʎ,C 是A B ︵上的动点．以B C 为边作正方形B C D E ,当点C 从点A 移动至点B 时,求点D 经过的路径长．图１５㊀㊀㊀图１６分析:如图１６,延长B O 交☉O 于点F ,取B F ︵的中点H ,连接F H ,H B ,B D ．易知әF H B 是等腰直角三角形,则H F ＝H B ,øF H B ＝９０ʎ．由øF D B ＝４５ʎ＝１２øF H B ,推出点D 在☉H 上的运动路径是G B ︵,易知øH F G ＝øH G F ＝１５ʎ,推出øF H G ＝１５０ʎ,进而得到øG H B ＝１２０ʎ,易知H B ＝３２,利用弧长公式即可解决问题．３模型反思上述模型问题的研究,实际上考查了学生对问题的操作经历的体验,既考查了学生的观察力和思考力,更重要的是对学生应用能力的检验,又要结合问题情景,对号入座,灵活应用．根据问题所展示的相关内容,对瓜豆原理进行如下总结:其一,两动点之间的变化关系一致;其二,两动点运动路径的比例关系一致;其三,运动过程中路径的形状与大小的变化及其特殊位置的确定．综上所述,瓜豆原理在形式上和解法上给我们提供了简单而又易操作的解题方法,可谓是 种瓜得瓜,种豆得豆 ．但是,仅仅掌握这些还不够的,还需要我们在数学学习中深入研究,不断积累数学经验,能从问题情境中获得直观感受,从而构建数学认知结构,获得模型意识和模型思想,并在解题训练过程中不断进行迁移拓展,形成数学思维,提升数学综合素养．Z５５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
描述运动轨迹
描述运动轨迹
摘要：
1.运动轨迹的定义
2.运动轨迹的要素
3.运动轨迹的类型
4.运动轨迹的应用
正文：
运动轨迹是指物体在运动过程中所留下的路径。
在运动学中，研究运动轨迹对于理解和分析物体运动状态具有重要意义。
运动轨迹的要素包括：物体的初始位置、速度和加速度，以及物体所受到的外力。
这些要素决定了物体在运动过程中的具体表现。
根据物体运动轨迹的特点，可以将运动轨迹分为直线运动和曲线运动。
在直线运动中，物体的位移随时间呈线性变化；而在曲线运动中，物体的位移随时间呈非线性变化。
常见的曲线运动有抛物线运动、圆周运动等。
运动轨迹在许多领域都有广泛应用。
例如，在物理学中，通过研究运动轨迹可以揭示物体运动的规律；在工程领域，运动轨迹的分析有助于优化机械设计和运动控制；在航天、航空和军事领域，运动轨迹的预测和控制对于保证安全和提高效益至关重要。
运动控制器 运动轨迹控制与路径规划方法解析
运动控制器运动轨迹控制与路径规划方法解析运动控制器：运动轨迹控制与路径规划方法解析运动控制器在现代工业领域中起着至关重要的作用。
它被广泛应用于机器人、自动化生产线以及机械系统等领域，用于实现精确的运动控制和路径规划。
本文将深入解析运动控制器的原理和常用的运动轨迹控制与路径规划方法。
一、运动控制器的原理运动控制器是一种用于控制和管理运动系统的电子设备。
它通常包含一系列传感器、执行器和控制算法，用于监测和控制运动系统的位置、速度、加速度等参数。
其基本原理是通过传感器采集系统的状态信息，运用控制算法计算控制指令，并将指令传递给执行器实现对运动系统的控制。
二、运动轨迹控制方法1. 基于PID控制的运动轨迹控制方法PID控制是一种经典的闭环控制方法，它通过比较期望位置与实际位置的误差，计算出合适的控制输出。
在运动轨迹控制中，PID控制常用于单个轴或简单的轨迹控制。
具体流程为：首先，通过传感器获取当前位置信息；然后，计算期望位置与实际位置的误差；最后，根据误差值计算PID控制输出，控制执行器实现运动控制。
2. 基于轨迹生成的运动轨迹控制方法在复杂的运动系统中，通过一系列的位置点轨迹来描述运动路径更为合适。
这种方法需要根据运动路径的特点生成一个完整的轨迹，然后运动控制器通过控制执行器按照该轨迹进行运动。
常用的方法有样条曲线插值和直线段插值等。
三、路径规划方法路径规划是指在给定的环境中，根据机器人或运动系统的起点和终点，计算出一条最优路径的过程。
在复杂的工业环境中，路径规划需要考虑到障碍物、路径长度等因素。
以下是常见的路径规划方法：1. A*算法A*算法是一种经典的启发式搜索算法，常用于路径规划。
它通过评估每个点到终点的估计代价来搜索最优路径。
A*算法是一种兼顾了追求最短路径和搜索效率的算法，因此在很多实际应用中得到了广泛应用。
2. RRT算法基于快速探索树（RRT）的路径规划算法利用树结构快速生成路径。
通过一系列的随机抽样和添加节点，RRT算法能够生成大量的路径样本，并在不断优化的过程中找到最优路径。
求轨迹方程方法总结
求轨迹方程方法总结轨迹方程是描述物体运动路径的数学表达式。
当我们了解物体的运动规律时，可以使用轨迹方程来描述其运动轨迹，从而帮助我们更好地理解和预测物体的运动。
下面将总结几种常用的推导轨迹方程的方法。
一、基础几何方法：1. 直线运动：对于直线运动，轨迹方程可以通过位移与时间的关系来推导。
如果物体的初始位置为(x0, y0)，速度为v，则物体在时间t后的位置(x,y)可以表示为 x = x0 + vt，y = y0。
从而得到轨迹方程 y = y0 + vt。
2.曲线运动：对于曲线运动，可以通过几何关系来推导轨迹方程。
例如，对于抛体运动，可以通过重力加速度和初速度的关系，推导出位置关于时间的二次方程，从而得到轨迹方程。
二、解微分方程方法：1.一阶微分方程：对于一阶微分方程，可以通过求解微分方程得到轨迹方程。
例如，对于匀加速直线运动，可以得到速度关于时间的一阶微分方程，通过求解得到速度与时间的表达式，再通过积分得到位移与时间的表达式，从而得到轨迹方程。
2.二阶微分方程：对于二阶微分方程，可以通过推导得到物体的运动规律，并进一步得到轨迹方程。
例如，对于单摆运动，可以通过考虑受力平衡和受力大小的关系，推导出物体的运动方程，从而得到轨迹方程。
三、向量方法：1.位矢法：对于具有速度和加速度的运动，可以通过位矢法推导轨迹方程。
位矢是一个描述位置和方向的向量，通过将速度积分得到位矢，再通过对位矢微分得到速度，通过对速度微分得到加速度，从而得到物体的位矢关于时间的表达式。
2.矢量投影法：对于运动方向发生变化的运动，可以利用矢量投影法推导轨迹方程。
将位矢投影到坐标轴上，得到物体在各个坐标轴上的分量，从而得到轨迹方程。
四、参数方程方法：1.参数方程是一种用参数表示物体运动轨迹的方法。
可以将物体的运动分解为水平方向与竖直方向上的分量，再通过参数来表示时间的变化。
将水平和竖直方向的分量分别定义为x(t)和y(t)，则轨迹方程可以表示为(x(t),y(t))。
路径和轨迹区别的描述
路径和轨迹区别的描述
路径和轨迹是描述物体运动的重要概念，它们之间有以下区别：
1. 定义：路径是物体实际的运动轨迹，包括物体经过的所有点；轨迹则是对路径的抽象描述，通常是一个几何形状或方程。
2. 运动方式：路径可以是任意的，可以有曲线、折线、闪烁等不同的形式；轨迹则通常是固定的，可以是一条直线、圆弧、椭圆等几何形状。
3. 物理意义：路径是物体实际运动的具体表现，包括物体在空间中的位置坐标、速度和加速度等信息；轨迹则是对路径的理论分析和建模，包括对物体的运动规律、轨迹方程等的推导。
4. 时间性质：路径通常是随时间连续变化的，可以描述物体的运动过程；轨迹一般是一个静态的几何形状，不涉及时间的变化。
5. 表示方式：路径可以通过实物、图像或数学方程等多种方式进行表示；轨迹通常通过几何形状的描述或数学方程进行表示。
综上所述，路径是物体实际的运动轨迹，包含了物体经过的所有点和与时间有关的运动信息；而轨迹是对路径的抽象描述，通常是一个几何形状或方程，用于理论分析和建模。
台球运行路线原理
台球运行路线原理台球是一项受欢迎的运动，它不仅考验运动员的技巧和策略，还涉及到一些物理原理。
在台球运行路线中，有几个重要的原理需要考虑。
我们来看看碰撞原理。
当一颗球撞击另一颗球时，它们之间会发生碰撞。
根据牛顿第三定律，每个球都会受到相等大小、方向相反的力。
这意味着撞击球会传递一部分动能给被撞击球，而被撞击球则会获得相应的速度。
这就解释了为什么在台球桌上，当一颗球撞击另一颗球时，被撞击球会沿着特定的路径移动。
我们需要考虑反射原理。
当球撞击台球桌的边缘时，它会发生反射。
根据入射角等于反射角的原理，我们可以预测球的反射路径。
这就是为什么在台球比赛中，运动员需要考虑球的入射角度和撞击点，以便预测球的行进路线。
另外一个重要的原理是摩擦力。
当球在台球桌上滚动时，它会受到摩擦力的影响。
摩擦力的大小取决于球和台球桌之间的接触面积以及它们之间的摩擦系数。
摩擦力会减慢球的速度，并最终使其停下来。
因此，在进行台球比赛时，运动员需要考虑摩擦力对球的影响，以便更好地控制球的运动路径。
除了碰撞、反射和摩擦力，还有其他一些因素也会影响台球的运行路线。
例如，空气阻力会使球的运动减慢，尤其是当球以较高的速度移动时。
此外，球的旋转也会影响其运行路线。
当球带有旋转时，它会受到一个称为马格努斯力的力，这会使球的轨迹发生偏转。
在台球比赛中，运动员需要综合考虑这些因素，并运用自己的技巧和策略来控制球的运行路线。
他们需要准确地计算入射角度、撞击点和力度，以便使球按照预期的路径移动。
这需要运动员具备良好的物理理解和精确的技术掌握。
总结起来，台球运行路线的原理涉及碰撞、反射、摩擦力、空气阻力和旋转等因素。
运动员需要综合考虑这些因素，并运用物理原理来控制球的运动路径。
通过精确的计算和技术掌握，他们可以在台球比赛中展现出高超的技巧和策略。
台球运行路线的原理不仅仅适用于台球比赛，也可以应用于其他运动和现实生活中的物理问题。
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5.3运动路径一．填空题（共6小题）1．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．2．（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．3．（2010•桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．4．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．6．（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H 分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．5.3运动路径5.3运动路径参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．考点：正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；②E、A不重合时；易证得△AEM≌△FDM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NGM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MG的比例关系式，即可求得MG的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．解答：解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2当点E与点A不重合时，0＜x≤2在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF在△AME和△DMF中，∴△AME≌△DMF（ASA）∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=∴EF=2ME=2过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Rt△AME∽Rt△NMG∴=，即=∴MG=2ME=2∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（2）如图，PP′即为P点运动的距离；在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；∴tan∠MBG==2，∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；∴GG′=2MG=4；△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，∴PP′是△MGG′的中位线；∴PP′=GG′=2；即：点P运动路线的长为2．点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性质以及二次函数等知识；综合性强，难度较大．2．（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8﹣2t，PD=t．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA==，则可求得QB与PD的值；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ 为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA==，∴PD=t．故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，即，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．3．（2010•桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是3．考点：梯形中位线定理；等边三角形的性质．专题：动点型．分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．∵CD=10﹣2﹣2=6，∴MN=3，即G的移动路径长为3．点评：本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．4．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是3．考点：正方形的性质；轨迹．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段O1O2中点G的运动路径的长．解答：解：如图所示：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长，∵线段AB=10，AC=BD=2，当P与C重合时，以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，∴AP=2，BP=8，则O1P=，O2P=4，∴O2P=O2B=4，当P′与D重合，则P′B=2，则AP′=8，∴O′P′=4，O″P′=，∴H′O″=BO″=，∴O2O″=4﹣=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键．5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题；动点型．分析：（1）①证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF 的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．（2）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．6．（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H 分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．考点：四边形综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）设AP=x，则PB=8﹣x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+（8﹣x）2，配方得到2（x﹣4）2+32，然后根据二次函数的最值问题求解．（2）根据PE∥BF求得PK=，进而求得DK=PD﹣PK=a﹣=，然后根据面积公式即可求得．（3）本问涉及点的运动轨迹．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示；（4）本问涉及点的运动轨迹．GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图4﹣1所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4﹣2所示．解答：解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．设AP=x，则PB=8﹣x，根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8﹣x）2=2x2﹣16x+64=2（x﹣4）2+32，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．依题意画出图形，如答图2所示．设AP=a，则PB=BF=8﹣a．∵PE∥BF，∴，即，∴PK=，∴DK=PD﹣PK=a﹣=，∴S△APK=PK•PA=••a=，S△DFK=DK•EF=•（8﹣a）=，∴S△APK=S△DFK．（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π．（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．如答图4﹣1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形．∵点O为中点，∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值．∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．∵MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，∴点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行线之间距离为4，点X与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5．如答图4﹣2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′==．∴OM+OB的最小值为．点评：本题是中考压轴题，难度较大．解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点，是一道好题．。