运动路径解析

5.3运动路径

一．填空题（共6小题）

1．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

2．（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

3．（2010•桂林）如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．

4．（2013•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．

5．（2014•义乌市）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

6．（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．

（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．

问题拓展：

（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．

（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H 分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．

5.3运动路径5.3运动路径

参考答案与试题解析

一．填空题（共6小题）

1．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．

考点：正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；

②E、A不重合时；易证得△AEM≌△FDM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的

长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NGM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MG的比例关系式，即可求得MG的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；

（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．解答：

解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2

当点E与点A不重合时，0＜x≤2

在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°

∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF

在△AME和△DMF中

，

∴△AME≌△DMF（ASA）

∴ME=MF

在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=

∴EF=2ME=2

过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）

则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90°

∵∠EMG=90°

∴∠GMN+∠EMN=90°

∴∠AME=∠GMN

∴Rt△AME∽Rt△NMG

∴=，即=

∴MG=2ME=2

∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2

∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；

（2）如图，PP′即为P点运动的距离；

在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；

∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；

∴tan∠MBG==2，

∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；

∴GG′=2MG=4；

△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，

∴PP′是△MGG′的中位线；

∴PP′=GG′=2；

即：点P运动路线的长为2．