九年级动点问题知识点

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九年级动点几何知识点

九年级动点几何知识点动点几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面及空间中的动点所固有的性质，涉及到直线、曲线、轨迹等几何概念。

九年级的动点几何知识点包括直线的位置关系、平行线与角的性质、相交线与角的性质等。

以下是对九年级动点几何知识点的详细介绍：一、直线的位置关系在平面几何中，两条直线的位置关系有重合、相交和平行三种情况。

如果两条直线重合，则它们完全重合，所有的点都是重合的。

如果两条直线相交，则它们有一个或者多个交点。

如果两条直线平行，则它们始终保持相同的距离，永远不会相交。

二、平行线与角的性质两条平行线之间的夹角称为同位角，同位角具有以下性质：1. 同位角相等：如果一条直线与一对平行线相交，那么同位角必定相等。

2. 内错角互补：如果两条平行线被一条截断，则同位角相互之和等于180度。

3. 外错角互补：如果一条直线与两条平行线相交，那么外错角相互之和等于180度。

三、相交线与角的性质在平面几何中，当两条直线相交时，可以得到许多有趣的角。

其中一些常见的角包括：1. 对顶角：当两条直线相交时，形成的两对相对的角称为对顶角。

对顶角相等。

2. 邻补角：当两条直线相交时，形成的相邻的补角称为邻补角。

邻补角之和等于180度。

四、动点的轨迹动点的轨迹是动点在平面上所经过的所有点的集合。

在动点几何中，常见的轨迹有：1. 直线的轨迹：动点在平面上沿着一条直线运动，其轨迹就是这条直线。

2. 圆的轨迹：动点在平面上距离一个固定点的距离始终相等，其轨迹就是一个圆。

3. 椭圆的轨迹：动点在平面上距离两个固定点的距离之和始终相等，其轨迹就是一个椭圆。

五、实际应用动点几何在实际生活中有着广泛的应用。

例如，我们可以利用动点几何的原理来设计道路、桥梁和建筑物，以确保它们的稳定性和平衡性。

此外，动点几何还可以应用于机器人、航天器和汽车的轨迹规划等领域，以实现精确控制和导航。

总结：动点几何是九年级数学的一个重要知识点，涉及到直线的位置关系、平行线与角的性质、相交线与角的性质以及动点的轨迹等内容。

中考动点知识点总结

中考动点知识点总结一、动点的概念动点是指在一定时间内作出某种运动的物体所达到的位置。

在物理学中，动点是指移动的物体通过一条轨迹，从一个位置到达另一个位置的过程。

动点的位置可以用坐标表示，它的运动状态可以用速度、加速度等物理量描述。

二、动点的描述1. 位置的描述动点的位置可以用坐标来表示，通常用直角坐标系或极坐标系来描述。

在直角坐标系中，动点的位置由横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，动点的位置由极径和极角来表示。

2. 运动状态的描述动点的运动状态可以用速度和加速度等物理量来描述。

速度是指动点在单位时间内所能走过的距离，它的方向与动点的运动方向一致。

加速度是指动点在单位时间内速度变化的大小，它的方向与速度的变化方向一致。

三、动点的运动规律1. 匀速直线运动当动点在直线上以恒定的速度运动时，称为匀速直线运动。

在匀速直线运动中，动点的位移、速度和加速度都是恒定的，它们的大小和方向都不会改变。

2. 变速直线运动当动点在直线上的速度不断变化时，称为变速直线运动。

在变速直线运动中，动点的位移、速度和加速度都会随着时间的变化而变化，它们之间存在一定的函数关系。

3. 运动图像动点运动的轨迹称为运动图像。

运动图像可以是直线、曲线、圆等不同形状。

在运动图像中，动点的位置和运动状态都可以用函数来描述。

四、动点的运动方程1. 匀速直线运动的运动方程在匀速直线运动中，动点的位移与时间成正比，它们之间的函数关系可以用数学方程来表示。

位移与时间之间的函数关系可以表示为：x = v * t + x0，其中x是动点在时间t时的位移，v是动点的速度，x0是动点在初始时刻的位置。

2. 变速直线运动的运动方程在变速直线运动中，动点的位置、速度和加速度之间存在一定的函数关系。

根据运动学的基本原理，可以得到变速直线运动的运动方程：x = x0 + v0 * t + (1/2) * a * t^2，其中x0是动点在初始时刻的位置，v0是动点在初始时刻的速度，a是动点的加速度。

九年级中考压轴——动点问题集锦

九年级中考压轴——动点问题集锦1、已知等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动。

过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。

1) 当四边形MNQP为矩形时，有MN=QP，即MN在运动t秒后，线段QP的长度为3+t。

因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的面积为2根号3*t平方+2t。

2) 四边形MNQP的面积为S，运动时间为t。

因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的高为2根号3.由于四边形MNQP是矩形，所以MN=QP=3+t，PQ=2根号3.因此，S=PQ*MN=2根号3*(3+t)。

函数关系式为S=2根号3*t+6根号3，t的取值范围为t≥0.2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45度。

动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。

设运动的时间为t 秒。

1) 因为三角形ABD和三角形CBD相似，所以BD=AB-AD=39.由于三角形BCD是直角三角形，所以BC=BD/根号2=39/根号2.2) 当MN∥AB时，由于三角形BMD和三角形BAC相似，所以BD/AB=MD/MN，即39/42=2t/(3+t)，解XXX13秒。

3) 当△MNC为等腰三角形时，由于三角形MNC和三角形ABD相似，所以CN/AD=MN/BD，即CN/3=(3+t)/39，XXX13秒。

3、在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上。

动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点。

动点问题知识点总结

动点问题知识点总结一、动点问题概念动点问题是指在力学中考虑质点的运动情况。

质点是一个物理点，具有质量，但没有空间体积，所以可以看作质点沿某条轨迹运动。

动点问题是力学中的一个重要问题，研究质点在力的作用下的运动规律，可以帮助我们更好地理解物体的运动状态和动力学定律。

二、动点问题的基本概念1. 位移、速度和加速度：质点在运动过程中的位置变化称为位移，位移的大小和方向决定了物体的运动状态。

速度是描述质点运动状态的基本物理量，是位移对时间的比值。

而加速度是速度对时间的比值，它描述了速度的变化情况。

2. 牛顿运动定律：牛顿运动定律包括三个基本定律，分别是惯性定律、动量定律和作用与反作用定律。

这些定律描述了质点在受力作用下的运动规律，是研究动点问题的重要基础。

3. 弹性碰撞和非弹性碰撞：碰撞是研究质点运动的重要问题之一，弹性碰撞要求碰撞前后能量守恒且动量守恒，而非弹性碰撞不满足这两个条件。

三、动点问题的研究方法1. 采用牛顿第二定律：牛顿第二定律是研究质点在力作用下的运动规律的基本方法，根据牛顿第二定律可以得到质点在力作用下的运动方程。

2. 采用能量守恒定律：能量守恒定律是描述质点在力场中运动时，系统总能量守恒的原理，通过能量守恒定律可以求解质点的运动轨迹和速度。

3. 采用动量守恒定律：动量守恒定律是描述碰撞问题时常用的方法，通过动量守恒定律可以求解碰撞后质点的速度和运动方向。

四、动点问题的应用1. 机械运动：在机械运动中，常常需要研究质点在受力作用下的运动规律，如机械臂的运动、机械传动系统等。

2. 弹道学问题：在弹道学中，需要研究弹丸在飞行过程中的运动规律，如炮弹的射击、导弹的飞行等。

3. 天体运动：在天体物理学中，需要研究星球、卫星、流星等天体在引力作用下的运动规律。

五、动点问题的解决过程1. 建立运动方程：首先要根据物体所受的力或者速度等信息，建立质点的运动方程，包括位置、速度和加速度。

2. 求解运动方程：根据质点的运动方程，可以求解质点在不同时间的位置和速度，进而分析质点的运动状态。

(完整版)初中数学动点问题归纳

BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

九年级数学专题复习：动态几何中的“点动型”问题

九年级数学专题复习————动态几何题中的“点动型”问题分析一、知识点回顾1、相似三角形的一些基本图形：A字型共角型共角共边型X型蝴蝶型母子相似图∠1=∠2=∠3型2、垂直平分线的性质：垂直平分线上的点的距离相等。

3、平行四边形的性质：平行四边形的对角线。

4、矩形的定义：有的平行四边形是矩形。

5、菱形的判定：对角线的平行四边形是菱形。

6、二次函数y=ax2+bx+c（a>0），当x=时，y有最小值，y最小值=。

若a>0，当x=时，y有最大值，y最大值=。

7、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac 0时，方程有2个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有2个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是。

8、两圆⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,若两圆外切，则O1 O2 、R、r的关系是。

9、二、强化训练：1、写出图中相似三角形的成比例的边：2、在平面直角坐标系中，有一点A（3,4），在x轴上取一点P，使△OAP是等腰三角形，这样的点P有个。

直接写出P点坐标。

三、综合提升：如图，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm /s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）.解答下列问题：（1）用含有t的代数式表示AP= 。

（2）当t为何值时，PQ平分△ABC的周长。

（3）当t为何值时，PQ∥BC．（4）当t为何值时，PQ⊥BC．（5）当t为何值时，△APQ为直角三角形。

（当t为何值时，△APQ与△ABC相似。

）（6）当t为何值时，△APQ为等腰三角形。

（7）当t为何值时，点P在CQ的垂直平分线上。

（8）以AQ、P Q为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．①当t为何值时，平行四边形AQPD为矩形．并求出此时矩形的面积。

初中数学动点问题归纳

初中数学动点问题归纳动点问题是数学中常见的问题类型之一，它涉及到点在一定规律下的运动轨迹及相关的计算。

在初中数学学习过程中，学生们大多会接触到动点问题，并掌握解决此类问题的方法和技巧。

本文将对初中数学动点问题进行归纳总结，帮助初中学生更好地理解和解决这类问题。

1. 直线运动问题直线运动问题是最基本的动点问题之一。

在这类问题中，点按照直线路径运动，常涉及到时间、距离和速度的关系。

解决直线运动问题时，可以使用速度等于位移除以时间的公式来计算，即 v = s/t。

例子1：小明从家里骑自行车到学校，全程15公里，用时1小时。

求小明的平均速度。

解析：根据公式，平均速度 v = s/t = 15/1 = 15 km/h例子2：小红开车从A市到B市，全程200公里，平均时速60km/h。

求小红从A市到B市的行驶时间。

解析：根据公式，时间 t = s/v = 200/60 = 3.33 小时≈ 3小时20分2. 圆周运动问题圆周运动问题中，点按照圆形轨迹运动。

这类问题通常涉及到半径、圆周长和角度的计算与关系。

解决圆周运动问题时，需要掌握圆周长的计算公式，即 c = 2πr，其中 r 为半径。

例子1：一个半径为5米的圆，它的周长是多少？解析：根据公式，周长c = 2πr = 2 × 3.14 × 5 ≈ 31.4米例子2：一辆汽车在圆形赛道上行驶，赛道半径为100米，驾驶员开车一圈需要用时50秒。

求汽车的平均速度。

解析：首先计算圆周长c = 2πr = 2 × 3.14 × 100 = 628米然后计算平均速度v = c/t = 628/50 ≈ 12.56 m/s3. 直角三角形运动问题直角三角形运动问题是指点在直角三角形内运动，涉及到时间、速度和直角三角形边长的关系。

解决直角三角形运动问题时，可以利用勾股定理或三角函数来计算相关的未知量。

例子1：一个直角三角形的两条边长分别为3米和4米，角度为90度。

初中动点问题的方法归纳

初中动点问题的方法归纳初中动点问题是初中物理学习中非常重要的内容，它涉及到物体在运动中所具有的一系列特性和规律。

在学习过程中，我们经常会遇到一些与动点问题相关的题目，这些题目需要我们运用一定的方法和技巧来解决。

下面将对初中动点问题的解决方法进行归纳总结。

一、描述物体的运动状态1.位置、速度和加速度在解决动点问题时，首先要对物体在运动过程中的状态进行描述，这包括物体的位置、速度和加速度。

位置是物体所处的空间位置，速度是物体在单位时间内所移动的距离，加速度是物体在单位时间内速度的变化量。

在描述物体的运动状态时，我们需要了解物体的初始位置、初速度、加速度等参数，这可以帮助我们解决动点问题。

2.坐标系的选择在描述物体的运动状态时，我们通常会选择合适的坐标系来进行描述。

常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

在选择坐标系时，应该根据具体情况确定物体的运动方向和位置，选择合适的坐标系可以简化问题的分析和解决过程。

二、分析物体的运动规律1.运动图象的绘制在解决动点问题时，通常会涉及到物体的位移-时间图象、速度-时间图象和加速度-时间图象。

这些图象可以帮助我们直观地了解物体在运动过程中的变化规律。

绘制这些图象需要根据物体的运动状态和参数，通过计算得出相应的数值，并将其表示在坐标系中，从而得到相应的运动图象。

2.运动规律的表达物体在运动过程中，其运动规律可以用公式来表示。

常见的运动规律有匀速直线运动、匀变速直线运动和曲线运动。

在解决动点问题时，需要根据具体情况选用相应的运动规律，将其与物体的运动参数相结合，从而得出问题的解决方法。

三、解决动点问题的方法和技巧1.运动的方程在解决动点问题时，我们通常会使用位移、速度和加速度之间的关系来求解。

位移-时间关系、速度-时间关系和加速度-时间关系都可以用来描述物体的运动规律，通过这些关系可以得到相应的运动方程，从而求解出问题的答案。

2.分段计算在解决复杂的动点问题时，有时需要将问题分段计算，分别求解不同阶段的运动情况，然后综合得出整体的运动规律。

中考数学动点问题专题讲解(22页)

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中消失一个或多个动点,它们在线段.射线或弧线上活动的一类凋谢性标题.解决这类问题的症结是动中求静,灵巧应用有关数学常识解决问题.症结:动中求静.数学思惟：分类思惟函数思惟方程思惟数形联合思惟转化思惟重视对几何图形活动变更才能的考察从变换的角度和活动变更来研讨三角形.四边形.函数图像等图形,经由过程“对称.动点的活动”等研讨手腕和办法,来摸索与发明图形性质及图形变更,在解题进程中渗入渗出空间不雅念和合情推理.选择根本的几何图形,让学生阅历摸索的进程,以才能立意,考察学生的自立探讨才能,促进造就学生解决问题的才能．图形在动点的活动进程中不雅察图形的变更情形,须要懂得图形在不合地位的情形,才干做好盘算推理的进程.在变更中找到不变的性质是解决数学“动点”探讨题的根本思绪,这也是动态几何数学问题中最焦点的数学本质.二期课改后数学卷中的数学压轴性题正慢慢转向数形联合.动态几何.着手操纵.试验探讨等偏向成长．这些压轴题题型繁多.题意创新,目标是考察学生的剖析问题.解决问题的才能,内容包含空间不雅念.应用意识.推理才能等．从数学思惟的层面上讲：（1）活动不雅点;（2）方程思惟;（3）数形联合思惟;（4）分类思惟;（5）转化思惟等．研讨积年来各区的压轴性试题,就能找到本年中考数学试题的热门的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教授教养中研讨对策,掌控偏向．只的如许,才干更好的造就学生解题素养,在本质教导的布景下更明白地表现课程尺度的导向．本文拟就压轴题的题型布景和区分度测量点的消失性和区分度小题处理手段提出本身的不雅点．函数揭示了活动变更进程中量与量之间的变更纪律,是初中数学的重要内容.动点问题反应的是一种函数思惟,因为某一个点或某图形的有前提地活动变更,引起未知量与已知量间的一种变更关系,这种变更关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们如何树立这种函数解析式呢?下面联合中测验题举例剖析.一.应用勾股定理树立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上活动时,线段GO.GP.GH 中,有无长度保持不变的线段?假如有,请指出如许的线段,并求出响应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域(即自变量x 的取值规模).(3)假如△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上活动时,OP 保持不变,于是线段GO.GP.GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=,∴2362121x OH MH -==.在Rt △MPH 中, .HM NGPO AB图1x y∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情形: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经磨练,6=x 是原方程的根,且相符题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经磨练,0=x 是原方程的根,但不相符题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,假如△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二.应用比例式树立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,BD=,x CE=y . (1)假如∠BAC=30°,∠DAE=105°,试肯定y 与x 之间的函数解析式;(2)假如∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β知足如何的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试解释来由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CEAB =,∴11x y =, ∴xy 1=.(2)因为∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,AED CB图2 3(1)∴290α-︒=αβ-, 整顿得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的界说域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)贯穿连接OD.依据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE ADAP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时,①若EP 交线段CB 的延伸线于点F,如图3(1),则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE.A3(2)∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三.应用求图形面积的办法树立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上活动(与点B.C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的界说域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 动态几何特色----问题布景是特别图形,考察询题也是特别图形,所以要掌控好一般与特别的关系;剖析进程中,特别要存眷图形的特点（特别角.ACO 图8HC特别图形的性质.图形的特别地位.）动点问题一向是中考热门,近几年考察探讨活动中的特别性：等腰三角形.直角三角形.类似三角形.平行四边形.梯形.特别角或其三角函数.线段或面积的最值.下面就此问题的罕有题型作简略介绍,解题办法.症结给以点拨. 一.以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为极点作B EDF ∠=∠,分离交边AB 于点E ,交射线CA 于点F ．（1）当6=AE 时,求AF 的长;（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE 的长． [题型布景和区分度测量点]本题改编改过教材九上《类似形》24.5(4)例六,典范的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基本上改编出第一小题,当E 点在AB 边上活动时,渗入渗出入圆与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了第二小题,参加直AB CDEOlA ′线与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的地位关系和圆与圆的地位关系,从而应用方程思惟来求解．[区分度性小题处理手段]1．直线与圆的相切的消失性的处理办法：应用d=r 树立方程．2．圆与圆的地位关系的消失性(相切问题)的处理办法：应用d=R ±r(r R >)树立方程．3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解]解：（1）证实CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =,代入数据得8=CF ,∴AF=2 （2）设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=应用（1）的办法xCF 32=,相切时特别切和内切两种情形斟酌：外切,xx 321010+-=,24=x ;内切,xx 321010--=,17210±=x ．100<<x∴当⊙C 和⊙A 相切时,BE 的长为24或17210-．（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,320=BE ．（二）线动问题在矩形ABCD 中,AB ＝3,点O 在对角线AC 上,直线l 过点O,且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中间A ＇重合,求BC 的长;(2)若直线l 与AB 订交于点F,且AO ＝41AC,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值规模;ABCDE O lF ②摸索：是否消失如许的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若消失,请求出x 的值;若不消失,请解释来由．[题型布景和区分度测量点]本题以矩形为布景,联合轴对称.类似.三角等相干常识编制得到．第一小题考察了学生轴对称.矩形.勾股定理三小块常识内容;当直线l 沿AB 边向上平移时,寻找面积函数解析式为区分测量点一.参加直线与圆的地位关系(相切问题)的消失性的研讨形成了区分度测量点二．[区分度性小题处理手段]1．找面积关系的函数解析式,规矩图形套用公式或用割补法,不规矩图形用割补法．2．直线与圆的相切的消失性的处理办法：应用d=r 树立方程． 3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中间∴A ’B ＝AA ’＝21AC∵AB ＝A ’B,AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ,9412+=x AO ,)9(1212+=x AF ,x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=,xx x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切,则941432+=-x x ,01=x (舍去),582=x ∵3582<=x ∴不消失如许的x ,使圆A 与直线l 相切．（三）面动问题如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D .E 分离是边AB .AC 上的两个动点（D 不与A .B 重合）,且保持BC DE ∥,认为DE 边,在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积;（2）当边FG 与BC 重应时,求正方形DEFG 的边长;（3）设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出界说域;（4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长． [题型布景和区分度测量点]本题改编改过教材九上《类似形》24.5(4)例七,典范的共角类似三角形问题,试题为了形成坡度,在原题的基本上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上活动时,正方形DEFG 整体动起来,GF 边落在BC 边上时,正好和教材中的例题对应,可以说是类似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边,探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题,仍然属于面积类习题来设置区分测量点一,用等腰三角形的消失性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手段]1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的症结,如上图3-1.3-2重叠部分分离为正方形和矩形包含两种情形．2．准确的抓住等腰三角形的腰与底的分类,如上图3-3.3-4.3-5用方程思惟解决．C3．解题的症结是用含x 的代数式暗示出相干的线段. [ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ,则446a a -=,解得512=a . （3）当20≤x 时, 22253656x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 当52 x 时, ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD . [类题]改编自09奉贤3月考25题,将前提（2）“当点M .N 分离在边BA .CA 上时”,去失落,同时加到第（3）题中.已知：在△ABC 中,AB =AC ,∠B =30º,BC =6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC上,DE =3,△DEF 是等边三角形,边DF .EF 与边BA .CA 分离订交于点M .N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ;（2）设BD =x ,△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出界说域．（3）当点M .N 分离在边BA .CA 上时,是否消失点D ,使以M 为圆心,BM 为半径的圆与直线EF 相切,假如消失,请求出x 的值;如不消失,请解释来由．例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径,点C 在⊙O 上变更（不与A.B ）重合,求∠ACB 的大小 .ABF DEMNC剖析：点C 的变更是否影响∠ACB 的大小的变更呢?我们无妨将点C 转变一下,若何变更呢？可能在优弧AB 上,也可能在劣弧AB 上变更,显然这两者的成果不一样.那么,当点C 在优弧AB 上变更时,∠ACB 所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB 的一半,是以很天然地想到它的圆心角,贯穿连接AO.BO,则因为AB=OA=OB,即三角形ABC 为等边三角形,则∠AOB=600,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300,当点C 在劣弧AB 上变更时,∠ACB 所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB 的一半,由∠AOB=600得,优弧AB的度数为3600-600=3000,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500,是以,本题的答案有两个,分离为300或1500.反思：本题经由过程点C 在圆上活动的不肯定性而引起成果的不独一性.从而须要分类评论辩论.如许由点C的活动变更性而引起的分类评论辩论在解题中经常消失.变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形,若32=AB ,求∠C 的大小.本题与例1的差别只是AB 与圆的半径的关系产生了一些变更,其解题办法与上面一致,在三角形AOB中,232121sin ==∠OB AB AOB ,则06021=∠AOB ,即0120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变更时,∠C 所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB 的一半,即060=∠C ,当点C 在劣弧AB 上变更时,∠C 所对的弧是优弧AB,它的大小为优弧AB 的一半,由∠AOB=1200得,优弧AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200,是以060=∠C 或∠C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A.B,若AB=1,断定∠AOB 的大小是否会随点A.B 的变更而变更,若变更,求出变更规模,若不变更,求出它的值.四边形ABCD 的面积的最大值.解：（1）因为AB=OA=OB,所以三角形AOB 为等边三角形,则∠AOB=600,即∠AOB 的大小不会随点A.B 的变更而变更.（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形构成,个中三角形AOB 的面积为43,而三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯,又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21,要四边形ABCD 的面积最大,只需EH 最大,显然EH ≤OE=23,当AB ∥CD 时,EH=OE,是以四边形ABCD 的面积最大值为43+23=433.对于本题同窗们还可以持续思虑:四边形ABCD 的周长的变更规模.变式3:别为A.B,另一个极点C 在半圆上,问如何截取才干使截出的三角形的面积最大？请求解释来由（广州市2000年考题）剖析：要使三角形ABC 的面积最大,而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量,只需AB 边上的高最大即可.过点C 作CD ⊥AB于点D,贯穿连接CO,因为CD ≤CO,当O 与D 重合,CD=CO,是以,当CO 与AB垂直时,即C 为半圆弧的中点时,其三角形ABC 的面积最大.本题也可以先猜测,点C 为半圆弧的中点时,三角形ABC 的面积最大,故只需另选一个地位C1（不与C 重合）,,证实三角形ABC 的面积大于三角形ABC1的面积即可.如图显然三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D,而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=21AB ×C1D<21AB ×C1O=三角形 ABC 的面积,是以,对于除点C 外的随意率性点C1,都有三角形 ABC1的面积小于三角形三角形 ABC 的面积,故点C 为半圆中点时,三角形ABC 面积最大.本题还可研讨三角形ABC 的周长何时最大的问题.提醒：应用周长与面积之间的关系.要三角形ABC 的周长最大,AB 为常数,只需AC+BC 最大,而（AC+BC ）2=AC2+CB2+2AC ×BC=AB2+4×ΔABC 的面积,是以ΔABC 的面积最大时,AC+BC 最大,从而ΔABC 的周长最大.从以上一道题及其三个变式的研讨我们不难发明,解决动态几何问题的罕有办法有:一、特别探路,一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图,⊙O1和⊙O2内切于A,⊙O1的半径为3,⊙O2的半径为2,点P 为⊙O1上的任一点（与点A 不重合）,直线PA 交⊙O2于点C,PB 切⊙O2于点B,则PC BP 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26剖析：本题是一道选择题,给出四个答案有且只有一个是准确的,是以可以取一个特别地位进行研讨,当点P 知足PB ⊥AB 时,可以经由过程盘算得出PB=221322=- BC ×AP=BP ×AB,是以 BC=62462288162822==+=+⨯BP AB BPAB ,在三角形BPC 中,PC=36222=-BC BP , 所以,PC BP =3选（B ）当然,本题还可以依据三角形类似得BP AP PC BP =,即可盘算出结论.作为一道选择题,到此已经完成,但假如是一道解答题,我们得出的结论只是一个特别情形,还要进一步证实对一般情形也成立.AA例3：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分离在边AB.AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A.C重合,点E 不与B.A 重合.断定∆OEF 的外形,并加以证实.断定四边形AEOF 的面积是否随点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.∆AEF 的面积是否跟着点 E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.剖析：本题结论很难发明,先从特别情形入手.最特别情形为E.F 分离为AB.AC 中点,显然有ΔEOF 为等腰直角三角形.还可发明当点E 与A 无穷接近时,点F 与点C 无穷接近,此时ΔEOF 无穷接近ΔAOC,而ΔAOC 为等腰直角三角形,几种特别情形都可以得出ΔEOF 为等腰直角三角形.一般情形下成立吗？OE 与OF 相等吗？∠EOF 为直角吗？可否证实.假如它们成立,即可以推出三角形OFC 与三角形OEA 全等,一般情形下这两个三角形全等吗？不难从标题标前提可得：OA=OC,∠OCF=∠OAE,而AE=CF,则ΔOEA ≌ΔOFC,则OE=OF,且∠FOC=∠EOA,所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900,则∠EOF 为直角,故ΔEOF 为等腰直角三角形.二、着手实践,操纵确认例4（2003年广州市中测验题）在⊙O 中,C 为弧AB 的中点,D 为弧AC 上任一点（与A.C 不重合）,则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不肯定剖析:本题可以经由过程着手操纵一下,器量AC.CB.AD.DB 的长度,可以F E O C B A测验测验换几个地位量一量,得出结论（C ）例5：如图,过两齐心圆的小圆上任一点C 分离作小圆的直径CA 和非直径的弦CD,延伸CA 和CD 与大圆分离交于点B.E,则下列结论中准确的是（ * ）（A ）AB DE = （B ）AB DE >（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不肯定剖析：本题可以经由过程器量的办法进行,选（B ）本题也可以可以证实得出结论,贯穿连接DO.EO,则在三角形OED 中,因为双方之差小于第三边,则 OE —OD<DE,即OB —OA<DE,是以ED AB <,即AB DE >三、树立接洽,盘算解释例6：如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,且DM=1,N 为对角线AC 上随意率性一点,则DN+MN 的最小值为 .剖析：可否将DN 和NM 进行转化,与树立三角形双方之和大于第三边等问题,很天然地想到轴对称问题,因为ABCD 为正方形,是以贯穿连接BN,显然有ND=NB,则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了,一般情形下：BN+NM ≥BM,只有在B.N.M 三点共线时,BN+NM=BM,是以DN+MN 的最小值为BM=522=+CM BC 本题经由过程树立平面上三个点中构成的三角形中的双方之和大于第三边及共线时的双方之和等于第三边的特别情形求最小值,最后经由过程勾股定理盘算得出结论.例7：如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=4,OA ⊥BC 于O,点E 和点F 分离在边AB.AC 上滑动并保持AE=CF,但点F 不与A.C 重合,点E 不与B.A 重合.断定四边形AEOF 的面积是否随点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值.∆AEF 的面积是否跟着点E.F 的变更而变更,若变更,求其变更规模,若不变更,求它的值. （即例3的第2.第3问）剖析：(2)本题的办法许多,其一,可以树立四边形AEOF 与AE 长的函数关系式,如设AE=x,则AF=x -22, 而三角形AOB 的面积与三角形AOE 的面积B M N DC B A F E O C B A之比=x 22,而三角形AOB 的面积=221=⨯⨯OA OB ,则三角形AOE 的面积=2x ,同理三角形AOF 的面积=222x-,是以四边形AEOF 的面积=22)22(=-+x x ;即AEOF 的面积不会随点E.F 的变更而变更,是一个定值,且为2.当然,本题也可以如许思虑,因为三角形AOE 与三角形COF 全等,则四边形AEOF 的面积与三角形AOC 的面积相等,而AOC 的面积为2,是以AEOF 的面积不会随点E.F 的变更而变更,是一个定值,且为2.本题经由过程树立函数关系或有关图形之间的关系,然后经由过程简略的盘算得出结论的办法应用比较普遍.第(3)问,也可以经由过程树立函数关系求得,∆AEF 的面积=1)2(21)22(212+--=-x x x ,又x 的变更规模为220<<x ,由二次函数常识得∆AEF 的面积的规模为:<0∆AEF 的面积1≤.本题也可以依据三角形AEF 与三角形OEF 的面积关系肯定∆AEF 的面积规模:不难证实∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,它们公用边EF,取EF 的中点H,显然因为∆OEF 为等腰直角三角形,则OH ⊥EF,作AG ⊥EF,显然AG ≤AH=AG （=EF 21）,所以∆AEF 的面积≤∆OEF 的面积,而它们的和为2,是以<0∆AEF 的面积1≤.本题包涵的内在十分丰硕,还可以提出许多问题研讨：比方,比较线段EF 与AO 长度大小等（可以经由过程A.E.O.F 四点在以EF 为直径的圆上得出许多结论）例8：如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开端向点B 以2厘米/秒的速度移动;点Q 沿DA 边从点D 开端向点A 以1厘米/秒的速度移动.假如Ｐ.Ｑ同时动身,用t 秒暗示移动的时光（0≤ t ≤6）,那么：（1）当t 为何值时,三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积,提出一个与盘算成果有关的结论;（3）当t 为何值时,以点Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？剖析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时,因为∠A 为直角,只能是AQ=AP,树立等量关系,t t -=62,即2=t 时,三角形QAP 为等腰三角形;（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积 =6)212(211221612⨯--⨯⨯-⨯x x =36,即当P.Q 活动时,四边形QAPC 的面积不变.（3）显然有两种情形：△PAQ ∽△ABC,△QAP ∽△ABC, 由类似关系得61262=-x x 或12662=-x x ,解之得3=x 或2.1=x树立关系求解,包含的内容多,可所以函数关系,可所以方程组或不等式等,经由过程解方程.或函数的最大值最小值,自变量的取值规模等方面来解决问题;也可所以经由过程一些几何上的关系,描写图形的特点,如全等.类似.共圆等方面的常识求解.作为练习同窗们可以分解上述办法求解：点动.线动.形动构成的问题称之为动态几何问题. 它重要以几何图形为载体,活动变更为主线,集多个常识点为一体,集多种解题思惟于一题. 这类题分解性强,才能请求高,它能周全的考察学生的实践操纵才能,空间想象才能以及剖析问题息争决问题的才能. 个中以灵巧多变而著称的双动点问题更成为本年中测验题的热门,现采撷几例加以分类浅析,供读者观赏. 1 以双动点为载体,寻找函数图象问题例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD 中,∠C=90°,高CD=6cm(如图1). 动点P,Q 同时从点B 动身,点P 沿BA,AD,DC 活动到点C 停滞,点Q 沿BC 活动到点C 停滞,两点活动时的速度都是1cm/s. 而当点P 到达点A 时,点Q 正好到达点C. 设P,Q 同时从点B 动身,经由的时光为t(s)时,△BPQ 的面积为y(cm)2(如图2). 分离以t,y 为横.纵坐标树立直角坐标系,已知点P 在AD 边上从A 到D 活动时,y 与t 的函数图象是图3中的线段MN.(1)分离求出梯形中BA,AD 的长度;(2)写出图3中M,N 两点的坐标;(3)分离写出点P 在BA 边上和DC 边上活动时,y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值规模),并在图3中补全全部活动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的活动进程中形成的函数解析式与其响应的函数图象有机的联合在一路,二者相辅相成,给人以清爽.淡雅之感. 本题彰显数形联合.分类评论辩论.函数建模与参数思惟在解题进程中的灵巧应用. 解决本题的症结是从函数图象中肯定线段AB.梯形的高与t的函数关系式,树立起y与t的函数关系式,进而依据函数关系式填补函数图象.2 以双动点为载体,寻找结论凋谢性问题例2 (2007年泰州市)如图5,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30°.它的极点A的坐标为(10,0),极点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A动身,沿A→B→C的偏向匀速活动,同时点Q从点D(0,2)动身,沿y轴正偏向以雷同速度活动,当点P到达点C时,两点同时停滞活动,设活动的时光为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上活动时,△OPQ的面积S(平地契位)与时光t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图6),求点P的活动速度.(3)求(2)中面积S与时光t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)假如点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边活动时,∠OPQ的大小跟着时光t的增大而增大;沿着BC边活动时,∠OPQ的大小跟着时光t的增大而减小,当点P沿这双方活动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请解释来由.解 (1)∠BAO=60°.(2)点P的活动速度为2个单位/秒. 评析本题是以双点活动构建的集函数.凋谢.最值问题于一体的分解题. 试题有难度.有梯度也有区分度,是一道具有很好的提拔功效的好题. 解决本题的症结是从图象中获取P的速度为2,然后树立S与t的函数关系式,应用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4),考生要从标题标信息中肯定树立以B为直角极点的三角形,以B为临界点进行分类评论辩论,进而肯定点的个数问题.3 以双动点为载体,寻找消失性问题例3 (2007年扬州市)如图8,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点动身,分离沿B→A,B→C活动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分离交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时,点M也随之停滞活动.设活动时光为t秒.(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=厘米;(2)若a=5厘米,求时光t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的类似比;(3)若在活动进程中,消失某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值规模;(4)是否消失如许的矩形：在活动进程中,消失某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等?若消失,求a的值;若不消失,请解释来由.评析本题是以双动点为载体,矩形为布景创设的消失性问题.试题由浅入深.层层递进,将几何与代数常识完善的分解为一题,侧重对类似和梯形面积等常识点的考察,本题的难点主如果题(3),解决此题的症结是应用类似三角形的性质用t的代数式暗示PM,进而应用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式,再应用t的规模肯定的a取值规模. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用,在解决此问题的进程中,要有全局不雅念以及对问题的整体掌控.4 以双动点为载体,寻找函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中,E.F是对角线AC上的两个动点,它们分离从点。

动点问题的知识点总结

动点问题的知识点总结一、基本概念1. 位移：位移是指一个物体从初始位置到最终位置之间的直线距离，通常用Δx表示。

2. 速度：速度表示单位时间内物体运动的距离，通常用v表示。

平均速度的计算公式为v=Δx/Δt，而瞬时速度的计算公式为v=dx/dt。

3. 加速度：加速度表示单位时间内速度改变的快慢，通常用a表示。

加速度的计算公式为a=Δv/Δt。

4. 力：力是物体之间相互作用的结果，常用F表示。

根据牛顿第二定律，力可以用F=ma 来表示，其中m为物体的质量。

二、匀变速直线运动1. 速度和位移关系：如果物体做匀变速直线运动，其位移与速度之间存在一定的关系。

在匀变速运动中，速度是匀变的，即速度与时间成正比，而位移则是速度和时间的积。

2. 加速度和速度关系：在匀变速直线运动中，物体的加速度是恒定的，即加速度在任意时刻都保持不变。

因此，加速度与速度之间也存在一定的关系，即加速度与速度成正比。

3. 速度和时间图像：匀变速直线运动过程中，速度和时间之间的图像是一条直线。

通过速度-时间图像可以清楚地看出物体的速度如何随时间改变。

三、牛顿运动定律1. 牛顿第一定律：牛顿第一定律也被称为惯性定律，指出物体在没有外力作用时将保持匀速运动或静止。

2. 牛顿第二定律：牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。

数学上可以表示为F=ma。

3. 牛顿第三定律：牛顿第三定律也被称为作用-反作用定律，指出物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。

四、动能和动能定理1. 动能：动能是物体由于运动而具有的能量，通常用K表示。

动能的计算公式为K=1/2mv²，其中m为物体的质量，v为物体的速度。

2. 动能定理：动能定理指出，物体的动能变化等于外力对物体做功的量。

动能定理可以表示为ΔK=Work，其中ΔK为动能的变化量，Work为外力对物体做功的量。

五、机械能守恒1. 势能和势能定理：势能是物体由于位置而具有的能量，通常用U表示。

中考数学动点题讲解

中考数学动点题讲解中考数学动点题主要考察考生对平面几何中动点的理解和应用能力。

在这种题型中，需要考生根据动点的特点和运动轨迹，推导出动点所在的图形的性质和相关参数。

以下是中考数学动点题的讲解。

1. 直线上动点问题直线上动点问题是动点题中最简单的一种，通常需要考生根据动点的移动轨迹，推导出线段长度、角度等相关量的变化规律。

例如，有一条长度为10的线段AB，动点P沿着这条线段从A点开始匀速向B点移动，求当P点到达B点时，线段AB的中点O的位置。

解题思路：由于P点是匀速移动的，可以通过构建等速度线段来找到P点在到达B点前所处的位置。

具体地，我们可以在AB上构造以A点和B点为端点、长度为5的等速度线段CD和EF，分别与P点的轨迹相交于C点和E点。

根据线段AB的中点公式，可以得出线段OB的长度为5，因此，当P点到达B点时，线段OB的位置位于B点的左侧5个单位长度处。

2. 圆上动点问题圆上动点问题通常需要考生根据动点所在的圆的性质，推导出相关的几何关系和参数。

例如，有一条固定的半径为3的圆和一个动点P沿着这个圆的周长运动，当P点从起始位置出发后，经过圆心O点后，再走过180度后又回到起始位置，求动点P所走的路径长度。

解题思路：由于P点沿着圆的周长匀速运动，因此，当P点运动经过180度后，它所走的路径长度就是圆的周长的一半，即3π。

又因为P点在运动过程中经过圆心O点，因此，P点所在的运动轨迹是一条弧线，其长度等于圆心角的对应弧长。

根据圆心角的定义，当P 点运动经过180度时，它所对应的圆心角为π，因此，P点所在弧线的长度为圆的周长的一半，即3π。

3. 平面内任意图形上动点问题平面内任意图形上的动点问题通常需要考生根据所给图形的几何特征，推导出动点所处的位置和相关参数。

例如，有一个正方形ABCD和一个动点P沿着正方形边界从A点开始匀速运动，当P点回到A点时，求P点所在的轨迹。

解题思路：由于P点沿着正方形边界匀速运动，它所在的轨迹应为一条四边形，其四个顶点分别为A、B、C、D。

初三数学动点问题解题技巧

初三数学动点问题解题技巧
1.运用常识分析现象：问题中有两个变量（时间t和距离d），所以可以使用x=vt（物体速度v和时间t关联），d=vt（物体距离d和时间t也有关联）来描述时间和距离之间的关系。

2.用数理归纳：考虑从时间t1到 t2变化的情况，令s=d2-d1，s=vt2-
vt1=v(t2-t1)=v∆t；这是一个比较常的原理，得到的表达式可用来简化问题的解法。

3.用分析思考重新组织求解：将时间t和距离d抽象为一个整体，表述为一个乘法运算，即先乘以时间t，算出距离d，即d=vt。

由此可以多次迭代以确定每秒距离一定的最小速度v。

4.用计算求出结果：可以求出v的值来确定物体的最小速度，从而获得结果。

动点问题知识点大全

动点问题知识点大全动点问题是图论中的一个重要概念，涉及到图中节点的移动和路径规划等问题。

本文将介绍动点问题的基本知识点，并逐步展开。

一、基本概念 1. 图的定义：图是由节点（顶点）和边组成的一种数据结构，用于表示节点之间的关系。

2. 路径：路径是指图中连接两个节点的边的序列。

3. 简单路径：不经过重复节点的路径称为简单路径。

4. 环：路径的起点和终点相同的路径称为环。

5. 有向图和无向图：有向图中的边具有方向性，表示节点之间的单向关系；无向图中的边没有方向性，表示节点之间的双向关系。

二、动点问题分类 1. 最短路径问题：给定图中两个节点，求出连接它们的最短路径。

2. 最小生成树问题：在连通图中找到一棵包含所有节点的树，使得树的边权值之和最小。

3. 路径规划问题：给定起点和终点，找到一条满足特定条件的路径，如最短路径、最少转弯等。

4. 最大流问题：在有向图中找到从源节点到汇节点的最大流量。

5. 赛车问题：给定赛道地形和车辆速度等信息，求解车辆在赛道上的最佳路径。

三、解决动点问题的算法 1. 深度优先搜索（DFS）：从起点开始，沿着一条路径一直向前，直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。

2. 广度优先搜索（BFS）：从起点开始，依次将与当前节点相邻且未访问过的节点加入队列，然后将当前节点标记为已访问，继续处理队列中的下一个节点。

3. Dijkstra算法：用于求解最短路径问题，通过不断更新起点到各个节点的最短距离来逐步确定最短路径。

4. Bellman-Ford算法：用于求解含有负权边的最短路径问题，通过多次迭代更新起点到各个节点的最短距离。

5. Prim算法：用于求解最小生成树问题，从一个起始节点开始，逐步将与当前生成树相连且权值最小的节点加入生成树中。

6. Kruskal算法：用于求解最小生成树问题，通过不断选择权值最小的边加入生成树，直至生成树包含所有节点。

中考数学动点问题复习

中考数学复习（一）动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练1．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点二：动态几何型题目（一）点动问题．例2 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．对应训练2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．（二）线动问题例3 如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A． B．C．D．对应训练3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A． B．C．D．（三）面动问题例4 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．对应训练4．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．考点三：动点综合题动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例2 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例 6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B ＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3因动点产生的直角三角形问题例1 如图1，抛物线213442y x x=--与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，抛物线233384y x x=--+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1例3 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．例4设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图14=MN 1=MA 1>MB x AB=例 7如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1例8 如图1，直线434+-=xy和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1课后练习（一）一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.52．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大 D．当y增大时，BE•DF的值不变3．如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．7.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，2 3 )，∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。

初三动点问题的解题技巧

初三数学动点问题归类及解题技巧如下：
初中常见的动点问题：1.求最值问题。

2.动点构成特殊图形问题。

一、求最值问题
初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。

求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。

以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。

如何实现“搬点移线”：1）确定被“搬”的点；2）确定被“移”的线。

二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。

分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。

动点构成特殊图形解题方法：1、把握运动变化的形式及过程；思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的量。

2、先确定特定图形中动点的位置，画出符合题意的图形——化动为静。

3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来。

4、根据所求，利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。

(完整版)初中数学动点问题归纳

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

中考数学重难点突破：初中数学动点问题7大类20小类全梳理

重难点突破：初中数学动点问题全梳理动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。

题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。

2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。

3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。

角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACPSS ∆∆的值；如果变化，请说明理由．Oxy（备用图）Oxy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S APS AO ∆∆=．∴1ABP ACPS S ∆∆=．即当a 变化时，ABPACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CMPM BC AB AC∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)14(1)22417x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得1122x =+，2122x =-（不合题意，舍去）∴P （122+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（122+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；A BCDM NEF（图1）A BCD MNEF解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADNMENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD ∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DFDC CE=.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y.22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2)(DCAD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．A C BO y x解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=aax ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOCOA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-mm m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CDAD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y =-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD ∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BFBC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴2BH =，∴16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC ②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC （2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y=又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y xx -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAPPDCCCx =-，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON 又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN ABAB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AECBFAB DGC EF 变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴ABAFBC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴ABAFBC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x 36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =xx x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。

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