二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)

二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）
一、二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c
=++（a b c
a≠）的函数，叫做
，，是常数，0
二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0
a≠，而b c
，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2
=++的结构特征：
y ax bx c
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
⑵a b c
，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
=的性质：
y ax
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y ax c
=+的性质：
上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。

4. ()2
y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，其中2424b ac b h k a a -=-=
，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们
选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．当
2b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值2
44ac b a
-．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适
的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12
x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
21AB x x =-.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，
b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的
二、专题与考点
专题一：二次函数的图象与性质
本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.
考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-
2b a ，顶点坐标是（-2b a
，
2
44ac b a
-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5
y x
=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系
抛物线y=ax 2
+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b
a
的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.
例2 已知2
y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限
考点3.二次函数的平移
当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.
例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-
x 2+103x 163
-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4
D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）
3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.
4.小明从图2所示的二次函数2
y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
图2
图1
专题复习二：二次函数表达式的确定
本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.
考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）
的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单
位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；
3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）
A.y=2a（x-1）
B.y=2a（1-x）
C.y=a（1-x2）
D.y=a（1-x）2
2.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AO
OC
=
1
2
，CO=BO，AB=3，
则这条抛物线的函数解析式是．A B
C D
图1
菜园
墙
图2
3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
专题三：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）
Ａ．6 6.17x <<
Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19
x <<
Ｄ．6.19 6.20x <<
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.
图1
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3 在平面直角坐标系中，抛物线2
1y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3
B.2
C.1
D.0
专项练习三
1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.
2.已知二次函数2
2y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．
3.已知函数2
y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程
220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
4. 二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程2
0ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.
解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等
.
例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
专题训练四
1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
三、典型例题
题型 1 二次函数的概念
例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ）
A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）
点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式
例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ）
○
1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○
2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○
3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

○
4若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有唯一公共点，则方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根。

○
5若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点A 、B ，与y 轴交于c 点，c=4，S △ABC =6，则抛
物线解析式为y=x 2－5x+4。

○
6若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在x 轴下方，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○
7若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为0。

○
8若a －b+c=2，则抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）必过一定点。

○
9若b 2＜3ac ，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴一定没有交点。

○
10若一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx 2+bx+a 的图象与x 轴必有两个交点。

○
11若b=0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。

复习时，抓住系数a 、b 、c 对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的
x
图1
数学思想的运用。

题型2 二次函数的性质
例3 若二次函数2
4y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）
A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定
点拨：本题可用两种解法
解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大
解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小
【举一反三】
变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小 变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小
变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小
题型3 二次函数的图像
例4 如图所示，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形的边长为x ，且0<x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图像时（ ）
题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）
例5、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
点拨：本题考查函数图象与性质，当0a 时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ．
例6 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） B ． C ． D ．
1111
x o y y o x y o x
x o y
A ．2
B 3
C 、4
D 、5
点拨：本题考查二次函数图像性质，a 的符号由开口方向确定，b 的符号由对称轴和a 共同决定，c 看其与y 轴的交点坐标，a+b+c ，4a －2b+c 看x 取某个特殊值时y 的值可从图像中直观发现
题型5 二次函数的平移
例7.将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．22(1)y x =+
B ．22(1)y x =-
C ．221y x =+
D ．221y x =- 题型6 二次函数应用销售利润类问题
例8 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x 元（x 为10的正整数倍），每周销售量为y 件 。

⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？
点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价) 本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。

复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。

题型7 二次函数与几何图形综合(面积、动点)
例9 已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）
； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
图2
点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。

面广，知识综合性强。

复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。

四、练习题【基础达标训练】
一、选择题
1.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．（2，3）
B ．（－2，3）
C ．（2，－3）
D ．（－2，－3）
2.二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）．
A ．2
B ．1
C ．－3
D ．
23 3.抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）
A ．()m n ，
B ．()m n -，
C ．()m n -，
D ．()m n --，
4.根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ） x … －1 0 1 2 …
y … －1 47- －2 4
7- … A ．只有一个交点；B y 轴同侧；D 无交点。

5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）
A ．4个
B ．3个 C2个 D ．1个
第5题图第6题图第7题图
6. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）
A ．21y y <
B ．21y y =
C ．21y y >
D ．不能确定
7.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）
8.向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒 。

9.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．3x =-
D ．3x =
10.把二次函数34
12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式（ ） A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 321212
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 二、填空题
11.图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_____________
12.把抛物线y ＝ax 2
+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象
的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________
13. 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点(31)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．
14.如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12
x 2的图象，则阴影部分的面积是 .
15.抛物线2
y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）
16.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．
17.若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ． 18、二次函数223y x =
的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…，
2015A 在y 轴的正半轴上，点
1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△201320142015A B A 都为等边三角形，则△201320142015A B A 的边长＝ . 。

三、解答题
19.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
20.心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函。