森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使 这片森林不被

y 2 y 3 y n g 1 x1
y 2 g 1 x1 g 2 x 2
y 3 g 2 x 2 g 3 x3 y n g n 1 x n 1
g 1 x1 g 2 x 2 g 3 x 3 g n x n 0
所收获树木的价值
f ( y 2 , y3 , , y n ) p 2 y 2 p3 y3 p n y n p 2 g 1 x1 ( p 3 p 2 ) g 2 x 2 ( p n p n 1 ) g n 1 x n 1
则
Gx(t ) y Ry x(t )
(1 g 1 ) x1 ( t ) y1 z x1 ( t ), g 1 x1 ( t ) (1 g 2 ) x 2 ( t ) y 2 x 2 ( t ),
g 2 x 2 ( t ) (1 g 3 ) x 3 ( t ) y 3 x 3 ( t ), g n 1 x n 1 ( t ) x n ( t ) y n x n ( t ),
问题 max f ( y 2 , y 3 , , y n )
s .t . g 1 x1 g 2 x 2 g 3 x 3 g n x n x1 x 2 x 3 x n s x i 0 , i 1, 2 , , n
4 模型求解 利用线性规划的理论和方法，得如下结论：
g 2 x 2 ( t ) (1 g 3 ) x 3 ( t ) y 3 x 3 ( t ),
g n 1 x n 1 ( t ) x n ( t ) y n x n ( t ),
各式相加后，得
z y1 y 2 y n
y1 0 ,
z y2 yn
得 x k 0 , x k 1 0 , , x n 1 0
y k g 1 x1
结果表明：
森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时 树木高度分布为初始分布。 从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度 的树木。 因此，森林中没有高于或等于 k 类高度的树木。 问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？
则没有砍伐时树木生长方程为
1 gn1 gn1
1
x(t 1) Gx(t )
再考虑有砍伐和补种时的情形 根据问题的要求，要维持持续收获，即 生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补 种的幼苗数应等于生长期开始的量
(1 g 1 ) x1 ( t ) y1 z x1 ( t ), g 1 x1 ( t ) (1 g 2 ) x 2 ( t ) y 2 x 2 ( t ),
(1 g 1 ) x1 ( t ) y1 y1 y 2 y 3 y n x1 (来自百度文库t ),
g 1 x1 ( t ) (1 g 2 ) x 2 ( t ) y 2 x 2 ( t ),
g 2 x 2 ( t ) (1 g 3 ) x 3 ( t ) y 3 x 3 ( t ),
f k ( y 2 , y 3 , , y n ) p k y k p k g 1 x1

pk s 1 1 1 1 g1 g 2 g 3 g k 1
当森林中各参数给定时，分别计算 f k 的值，再 比 较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。
s y k g 1 x1 1 1 1 1 g1 g 2 g 3 g k 1
砍伐某一类树木而不砍伐其他类 的树木时，可获得最大收益。
利用这一结论，设被砍伐的树木为第 k 类，则
y k 0, y j 0, ( j k , j 1, 2, , n )
根据所建模型， x k 0 , x k 1 0, , x n 0
根据所建模型，
y 2 y 3 y n g 1 x1
y 2 g 1 x1 g 2 x 2 y k 1 g k 2 x k 2 g k 1 x k 1
g 2 x 2 g 1 x1
g k 1 x k 1 g k 2 x k 2 y k g k 1 x k 1
y k g k 1 x k 1 g k x k y k 1 g k x k g k 1 x k 1 y n g n 1 x n 1
1 g k 是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。
3 建模 先看没有砍伐时树木生长规律
x1 ( t 1) (1 g 1 ) x1 ( t ),
x 2 ( t 1) g 1 x1 ( t ) (1 g 2 ) x 2 ( t ),
x 3 ( t 1) g 2 x 2 ( t ) (1 g 3 ) x 3 ( t ), x n ( t 1) g n 1 x n 1 ( t ) x n ( t ),
森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使 这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐 一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木 的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于 树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高 度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前 提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得 最大的经济价值。
g n 1 x n 1 ( t ) x n ( t ) y n x n ( t ),
再记
y1 y2 y , y n
1 0 R 0
1 1 0 0 0 0
1 建模分析 目标函数：被砍伐树木的经济价值。 决策变量：被砍伐的树木的数量。 约束条件：持续收获，总数不变。
2 模型假设 假设1 按高度将树木分为n类： 幼苗，其经济价值 p1 0
第一类，高度为 [ 0 , h1 )
第 k 类，高度为 [ h k 1 , h k ) 每棵树木的经济价值 pk
g 2 x 2 g 1 x1
g 3 x3 g 2 x 2

g k 1 x k 1 g k 2 x k 2
g x 2 1 x1 g2
由
g x 3 1 x1 g3

x k 1
g1 x1 g k 1
x1 x2 xn s s x1 g1 g1 g1 1 g2 g3 g k 1
1 k n
第 n 类，高度为[ hn 1 , ) 每棵树木的经济价值 pn 记 x1 ( t ), x 2 ( t ), , x n ( t ) 为第 t 年开始时森林中 各类树木的数量。
假设2 每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获， 只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗， 其高度状态应与初始状态相同。 设 y1 , y 2 , , y n 分别是第1，2，…，n类树木 在采伐时砍伐的棵数。 假设3 设森林中树木的总数是 s ，即
变形，矩阵形式
定义高度状态向量和生长矩阵：
1 g1 x1 ( t ) g1 1 g2 x 2 (t ) g2 1 g3 x (t ) x3 (t ) G x (t ) n
故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。
6 进一步思考 1 持续养鱼问题 2 企业持续发展问题 3 经济（社会）持续发展问题
5 算例 已知森林具有6 年的生长期，其参数如下。求 出最优采伐策略。
g1 0.28, g 2 0.32, g 3 0.25, g 4 0.23, g 5 0.37
p2 50, p3 100, p4 150, p5 200, p6 250
解得
f 2 14.0 s, f 3 14.7 s, f 4 13.9 s, f 5 13.2 s, f 6 14.0 s
x 1(t ) x 2(t ) x n(t ) s
根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。
假设4 每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一 年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即 第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。 设 gk 是经一年的生长期后，从第k类的树木中 进入k+1类的比例，则