直线和圆锥曲线常考题型 (2)

直线和圆锥曲线常考题型

运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22

x x y y

x ++=

=，其中（,x y ）是点

1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。

2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则

1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB ===

=

或者

AB ===

= 3、两条直线111222:

,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-

两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r

g

4、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a

+=-=。

常见的一些题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:

14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围

解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22

:

14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线

:1l y kx =+和椭圆22

:14x y C m

+

=14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

:101l y kx =+⇒过定点（，） :(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，

求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:

(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩

消y 整理，得

2222(21)0k x k x k +-+= ①

由直线和抛物线交于两点，得

2242(21)4410k k k ∆=--=-+>

即21

04

k <

<

② 由韦达定理，得：212221

,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：

2

2

1112()22k y x k k k --=--

令y=0,得0

21122x k =

-，则211

(,0)22

E k -

ABE ∆Q 为正三角形，

∴211

(

,0)

22

E k -到直线AB 的距离d 。

AB =Q

=

2d k

=

222k k

=

解得k

=满足②式 此时0

53

x =

。 题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x

t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN

是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3

2

c e

a =

=，2a =,则得3,1c b ==。 从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M

的斜率为1k ,则直线1A M

的方程为1(2)y k x =+，由122

(2)

44y k x x y =+⎧⎨+=⎩

消y 整理得

222121(14)161640k x k x k +++-=

12x -Q 和是方程的两个根，

2112

1

164

214k x k -∴-=+ 则2

112

12814k x k -=+，11

21414k y k =+，

即点M 的坐标为211

22

11284(,)1414k k k k -++，

同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q

12122

k k k k t

-∴

=-+，

Q 直线MN 的方程为：

121

121

y y y y x x x x --=

--，

∴令y=0，得211212

x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t

=

又2t

>Q ，∴402t

<

< Q 椭圆的焦点为(3,0)

4

3t

∴=，即433t =