圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型

题型一：定义的应用 1圆锥曲线的定义：

(1) 椭圆 ________________________________________________________________ (2) 双曲线 ________________________________________________________________ (3) 抛物线 ________________________________________________________________ 2、 定义的应用

(1) 寻找符合条件的等量关系 (2 )等价转换，数形结合 3、 定义的适用条件： 典型例题

2 2 2 2

例1、动圆M 与圆C i ： x 1 y 36内切，与圆C 2： x 1 y 4外切，求圆心M 的 轨迹方程。

例2、方程x 6 2 y 2 x 6 $ y 2

8表示的曲线是 __________________

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断) 1、椭圆：由x 2、y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由x 2、y 2系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;

3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题

(1) 是椭圆；(2)是双曲线.

例1、已知方程

x 2

1表示焦点在y 轴上的椭圆，贝U m 的取值范围是 _______________

例2、k 为何值时，方程

1表示的曲线:

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、 PF 1 m, PF 2 n , m n, m n, mn, m 2 n 2四者的关系在圆锥曲线中的应用

典型例题

2 2

例1、椭圆x 2 每 i （a b 0）上一点P 与两个焦点F i , F 2的张角FPF ，

a b

求F 1PF 2的面积。

例2、已知双曲线的离心率为

2, F i 、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 F 1PF 2 60 ,

S F ,PF 2

12：一3 .求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值;

2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围;

3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

2

例1 ＞已知F 1、F 2是双曲线一2 a 2

r 1( .2 1 ( a

b 0 b 0 ）的两焦点，以线段 F 1 F 2为边作

正三角形MFF 2，若边MF 1

2 例2、双曲线—2

a

上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1 , 3)

B. 13

C.(3,+

)

D. 3,

B. 3

2

話

1（a

2 例3、椭圆G :冷

a

2

y 2

1(a b 0)的两焦点为R( c,0), F 2(C ,0)，椭圆上存在

b

uujuv uuuuv M

FM F M

0. 求椭圆离心率e 的取值范围；

2

y 2

1(a 0, b 0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线

b 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:

2 X

例4、已知双曲线巧

a

(A ) (1,2]

(B ) (1,2)

(C ) [2,) (D ) (2,)

点在椭圆内

点在椭圆上

点在椭圆外

~2 a

b 2

2

2

X

y 2

a b 2

2

2

X

y 2

.2

a

b

>0 相交 =0 相切 <0

相离

3、弦长公式：

(需要注意二次项系数为 0的情况)

AB k 2 x 1

X 2 、1 k 2 (x 1 x 2) 1 k 2

AB

y 2

1 k

12(y1 y2)

1

J a

1

1

2 X

2

y

4、圆锥曲线的中点弦问题: 1韦达定理:

2、点差法：

(1)带点进圆锥曲线方程，做差化简

(2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x2—4y2=4的弦AB —被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l:x+y=1交于A,B两点，C是AB

J2

的中点，若|AB|=2、、2 , O为坐标原点，0C的斜率为，求椭圆的方程。

2

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;

2、求轨迹方程的常用方法：

(1)直接法：直接利用条件建立匸尹之间的关系’」' ;

例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线二：-的距离之和等于 4,求P的轨迹方程.

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点 M( m 0)鮒,端点A、B到x轴距离之积为2m,

以x轴为对称轴，过 A、0、 B三点作抛物线，则此抛物线方程

为___________________________________________________

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的

轨迹方程；

例3、由动点P向圆'一•作两条切线PA PB,切点分别为A B,Z APB=60,则动点 P的轨迹方程为

例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线hx+5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程是 _______________