概率论 正态总体的均值和方差的假设检验

χ12α / 2n 1
y
y
p
χ
2
(x)
2
2
O 12 /2(n 1) 2 / 2(n 1)
x
P{ χ 2
χ12α / 2(n 1)}
P{ χ 2
χα2/ 2n 1}
α, 2
拒绝域：
W 1 {( x1, x2, , xn ) : χ 2 χ12α / 2(n 1)}
{( x1, x2, , xn ) : χ 2 χα2/ 2n 1}.
P| T | t / 2(n 1) ,查表可得 t / 2(n 1).
拒绝域： W1 = { (x1,x2,∙∙∙,xn)| |t | t /2 (n-1)},
t T ( x1, x2, , xn )
4°由样本值算出 T 的值 t 进行判断:
若t W1，则拒绝H0； 若t W1，则接受H0 .
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函 数表查得u /2=u0.025 =1.96,从而得检验的拒绝域为
W1={(x1 , x2 , ∙∙∙ , xn) :|u| u 0.025 =1.96 }, U的观测值为
u X 800 9 770 800 3 2.25,
tα / 2(n 1) t0.025(9) 2.262.
, 由于|t| =0.443<2.262=t0.025(9) , 因此可以接H0
即可以认为这批灯泡的平均寿命1600h.
3. μ为未知，关于σ2的检验（χ 2检验法） 设X1, X2, , Xn是来自正态总体N ( μ,σ2 )的一样本， 其中μ, σ 2未知，检验水平为α，检验σ 2步骤为：
例2 某型灯泡寿命X服从正态分布,从一批灯泡
中任意取出10只,测得其寿命分别为(单位:h) 1490， 1440， 1680， 1610， 1500 1750， 1550， 1420， 1800， 1580
设
H0 : μ 1600, H1 : μ 1600
2°取检验统计量
U X μ0 ~ N 0,1, (当H0为真时,)
σ/ n
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{| U | u / 2 }
由Φuα
/
2
1
α 2
，查表可得uα
/
2
.
拒绝域：W1={(x1,x2,∙∙∙,xn)||u|u/2},
其中u=U(x1,x2,∙∙∙,xn) 4°由样本值算出U的值u判断:
数的方差仍为0.1082（ = 0.05）？
解 检验假设
H0 : σ2 0.1082, H1 : σ2 0.1082 ,
取检验统计量：
χ2
(n 1)Sn*2 σ02
~
χ 2(n 1),(当H0为真时)
由n = 5, = 0.05算得,
40
40
由 | u | 2.25,故拒1绝.9原6假设H0,即不能认为
这批钢索的断裂强度为 800 Mpa .
假设检验的一般步骤：
上述 U 检验法的步骤具有一般性,通过以上分析, 我们可归纳出假设 检验的一般步骤：
1 提出待检验的假设H0及备择假设H1; 2 选择适当的检验统计量,在H0成立的条件 下,确定它的概率分布； 3 给定检验水平 ,(依前所得的概率分布)确 4 由样本观测值计算统计量的值； 5 根据统计量的观测值落入拒绝域W1内,还 是W1外进行判断,落入拒绝域W1内,拒绝H0;落入 拒绝域W1外,接受H0.
4°由样本值算出 的值进行χ判2 断:
若χ2 W1，则拒绝 H0；若χ2 W1，则接受 H0.
拒绝域： W 1 {( x1, x2, , xn ) : χ 2 χ12α / 2(n 1)}
{( x1, x2, , xn ) : χ 2 χα2/ 2n 1}.
问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验？
1 假设H0 : σ 2 σ02 , H1 : σ 2 σ02 , X1, X2, , Xn为来自总体X的样本， 其中 σ02 为已知常数.
2°取检验统计量
χ
2
(n
1)Sn*2 σ02
~ χ 2(n 1)
,
(当H
为
0
真
时)
3°给定显著水平 ( 0< < 1),
查表得临界值：
χα2/ 2n 1,
若u W1，则拒绝H0；若u W1，则接受H0.
例1 某厂生产一种钢索,断裂强度X(单位:Mpa)
服从正态分布N (,402 ), 从一批产品中抽取9件,测 算出 X 730 Mpa,问能否认为这批钢索的断
裂强度为 800 Mpa.
解 本题归结为检验假设
H0 : μ 800, H1 : μ 800;
第二节 正态总体均值 与方差的假设检验
一、单个总体参数的检验
二、两个总体参数的检验
一、单个总体参数的检验
1. σ2为已知，关于μ的检验（U检验法）
设X1, X2, , Xn是来自正态总体N ( μ,σ02 )的一样本， 其中μ未知，μ R,σ02已知，检验步骤： 1 假设 H0 : μ μ0 , H1 : μ μ0;
n
( Xi μ)2
构造χ 2 i1 σ2
~ χ 2(n)可类似进行检验.
例3某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下
服从正态分布
N,现(对μ操, σ作2工)艺进行了改
革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为：
4.421，4.052，4.357，4.287，4.683
是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分
2. σ2为未知，关于μ的检验（t检验法）
设X1, X2, , Xn是来自正态总体 N( μ,σ2)的一样本， 其中μ, σ 2未知，检验水平为α，检验μ的步骤为：
1 假设H0 : μ μ0 , H1 : μ μ0;
2° 取检验统计量
T
X Sn /
μ0 n
~
t(n
1),
(当H0为真时)
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
由于方差σ 2未知，故选择统计量 T X 1600 Sn / n
当H0 成立时,T ~ t ( n-1) = t (9) ,由所给的样本值
求得x 1582 , Sn*2 16528.89
故 t 1582 1600 10 0.443 16528.89
查自由度 n - 1= 9 的 t 分布表得临界值