上海高二数学解析几何经典例题

上海高二数学解析几何经典例题轨迹方程

1、已知反比例函数y 1

的图像 C 是以x轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线．x

（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；

（2）设A1、A2为双曲线C的两个顶点，点M ( x0, y0)、N ( y0, x0)是双曲线C上不同的两个动点．求直线A1 M 与 A2 N 交点的轨迹E的方程；

（ 3）设直线l过点P ( 0, 4)，且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当PQ1 QA2QB，且

128 时，求点 Q 的坐标．

2、在平面直角坐标系xOy 内，动点P到定点 F ( 1 , 0)的距离与 P 到定直线 x4的距离之比为 1 ．

（ 1）求动点P的轨迹C的方程；

2（ 2）若轨迹C上的动点N到定点M (m , 0)（0m 2 ）的距离的最小值为1，求m的值．

（ 3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、 B1，且直线OA、

OB 的斜率之积等于3

，问四边形 ABA1 B1的面积S是否为定值？请说明理由．4

3、动点P与点F (0,1)的距离和它到直线l : y1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线 C ．

(1)求曲线 C 的方程；

(2) 设点A 0,a (a 2 ) ,动点T在曲线C上运动时，AT 的最短距离为a 1 ，求a的值以及取到最小值时点 T 的坐标；

(3) 设P1, P2为曲线C的任意两点，满足OP1OP2(O为原点)，试问直线 P1P2是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．

4、

已知椭圆C : a2b21(a b0)

的右焦点为

F 1,0

，且点

P(1,2)

在椭圆

C

上．x2y23

（1）求椭圆C的标准方程；

（ 2）过椭圆

x2y2

1上异于其顶点的任意一点Q 作圆 O : x2y24的两条切线，切点分别为C1 :2

5

a b23

3

M , N (M , N 不在坐标轴上），若直线MN在 x 轴， y 轴上的截距分别为m, n, 证明：11

为定值；

3m2n2

（3）若

P1 , P2是椭圆 C2 :

x2 3 y2

1上不同的两点， PP12x 轴，圆E过 P1 , P2 , 且椭圆 C 2上任意一点都不a2b2

在圆

E 内，则称圆

E

为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆C2

是否存在过左焦点

F

1 的内切圆？若存在，求出圆

心 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

5、曲线C是平面内到直线l1 : x1和直线 l2 : y 1的距离之积等于常数k2 (k 0) 的点的轨迹，设曲线C的轨迹方程 f ( x, y)0 ．

（1）求曲线C的方程 f (x, y)0 ；

（2）定义：若存在圆M 使得曲线 f ( x, y) 0 上的每一点都落在圆M 外或圆 M 上，则称圆 M 为曲线

f (x, y) 0 的收敛圆．判断曲线 f ( x, y)0 是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明

理由．

1、 已知反比例函数 y

1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线．

x

（ 1）求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标；

（ 2）设 A 1 、 A 2 为双曲线 C 的两个顶点，点 M ( x 0 , y 0 ) 、 N ( y 0 , x 0 ) 是双曲线 C 上不同的两个动点．求直

线 A 1 M 与 A 2 N 交点的轨迹 E 的方程；

（ 3）设直线 l 过点 P ( 0, 4) ，且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点， 与 x 轴交于点 Q ．当 PQ

1 QA

2QB ，

且 1

2

8 时，求点 Q 的坐标．

解：（ 1）顶点： A 1 ( 1, 1) 、 A 2 (1,1) ， 焦点： F 1 ( 2, 2) 、 F 2( 2, 2) 为焦点

（2）解一： A 1M ： y

1 y 0

1

(x

1) ， A 2 N ： y 1

x 0

1( x 1)

--------------2 分

x 0

1

y 0 1

两式相乘，得 y

2

1

y 0 1 x 0 1

( x 2

1) ． 将 y 0

1 代入上式，得 y

2 1 ( x 2

1) ，即 x 2

y 2 2 ．

x 0 1 y 0 1

x 0

即直线 A 1 M 与 A 2 N 交点的轨迹

E 的方程为 x 2

y 2 2 （ x

1 ）． --------------------1 分

x 0

x x y y 2 ,

解二：联立直线方程，解得

y

x

2 .

y 0 x y

y 0

1 ，即 x

y 2 y x 2 1，化简，得 x 2 y 2 2 ．

x 0 x y x y

所以，直线 A M 与 A N 交点的轨迹 E 的方程为 2 2

2（ x

）．

x y

1

2

1

（3）直线 l 斜率不存在或为 0 时显然不满足条件； 4 设直线 l ： y kx 4 ， ( 1 , 1 ) ， 2 2 ，则

A x y B( x , y ) Q( ,0)

1

，得 kx 2

k

4

， x 1 x 2

1 ．

将 y

kx 4 代入 y

4x 1 0 ， x 1

x 2

x

k

k

PQ

1 QA

2QB ，

4

, 4

1 x

1

4

, y 1

2 x

2

4

, y 2 ，

k

k

k

1

2

4

4

8 ，即 k ( x 1

x 2 ) 8 2(kx 1

4)(kx 2 4) ， 解得 k

2 ，

Q( 2,0) ．

kx 1

4 kx 2 4

解二：将

x

y 4 代 入 y

1 ， 得 y

2 4 y k 0 ， y 1

y 2 4 ， y 1 y 2

k

k

x

PQ

1 QA

2 QB

4

, 4

1

x

1

4

, y 1

2

x

2

4

, y 2

k

k

k

4

1

y

1

2

y

2

，

1

4

， 2

4

．

y 1

y 2

又 1

2

8 ，

1

1 2 ，即 y 1 y 2 2 y 1 y 2 ．

y 1

y 2

4 2( k ) k 2 ，

Q(2,0) ．