函数及其表示教学案

第一节函数及其表示

1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用．

二、函数的定义域、值域

1．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的；函数值的叫做函数的值域．

2．如果两个函数的相同，并且完全一致，则这两个函数为相等函数．

三、函数的表示方法

表示函数的常用方法有、和．

四、分段函数

1．若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．

2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

3．误把分段函数理解为几个函数组成．

一、函数与映射的概念

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )

(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )

(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( )

(4)映射是特殊的函数．( )

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

二、函数的有关概念

2．给出四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是一个函数；

③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．

其中正确的有( )A．1个B．2个 C．3个D．4个

解析：由函数的定义知①正确．

∵满足f(x)＝x－3＋2－x的x不存在，∴②不正确．

又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．

又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．

3．图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )

解析：由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.

三、分段函数

4．(2014年高考江西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

a ·2x

，x ≥0，

2－x

，x <0

(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，

则a ＝( ) A.14 B.1

2

C ．1

D ．2

解析：由题意可知f (－1)＝2

－(－1)

＝2，

则f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22

＝4a ＝1，故a ＝14

.

5．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝

⎩⎪⎨⎪

⎧

ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2

x ＋1

，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．

解析：根据题意，可得

⎩⎪⎨⎪

⎧

f －＝f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，

即⎩⎪⎨⎪⎧

1－a ＝

b ＋2

2，

1

2b ＋2

32

＝－1

2a ＋1，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝2，

b ＝－4，

故a ＋3b ＝－10.

函数的定义域问题(高频研析)

考情分析 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题角度有：

(1)求给定函数解析式的定义域．

(2)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域． (3)已知定义域确定参数问题． 角度一 求给定函数解析式的定义域

1．(1)(2013年高考山东卷)函数f (x )＝ 1－2x

＋

1

x ＋3

的定义域为( )

A ．(－3,0]

B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪(－3,0]

D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

(2)(2013年高考安徽卷)函数y ＝ln ⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋1x ＋ 1－x 2

的定义域为________．

解析：(1)由题意可知⎩

⎪⎨

⎪⎧

1－2x

≥0

x ＋3>0⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x

≤1

x >－3⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ≤0，

x >－3，

∴定义域为(－3,0]． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧

1＋1x

>0，

1－x 2≥0

⇒⎩

⎪⎨

⎪⎧

x <－1或x >0，

－1≤x ≤1⇒0

∴该函数的定义域为(0,1]．

角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域

2．已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝

⎛⎭⎪⎫x 2

－x －12的定义域．

解析：令x 2

－x －1

2＝t ，知f (t )的定义域为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫t ⎪⎪⎪

－12≤t ≤

12 ∴－12≤x 2－x －12≤1

2.整理得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

－x ≥0，x 2

－x －1≤0

⇒⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤0或x ≥1，1－52

≤x ≤1＋5

2，

角度三 已知定义域确定参数问题

3．若函数f (x )＝ 2x 2

＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0，恒成立，

因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]

规律方法 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．

考点二 求函数的解析式

例1 (1)已知f (1－cos x )＝sin 2

x ，求f (x )的解析式；

(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；

(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．