(10份试卷合集)湖南省长沙市雅礼中学2019年数学高一下学期期末模拟试卷
(高一下数学期末10份合集)湖南省重点中学2019届高一下学期数学期末试卷合集
高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. 若0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A22ab a b a b +<<+22ab a ba b +≤≤+C22ab a b a b +<+22ab a ba b +<<+ 2. 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 73. 若直线40ax y +-=与直线20x y --=的交点位于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ） A 12a -<< B 1a >- C 2a < D 1a <-或2a >4. 已知点(3, 1)和(4, 6)-在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ） A 7a <-或24a > B 7a =或24a = C 724a -<< D 247a -<<5. 在ABC ∆中，若30a b A ===o，则边c 的长度等于（ ）A D 以上都不对6. 已知向量(cos ,sin )θθ=a ，向量1)=-b ，则|2|-a b 的最大值、最小值分别是（ ）A B 4, C 16,0 D 4,0 7. 在ABC ∆中，满足下列条件的三角形有两个的是（ ） A 10,45,70b A C ===ooB 60,48,60A c B ===ooC 7,5,80a b A ===oD 14,16,45a b A ===o8. 若直线经过点)1,1(P 和点)1,2(tt Q +，其中0>t ，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ） A ]4,0(πB )2,4[ππC ]43,2(ππD 3[,)4ππ 9. 在数列{}n a 中，1n n a ca +=（c 为非零常数）且前n 项和3nn S k =+，则实数k 等于（ ）A -1B 1C 0D 210. 关于x 的不等式210x mx -+≤的解集中只有一个元素，则实数m =（ ） A 2± B 2 C 2- D 不存在二、填空题（每小题4分，共16分）11. 已知两点(4, 9), (6, 3)A B ，则以AB 为直径的圆的标准方程为___________________。
湖南省五市十校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题201907300362
湖南省五市十校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：必修一、必修二、必修三:、必修四。
注意事项：1.答题前.考生务必将自己的扑名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={2，4，6}，N={1，2},则MUN = A. {2,4,6,1,2} B. {1,2,4,6}C. {1，4,6}D.{2}2.下列条件:①a>b;②b>a;③ab>0;其中一定能推出a 2>b 成立的有 A. 0个 B. 3个 C. 2个 D.1个3.已知等比数列{n a }的前n 项和为n S , 1,213==a a a n =2a3=1，则=4S A. 31 B. 15 C.8 D. 74.若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≥-03020x y x y x ,则y x +2的最大值为A.-3B.1C.9D.105.已知向量 a=(1，2)，b=(4，-2)，则a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 125π D. 2π6.已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，3,333==a S ,则=1011aA.2019B. 1010C. 2018D. 10117.函数x x x x f +=cos )(在[ππ,-]上的图像大致为8.如图，某人在点B 处测得莱塔在南偏西60°的方向上，塔顶A 仰角为45°，此人沿正南方向前进30米到达C 处，测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为 A. 20 米 B. 15 米 C. 12 米D. 10 米9.若关于x 的不等式)32(log 22+-x ax >0的解集为R ，则a 的取值范围是 A. (0, 31) B. (0, 21) C. (+∞,21) D. (+∞,31)10.已知关于x 的不等式x a >6+x 的解集为(b,9),则a+b 的值为 A.4 B. 5 C.7 D.911.将函数x x f 2sin )(=的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图像，则)(x g y =在区间[2,4ππ-]上的最小值为 A. 21 B. 23C. 21-D. 23-12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]0,1[-∈x 时，2)(x x f -=,则函数1)()2()(+-=x f x x g 在区间[-3,7]上所有零点之和为A.4B. 6C.8D. 12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年长沙市高一数学下期末模拟试卷及答案
2019年长沙市高一数学下期末模拟试卷及答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．103．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为35．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,56．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2πB ．C ．D ．3π 12．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．()sin101370+=oo_____14．函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 15．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ．16．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．17．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.18．函数sin 23cos 2y x x =-的图象可由函数sin 23cos 2y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。
湖南省五市十校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
湖南省五市十校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,4,6}M =，{1,2}N =，则M N ⋃=（ ）A. {}2,4,6,1,2B. {}1,2,4,6C. {}1,4,6D. {}2 【答案】B【解析】【分析】根据并集的概念和运算，求得两个集合的并集.【详解】两个集合的并集是由两个集合所有的元素组合而成，故{}1,2,4,6M N ⋃=. 故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合并集的概念和运算，考查集合元素的互异性，属于基础题.2.下列条件：①a b >；②b a >；③0a b >>；其中一定能推出22a b >成立的有（ ）A. 0个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】D【解析】【分析】利用特殊值证得①②不一定能推出22a b >，利用平方差公式证得③能推出22a b >.【详解】对于①，若12>-，而()2212<-，故①不一定能推出22a b >；对于②，若10>，而2201<，故②不一定能推出22a b >；对于③，由于0a b >>，所以0,0a b a b ->+>，故()()220a b a b a b -=+->，也即22a b >.故③一定能推出22a b >.故选：D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ）A. 31B. 15C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q ，进而求得4S .【详解】由于数列是等比数列，故32112a q a q =，由于11a =，故解得2q =，所以()4141151a q S q -==-.故选：B.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.4.若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -⎧⎪++⎨⎪-⎩………，则2x y +的最大值为（ ） A. －3B. 1C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线20x y +=到()3,3B 的位置，此时目标函数取得最大值为2339⨯+=.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.已知向量(1,2)a =r ，(4,2)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A. 6π B. 3π C. 512π D. 2π 【答案】D【解析】【分析】利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角.【详解】设两个向量的夹角为θ，则cos 0525θ==⋅，故π2θ=. 故选：D.【点睛】本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题.6.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ）A. 2019B. 1010C. 2018D. 1011 【答案】A【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为1a 和d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得1011a 的值.【详解】由于数列是等差数列，故313133323S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11,2a d =-=，故101111010120202019a a d =+=-+=.故选：A.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.7.函数()cos f x x x x =+在[],ππ-上的图像大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于()()()cos f x x x x f x -=-+=-，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C 选项.由于()π0f =，所以排除D 选项.由于ππππ03632f ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，所以排除B 选项.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.8.如图，某人在点B 处测得某塔在南偏西60︒的方向上，塔顶A 仰角为45︒，此人沿正南方向前进30米到达C 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为（ ）A. 20米B. 15米C. 12米D. 10米【答案】B【解析】【分析】 设塔底为O ，塔高为h ，根据已知条件求得,,OB OC BC 以及角OBC ∠，利用余弦定理列方程，解方程求得塔高h 的值.【详解】设塔底为O ，塔高为h ，故,3,60OB h OC h OBC ==∠=o ，由于30BC =，所以在三角形OBC 中，由余弦定理得222330230cos60h h h =+-⨯⨯⨯o ，解得15h =米. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于基础题.9.若关于x 的不等式()22log 230ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由()222log 23log 1ax x -+>得2231ax x -+>，即2220ax x -+>恒成立，由于0a =时，220x -+>在R 上不恒成立，故0480a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 故选：C.【点睛】本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题.10.已知关于x 的不等式6x >+的解集为(,9)b ，则+a b 的值为（ ）A. 4B. 5C. 7D. 9 【答案】D【解析】【分析】将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】由6x >+得60x -<，依题意上述不等式的解集为(,9)b ，故609360b a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得5,4a b ==（9b =舍去），故9a b +=. 故选:D.【点睛】本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题.11.将函数()sin 2f x x =的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. 12 C. 12- D. 【答案】A【解析】【分析】先按照图像变换的知识求得()g x 的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得()g x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【详解】()sin 2f x x =图像上所有的点向左平移6π个单位长度得到πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到()2πsin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ42x -≤≤得π2π2π6333x ≤+≤，故()y g x =在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为π162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选:A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题.12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，则函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12 【答案】C【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性和对称性，判断出函数()f x 的周期，由此画出()f x 的图像.由()(2)()10g x x f x =-+=化简得()12f x x -=-，画出12y x -=-的图像，由()f x 与12y x -=-图像的交点以及对称性，求得函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和.【详解】由于(2)()f x f x +=-，故1x =是函数()f x 的对称轴，由于()f x 为奇函数，故函数是周期为4的周期函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，由此画出()f x 的图像如下图所示.令()(2)()10g x x f x =-+=，注意到()20g ≠，故上述方程可化为()12f x x -=-，画出12y x -=-的图像，由图可知()f x 与12y x -=-图像都关于点()2,0对称，它们两个函数图像的4个交点,,,A B C D 也关于点()2,0对称，所以函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为428⨯=.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空.13.已知直线l 过点(3,1)A ，(2,0)B ，则直线l 的倾斜角为______.【答案】π4【解析】【分析】根据两点求斜率的公式求得直线l 的斜率，然后求得直线的倾斜角. 【详解】依题意10132AB k -==-，故直线l 的倾斜角为π4. 【点睛】本小题主要考查两点求直线斜率的公式，考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.【答案】π3 【解析】【分析】 将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.【详解】连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，故11π3BAC ∠=. 故填：π3.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.15.如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BO 上运动，若1AB AO ⋅=u u u r u u u r ，则AP BP ⋅u u u r u u u r 的最小值为_______.【答案】34-【解析】【分析】 以O 为原点建立平面直角坐标系，利用1AB AO ⋅=u u u r u u u r 计算出,A B 两点的坐标，设出P 点坐标，由此计算出AP BP ⋅u u u r u u u r的表达式，，进而求得最值.【详解】以O 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设()(),0,0,,0,0A a B b a b -->>，则224a b +=①，由1AB AO ⋅=u u u r u u u r 得()()2,,01a b a a -⋅==②，由①②解得1,3a b ==故()(1,0,0,3A B --.设()0,,3P t t ⎡-∈⎣，则AP BP ⋅u u u r u u u r ()()1,3t t =-⋅23t t =233344t ⎛=--≥- ⎝⎭，当32t =时取得最小值为34-.故填：34-.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.若正实数a ，b 满足4a b +=，则1411a b +++的最小值是________. 【答案】32【解析】【分析】将4a b +=配凑成116a b +++=，由此化简1411a b +++的表达式，并利用基本不等式求得最小值.【详解】由4a b +=得116a b +++=，所以1411a b +=++()16141111a b a b ⎛⎫⋅⋅+++ ⎪⎝⎭+++11445611b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭11443526112b a a b ⎛++≥+⋅= ++⎝.当且仅当14411b a a b ++=++，即1,3a b ==时等号成立. 故填：32. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.（1）求sin()cos 23cos()sin 2ππαβππβα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值； （2）若点A 的横坐标为35，求sin()sin()αβαβ++-的值. 【答案】(1)-1；(2) 3225- 【解析】【分析】（1）用α表示出β，然后利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.（2）根据A 点的横坐标即cos α的值，求得sin α的值，根据诱导公式求得cos β的值，由此利用两角和与差的正弦公式，化简求得sin()sin()αβαβ++-的值.【详解】解：（1）∵2πβα=+ ∴sin sin cos 2πβαα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭∴sin()cos 23cos()sin 2a ππαβππβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭sin sin sin cos 1cos cos sin cos αβααβααα==-=- （2）由已知A 点的横坐标为35 ∴3cos 5α=，4sin 5α=，cos cos sin 2πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭sin()sin()αβαβ++-2322sin cos 2sin 25αβα==-=- 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，三棱锥V ABC -中，VA VB AC BC ===，D 、E 、F 、G 分别是AB 、BC 、VC 、VA 的中点.（1）证明：AB ⊥平面VDC ；（2）证明：四边形DEFG 是菱形【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得,AB VD AB CD ⊥⊥,由此证得AB ⊥平面VDC .（2）先根据三角形中位线和平行公理，证得四边形DEFG 为平行四边形，再根据已知VB AC =,证得GD GE =，由此证得四边形DEFG 是菱形. 【详解】解（1）因为VA VB =，D 是AB 的中点，所以AB VD ⊥因为AC BC =，D 是AB 的中点，所以AB CD ⊥又CD VD D =I ，CD ⊂平面VDC ，VD ⊂平面VDC所以AB ⊥平面VDC（2）因为D 、E 分别是AB 、BC 的中点所以DE AC P 且2AC DE =同理GF AC P 且2AC GF =所以DE GF P 且DE GF =，即四边形DEFG 为平行四边形又VB AC =，所以GD DE =所以四边形DEFG 是菱形.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查证明四边形是菱形的方法，考查等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 33cos sin a b C c B =+.（1）求角B ；（2）若2a =3b =AC 边上的高.【答案】(1) 3B π=；31+ 【解析】【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此3sin B B =，进而求得B 的大小.（2）利用正弦定理求得sin A ，进而求得A 的大小，由此求得sin C 的值，根据sin h a C =求得AC 边上的高.【详解】解：（133cos sin a b C c B =+ 33cos sin sin A B C C B =+ 3)3cos sin sin B C B C C B +=+ 3cos 3sin B C B C +3cos sin sin B C C B =+ 3sin sin sin B C C B = 3sin B B =，tan B ∴= ∴3B π=（2）由正弦定理：sin sin a b A B =，∴sin sin 2a B Ab == ∵a b <∴A B <∴4A π=∴sin sin()C A B =+=设AC 边上的高为h，则有1sin 2h a C == 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查特殊角的三角函数值，属于中档题.20.已知数列{}n a 满足122n n n a a +=++，13a =.（1）证明：数列{}2n n a -为等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析；(2) n S 2122n n +=+-【解析】【分析】（1）将已知条件凑配成11222n n n n a a ++-=-+，由此证得数列{}2n n a -为等差数列.（2）由（1）求得数列{}2n n a -的通项公式，进而求得n a 的表达式，利用分组求和法求得n S .【详解】（1）证明：∵122n n n a a +=++∴11222n n n n a a ++-=-+又∵13a =∴1121a -=所以数列{}2n n a -是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）知，212(1)21n n a n n -=+-=-，所以221n n a n =+-所以()23(13521)2222n n S n =+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+()212(121)212n n n -+-⋅=+-2122n n +=+-【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等差数列，考查分组求和法，属于中档题.21.已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上，半径为2，且被直线3440x y --=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线50x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，证明：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.【答案】(1) 圆C ：22(3)4x y -+=. (2)证明见解析；(3,0)，(1,4)--.【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆C 的方程.（2）设出P 点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.设出圆上任意一点M 的坐标，利用0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程2235(3)0x y x y m x y +-+---=，根据方程过的定点与m 无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.详解】解：（1）设圆心(,0)(0)C a a >，则圆心C 到直线3440x y --=的距离|34|5a d -=. 因为圆被直线3440x y --=截得的弦长为∴1d ==. 解得3a =或13a =-（舍），∴圆C ：22(3)4x y -+=.（2）已知(3,0)C ，设(,5)P m m --， ∵PA 为切线，∴PA AC ⊥，∴过A ，P ，C 三点的圆是以PC 为直径的圆.设圆上任一点为(,)M x y ，则0PM CM ⋅=u u u u r u u u u r .∵(,5)PM x m y m =-++u u u u r ，(3,)CM x y =-u u u u r，∴()(3)(5)0x m x y y m --+++= 即2235(3)0x y x y m x y +-+---=.若过定点，即定点与m 无关 令2235030x y x y x y ⎧+-+=⎨--=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点为(3,0)，(1,4)--. 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.22.对于定义域相同的函数()f x 和()g x ，若存在实数m ，n 使()()()h x mf x ng x =+，则称函数()h x 是由“基函数()f x ，()g x ”生成的.（1）若函数2()423h x x x =++是“基函数2()3f x x x =+，()3g x kx =+”生成的，求实数k 的值；（2）试利用“基函数()13()log 91x f x -=+，()1g x x =-”生成一个函数()h x ，且同时满足：①(1)h x +是偶函数；②()h x 在区间[2,)+∞上的最小值为()32log 101-.求函数()h x 的解析式.【答案】(1) 23k =. (2) ()13()2log 9122x h x x -=+-+ 【解析】【分析】（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得k 的值.（2）设出()h x 的表达式，利用()1h x +为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得m n =-，由此化简()h x 的表达式()13191log 3x x h x m --⎛⎫+= ⎪⎝⎭，构造函数11913x x y --+=，利用定义法证得21t y t +=在[)3,+∞上的单调性，由此求得21t y t +=的最小值，也即11913x x y --+=的最小值，从而求得()h x 的最小值，结合题目所给条件，求出,m n 的值，即求得()h x 的解析式.【详解】解：（1）由已知得()224233(3)x x m x x n kx ++=+++，即224233()3x x mx m nk x n ++=+++， 得34233m m nk n =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，所以23k =. （2）设()13()log 91(1)x h x m n x -=++-，则()3(1)log 91x h x m nx +=++.由(1)(1)h x h x -+=+，得()()33log 91log 91x x m nx m nx -+-=++， 整理得391log 291x x m nx -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即3log 92x m nx -=， 即22mx nx -=对任意x 恒成立，所以m n =-.所以()13()log 91(1)x h x m m x -=+--()13log 91(1)x m x -⎡⎤=+--⎣⎦()1133log 91log 3x x m --⎡⎤=+-⎣⎦13191log 3x x m --⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 设11913x x y --+=，2x ≥，令13(3)x t t -=≥，则21t y t+=， 任取12,[3,)t t ∈+∞，且12t t < 则222121211t t y y t t ++-=-()()1212121t t t t t t --=， 因为12,[3,)t t ∈+∞，且12t t <所以120t t -<，129t t >，1210t t ->，故()()1212121210t t t t y y t t ---=<即12y y <，所以21t y t+=在[3,)+∞单调递增，所以21103t y t +=≥，且当3t =时取到“=”. 所以13319110log log 33x x --⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 又()h x 在区间[2,)+∞的最小值为()32log 101-，所以0m >，且2m =，此时，2n =-所以()13()2log 9122x h x x -=+-+【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
湖南四大名校内部资料试卷-雅礼教育集团2019-2020-1高一数学期末
雅礼教育集团2019年高一下学期数学期终考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( )A.对任意x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，都有20x <C.存在0x R ∈，使得200x ≥D.存在0x R ∈，使得200x <2.已知集合{}220A x x x =-->，则R C A =( )A.{}12x x -<<B.{}12x x -≤≤ C.{}{}12x x x x <->UD.{}{}12x x x x ≤-≥U3.若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,25.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125B.125-C.512D.512-6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则( )A.1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB.1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC.4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD.4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r8.要得到函数5cos 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移3π个单位D.向右平移3π个单位9.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A.[]2,2-B.[]1,1-C.[]0,4D.[]1,310.设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是( ) A.()f x 的一个周期为2π-B.()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C.()f x π+的一个零点为6x π=D.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减11.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.2B.2C.112D.13212.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <函时，都有()()12f x f x ≤数，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-.则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于( ) A.23B.34C.1D.45二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________. 14.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为__________. 15.某公司一年购买某种化物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________.16.化简2cos 70sin 40sin 50+o oo的结果为__________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(本小题满分10分)已知全集U R =，{}39A x x =≤≤，{}4,1xB y y x ==≥，13log ,C y y x x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}20D x x ax b =++≤.(1)求()U C A B ⋂； (2)若C D =，求a b -的值.18.(本小题满分12分)已知函数()()2210f x ax x a =-+≠.(1)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.20.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，且当6x π=时，()f x 取得最大值2(1)求()f x 的解析式；(2)用五点法作出()f x 在[]0,π上的图象21.(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=(1)求cos2a 的值； (2)求()tan αβ-的值.22.(本小题满分12分) 已知()221f x x x kx =-++(1)若2k =，(],1x ∈-∞-，求方程()0f x =的解； (2)若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两解1x ，2x ， ①求k 的取值范围；②证明：12`114x x +<.。
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟数学(理)试题Word版含解析
2019届湖南省长沙市雅礼中学高考模拟数学（理）试题一、选择题1．已知x R ∈，则“1x <”是“21x <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】()()()()21,111,11,,11,1x x x x <∴+-<∴-<<∴-∞⊇- , 1x ∴< 时， 21x <的必要不充分条件，故选B.2．若复数z 为纯虚数且()1i z a i +=-（其中i 是虚数单位， a R ∈），则a z += （ ）【答案】A【解析】()()()()()1i i,1i 1i 1i i z a z a +=+∴-+=-+ , ()211i,z a a ∴=+-- 因为复数z 为纯虚数,所以10,1,,a a z i +==-= 则1+|a z i +==，故选A.3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3，3，则输出v 的值为（ ）A. 16B. 18C. 48D. 143 【答案】C【解析】初始值3,3n x == ，程序运行过程如下表所示： 1,i=2v = ，满足条件i 0≥ ，执行循环体，1325,1v i =⨯+== ；满足条件i 0≥ ，执行循环体， 53116,0v i =⨯+== ；满足条件i 0≥ ，执行循环体， 163048,1v i =⨯+==- ，不满足条件i 0≥，退出循环，输出v 的值为48 ，故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++=，向量,a b 的夹角为120°，且2b a =，则向量a 与c 的夹角为 （ ）A. 180°B. 150°C. 120°D. 90° 【答案】D【解析】0a b c c a b ++=⇒=-- ，设a 与c 的夹角为θ ，则根据向量的数量积可得()2···c o s ···a a b a a b a c a c a a b a a bθ----===--+，根据a与b关系，()22··cos120,a b a b a a b a b ==-+=--222?3a b a b a ++= ，代入可得cos 0θ= ，则为两向量垂直，夹角为90 ，故选D.5．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且125,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A. 36 B. 49 C. 64 D. 81【答案】C 【解析】1252,6a aa a =-=+ ,()()22152226a a a a a ∴==-+ , 解得218873,1,82642a a S ⨯===+⨯= ，故选C. 6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为 （ ）A. 88B. 98C. 108D. 168【答案】A【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱高为4 ，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6 ，高为4 ，所以腰长为5 ，所以底面三角形的周长为55616++= ，所以几何体的表面积()126455642464882S =⨯⨯⨯+++⨯=+= ，故选A. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2014年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据： lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30≈≈≈ ）（ ） A. 2017年 B. 2018年 C. 2019年 D. 2020年 【答案】D【解析】设经过年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得()13010.12200x+=，则1.1220log 13x =，即lg20lg131lg21lg1.30.3011194lg1.12lg1.120.055x -+---====≈，故201642020+=，应选答案D 。
湖南省五市十校近年-近年学年高一数学下学期期末考试试题(最新整理)
湖南省五市十校2018—2019学年高一数学下学期期末考试试题本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：必修一、必修二、必修三：、必修四。
注意事项：1。
答题前.考生务必将自己的扑名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后。
用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动。
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M=｛2，4，6}，N=｛1，2｝，则MUN = A. ｛2,4,6,1,2} B 。
{1,2，4，6｝ C. {1，4，6}D 。
{2}2.下列条件:①a>b;②b 〉a;③ab>0;其中一定能推出a 2>b 成立的有 A 。
0个B 。
3个 C 。
2个 D.1个3.已知等比数列{n a }的前n 项和为n S , 1,213==a a a n =2a3=1，则=4S A 。
31B 。
15C 。
8D 。
74。
若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≥-03020x y x y x ,则y x +2的最大值为A.-3B.1C.9D.105.已知向量 a=(1，2),b=(4，-2)，则a 与b 的夹角为 A.6π B. 3π C 。
125π D 。
2π6.已知n S 为等差数列｛n a ｝的前n 项和,3,333==a S ，则=1011aA.2019 B 。
1010 C. 2018 D. 10117。
函数x x x x f +=cos )(在［ππ,-］上的图像大致为8。
如图，某人在点B 处测得莱塔在南偏西60°的方向上,塔顶A 仰角为45°，此人沿正南方向前进30米到达C 处,测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为A 。
【2019精品高一期末】2019-年长沙市高一期末考试试卷+答案
2019年长沙市高一数学期末考试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分）1．已知不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①βαβα∥∥m m ⇒⎭⎬⎫⊂ ②ββ∥∥∥n m n m ⇒⎭⎬⎫③ 异面、n m n ⇒⎭⎬⎫⊂⊂βαm④ βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m ∥其中错误的命题有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．32．直线L 过点A （3,0）和点B （0,2），则直线L 的方程是（ ） A ．2x+3y-6=0 B ．3x+2y-6=0C ．2x+3y-1=0D ．3x+2y-1=03．两条平行线L 1:4x-3y+2=0与L 2:4x-3y-1=0之间的距离是（ ） A ．3B ．53 C ．51D ．14．直线L 的方程为Ax+By+C=0，当A>0，B<0，C>0时，直线L 必经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限5．圆Q 1：x 2+y 2-4x-6y+12=0与圆Q 2：x 2+y 2-8x-6y+16=0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内含D ．内切6．长方体的长、宽、高分别为5、4、3，则它的外接球表面积为（ ） A ．225πB ．50πC ．32125πD ．350π7．点P （7，-4）关于直线L ：6x-5y-1=0的对称点Q 的坐标是（ ） A ．（5,6） B ．（2,3）C ．（-5,6）D ．（-2,3）8．已知圆C ：x 2+y 2-4x-2y-15=0上有四个不同的点到直线L:y=k （x-7）-6的距离等于5， 则k 的取值范围是（ ）A ()2，∞- B ．()∞+-，2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛221， D ．()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，，221二、填空题（本大题共7小题，每小题3分）9．如图的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，PR PQ 3=， 则点R 的空间直角坐标为 10. 过点（5,2）且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的 直线方程是 11. 过三点（-2，0）、（6,0）、（0，-6）的圆的方程 是12. 棱长为a 的正方体中，把相邻面的中心连结起来，以这些线段为棱的八面体的体积 为13.圆Q 1：x 2+y 2+2x+8y+-8=0与圆Q 2：x 2+y 2-4x-4y-2=0的公共弦长为 . 14.曲线2232y x x -++=与直线()51+-=x k y 有两个不同交点时，实数k 的取值范围 是15. 将半径都为2的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小 值为三、解答题（本大题共7小题，第16、18、19、20题每小题8分，第17、21题每小题9 分，第22题5分）16. 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，求二面角B-AC-D 的 大小.17．（1）过点P （2,4）向圆O:x 2+y 2=4作切线，求切线的方程；（2）点p 在圆:x 2+y 2+4x-6y+12=0上，点Q 在直线4x+3y=21上，求PQ 的最小值.第9题图18．已知0,0>>b a ，且ab b a 23=+，求22b a b a +-+的最大值.19．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点. 求证：（1）直线EF ∥面ACD（2）面EFC ⊥面BCD.20．已知圆C ：()()253-y 2-x 22=+，直线.L:()()01225-3x 24=--++λλλy（1）求证：直线L 与圆C 恒相交；（2）求直线L 被圆C 截得的弦长最短时λ的值以及最短弦长21.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为BC的中点.（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小； （2）证明：平面AND ⊥平面CDE ； （3）求MD 与平面ABCD 所成角的正弦值.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1:()()41322=-++y x 和圆.C 2:()()45422=-+-y x（1）若直线L 过点A （4,0），且被圆C 1截得的弦长为32，求直线L 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线L 1和L 2，它们分 别与圆C 1和圆C 2相交，且直线L 1被圆C 1截得的弦长与直线L 2被圆C 2截得的弦长相等， 试求所有满足条件的点P 的坐标.2019年长沙市高一数学期末考试卷参考答案一、选择题：二、填空题：9．⎪⎭⎫⎝⎛34,234，， 10. 05x 2=-y 或092x =-+y ；11. 01244x 22=-+-+y x y ；12．63a13. 5214.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎝⎛25232325，， 15. 3648+. 三、解答题16、取AC 得中点E ，连接BE 、DE ，则BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，角ABED 即为所求二面角. ∵四面体ABCDD 的棱AC=2，其余各棱长为1 ∴BE=22,DE=22,BD=1 ∴BE 2+DE 2=BD 2 ∴BE ⊥ED∴二面角B-AC-D 的大小为90017、（一）过点P （2,4）向圆O ：4x 22=+y 作切线 （1）当斜率不存在时，直线x=2与相切（2）当斜率存在时，设直线的方程为；）（2x 4y -=-k ，又圆心（0,0）到直线的距离为2，所以214k 2002=++--k ,∴k=43直线方程为：0104x 3=+-y综上所述，直线方程为：0104x 3=+-y 或2x =（二）由题意：0126422=+-++y x y x ⇒()()132x 22=-++y圆心到直线213x 4-+y 的距离为：4432198d 22=+-+-=∴314min =-=PQ18、1x 12223=+⇒=+⇒=+b ya b a ab b a 直线过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，， 如图可知22b a b a +-+即为直角AOB Rt ∆的内切圆直径，由直观 易知，当内切圆恰与动直线AB 相切于定点P 时，内切圆直径最大， 设所示圆圆心（r,r ）,则222123r ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r r ⇒()01132=++-r r取较小根23213-+=r （较大根是的旁切圆半径）故所求最大值为3213-+19、（1）证明：∵点E 、F 分别是AB 、BD 的中点 ∴EF ∥AD又EF ⊄面ACD ，AD ⊂ACD ∴EF ⊥面ACD（2）证明：∵CB=CD,点F 是BD 的中点 ∴BD ⊥CF又AD ⊥BD ，EF ∥AD ∴EF ⊥BD ，CF EF=F ∴BD ⊥面CEF BD ⊂面BCD ∴面EFC ⊥面BCD20、（1）()()01225324=---++λλλy x⇒()()01232254=-++--y x y x ⇒⎩⎨⎧=-+=--012320254y x y x ⇒⎩⎨⎧==23y x 直线L 过定点A （3,2）圆C ：()()253222=-+-y x ，圆心C(2,3)，半径r=5()()r 2322322<=-+-=AC∴直线L 总有点在圆内，即直线与圆C 恒相交（3）弦长最短时，弦心距最长，设P （3,2）则当L ⊥CP 时，弦长最短 此时,15324=-+-λλ5=⇒λ,∴弦长最短为22321、（1）以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1， 依题意得：B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，2，0） E （0，1，1）、F （0，0，1）、M （21，1，21） ∵()1,0,1-=,()1,1,0-=∴2122100=∙++=>∴异面直线BF 与DE 所成的角为60° （2）证明：∵⎪⎭⎫⎝⎛=21,1,21AM ,()1,0,1-=CE ,()0,2,0=AD ∴0,0=∙=∙ ∴CE ⊥AM ，CE ⊥AD又A AD AM = ，故CE ⊥面AMD 而CE ⊥面CDE ∴面AMD ⊥面CDE（3）设面CDE 的法向量为()z y x ,,=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∙=+-=∙0y 0x z DE n z CE n 令x=1，则()1,1,1n =，设面ACD 的一个法向量为()1,0,0m =则33311n =⨯=>∵二面角A-CD-E 为锐角 ∴二面角A-CD-E 的余弦值为3322、（1）∵直线x=4与圆C 1不相交∴直线L 的斜率存在，设L 方程为()4y -=x k ∵L 被圆C 1截得的弦长为23 ∴圆C 1的圆心到直线L 的距离()13222=-=d而2171kk d +--=∴k=0或k=247-∴直线L 的方程为y=0或7x+24y-28=0 (2) 设点P （a,b ）满足条件由题意可知直线L 1、L 2的斜率存在且不为0 设直线L 1的方程为()0k y ≠-=-，a x k b 则直线L 2的方程为()a x kb -=-1y 由题意可得d 1=d 2即()()221141513k 1kb a kkba +--+=+----∴()bk a k b ab --+±=-++45k 31∴()()5832-+=+-+-=-+b a k b a a b k b a 或 因k 值有无穷个 ∴⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧-==2125b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a ∴这样的点只可能是P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-2125，、P 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21323，。
湖南省长沙市数学高一下学期理数期末考试试卷
湖南省长沙市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·余姚月考) 在中，，，，则最短边长为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·杭州期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O、O1分别为底面ABCD和A1B1C1D1的中心，以OO1所在直线为轴旋转线段BC1形成的几何体的正视图为（）A .B .C .D .3. （2分）经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A . 1B . 4C . 1或3D . 1或44. （2分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A .B . 2C . 4D .5. （2分）设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a，b，c大小关系（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . a＜c＜b6. （2分）设等差数列的前n项和为,若,且,则当取得最大值时,n的值是（）C . 7D . 87. （2分）已知某个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正方形，点B为边AC的中点，根据图中标出的尺寸（单位cm）可得这个几何体的体积是（）A .B .C . 3D . 48. （2分） (2016高三上·新津期中) 在△ABC中，cos2 = ，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A . 正三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形或直角三角形D . 等腰直角三角形9. （2分）(2020·洛阳模拟) 圆关于直线对称，则的最小值是（）C . 5D . 910. （2分）如图，正方体AC1的棱长为1，连结AC1 ，交平面A1BD于H，则以下命题中，错误的命题是A . 平面A1BDB . H是的垂心C .D . 直线AH和BB1所成角为45°11. （2分）在平面直角坐标系中，点A,B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点，则的最小值是（）A . 10B . 11C . 12D . 1312. （2分） (2019高二上·宁波期中) 如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为（）A . ①③B . ③④C . ①②D . ②③④二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高一上·台州月考) 在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“ ”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数m的取值范围是________14. （1分） (2018高一下·开州期末) 在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，且，则 ________．15. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为________．16. （2分） (2016高二上·温州期末) 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2 ，则正三棱锥S﹣ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．18. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 在中，已知内角对边分别是，且.（1）求；（2）若，的面积为，求 .19. （10分） (2018高二上·石嘴山月考) 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．20. （15分） (2015高一下·沈阳开学考) 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA′=3，E、F分别在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．（1）求证：BB′⊥底面ABC；（2）在棱A′B′上是否存在一点M，使得C′M∥平面BEF，若存在，求值，若不存在，说明理由；（3）求棱锥A′﹣BEF的体积．21. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？22. （10分）(2017·诸城模拟) 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
湖南省五市十校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
湖南省五市十校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（扫描
版）
湖南省五市十校2019年上学期高一年级期末考试
数学（B卷）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
°或
三、解答题：共70分. 其中第17题10分;第18-22题每题12分，共60分.
------------- 5）：由已知：
------------- 10
）因为，是的中点，所以
，是的中点，所以 ---------- 2
，平面平面
平面
）因为、分别是、
∥且
∥且
∥且即四边形为平行四边形
，所以
是菱形
--------------------3
----------------------6）由正弦定理：
，则有
）证明：
）知，，所以
）设圆心
则圆心的距离. --------------- (2
截得的弦长为
（舍）圆
）已知
为切线，，三点的圆是以
若过定点，即定点与无关
或 . --------------- (12
，所以
）设.
，得
整理得，即
对任意恒成立，所以
，令，则
，且
，
，且
，故
，所以单调递增，
，且当时取到“
，
在区间的最小值为，所以，且，此时，
------------- 12。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |﹣4＜x ＜3}B ．{x |﹣4＜x ＜﹣2}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2．（5分）设复数z 满足（1+2i ）•z ＝5i （i 是虚数单位），则z =（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i3．（5分）在△ABC 中，“A ＜30°”是“sinA ＜12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．235．（5分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A ．f （x ）＝sin x B ．f （x ）＝2|x |C ．f （x ）＝x 3+xD ．f(x)=12(e ―x―e x )6．（5分）已知平面向量→a =(1，3)，|→b |=2，且|→a ―→b |=10，则(2→a +→b )⋅(→a ―→b )=（ ）A ．1B ．14C ．14D ．107．（5分）若cos(π6―α)=35，则sin(2α+π6)=（ ）A ．-2425B ．-725C ．725D ．24258．（5分）把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D ﹣AC ﹣B ，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为（ ）A ．33B ．22C ．63D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2018-2019学年高一下学期数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知点()ααtan ,cos P在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某校选修乒乓球课程的学生中，年级有50名，高二年级有30名．现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在年级的学生中应抽取的人数为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．123．若某校年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图如下图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） A ．91.5和91.5 B ．91.5和92 C ．91和91.5 D ．4．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．165．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程x y 53-=，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程a bx y +=必过点()y x ,； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系． 其中错误的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．函数()()[]ππ+-=x x y 2cos 2sin 2是（ ）A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数7．向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（ ） A ．21 B ．2π C ．π4 D ．4π8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与都是红球 C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球 D ．至少有一个黑球与至少有1个红球9．已知向量()1,1-=，()2,1=，向量满足()⊥+，()//-，则等于（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()1,0- D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,23 10．函数()()ϕω+=x A x f sin （其中2,0πϕ<>A ）的图像如图所示，为了得到()x x g 2sin =的图像，则只需将()x f 的图像（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位11．在ABC ∆中，=，=．若点D 满足3=，则=AD （ ）A ．4341+B ．5253+ C ．4143+ D ．3231+12．已知137cos sin =+αα，()πα,0∈，则αtan 的值为（ ）A ．512±B ．125±C ．125 D ．512-二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）13．圆的半径为6cm ，则圆心角为075的圆弧与半径围成的扇形的面积为 2cm ． 14．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为8的概率为 ． 151=6=，()4-=-∙，则向量与的夹角是 ．16．已知()()()()()()απαπαπααπαπα------⎪⎭⎫⎝⎛++=cos 3sin tan sin 23cos 3cos f （α为锐角），且546=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf ，则()αf 的值为 ．17．关于函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 4πx x f ()R x ∈，有下列命题： ①由()()021==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；②()x f y =的表达式可改写为⎪⎭⎫⎝⎛-=32cos 4πx y ； ③()x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称； ④()x f y =的图像关于直线3π-=x 对称．其中正确的命题是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题6个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（12分）为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如右图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为20． （1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ （2）规定次数在110以上(含110次)为达标，该校共有725名学生，试估计该学校全体学生达标的人数有多少？ 19．（12分）已知向量，()1,cos -=x b ．（1+的最大值；（2）当a 与b 共线时，求x x 2sin cos 22-的值．20．（13分）有关部门要了解甲型11N H 流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A 、B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5、8、9、9、9，B 班5名学生得分为：6、7、8、9、10．（1）请你判断A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些，并说明你的理由；（2）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．21．（14分）函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0sin 2πϕωϕωx x f 的部分图像如图所示，该图像与y 轴交于点()3,0F ，与x 轴交于点B 、C ，点M为最⎪⎭⎫ ⎝⎛=25,sin x高点，且MBC ∆的面积为π． （1）求函数()x f 的解析式； （2）若562=⎪⎭⎫⎝⎛-παf ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+62cos πα的值． 22．（14分）设函数()()x f +⋅=，其中向量()x x cos ,sin -=，()x x cos 3,sin -=，()x x sin 3,cos 3-=，R x ∈（1）求函数()x f 的单调减区间； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2411,0πx 时，方程()02=-+m x f 有且仅有一个根，求实数m 的取值范围．数学答案一、 选择题（每小题5分，共计60分）1、B2、C3、A4、 C5、B6、C7、D8、C9、B 10、A 11、C 12、D二、填空题（每小题5分，共计25分）13、215π 14、365 15、32π16、10334+ 17、④ 三、解答题（共计65分）18、解：（1）第二小组的频率是0.08, 样本容量是250----------------6分（2）638人-------------12分19、解：（1）4132sin +=+x b a -----------------------------4分 12sin1≤≤x -又217max =+b a --------------------6分 （2）当a 与b 共线时，25tan -=x ------------------------9分29282sin cos 22=-x x ------------------------12分 20、解：（1）,8=xA,8=x B -------------------2分4.22=s A ， 22=s A -----------------6分因为,x x B A = s s B A 22>所以B 班的问卷得分更稳定一些。
-------------7分 （2）取得的样本可能为（6,7）、（6,8）、（6,9）、（6,10）（7,8）、（7,9）（7,10）、（8,9）（8,10）、（9,10）共10种结果-------------------9分对应的平均数为6.5、7、7.5、8、7.5、8、8.5、8.5、9、9.5， 设事件C 表示“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1”因为,8=xB所以事件C 包含的可能结果有4种，------------11分因此52104==）（C P -------------------------------13分21、解：（1）1=ω--------------------------------------3分 3sin 2)0(==ϕf ,且20πϕ<<3πϕ=---------------------------------------5分)3sin(2)(π+=x x f -----------------------------6分（2）56)6sin(2)2(=-=-παπαf 53)6sin(=-πα----------------------------------8分又有），（知，36-6-2,0πππαπα∈⎪⎭⎫⎝⎛∈ 54)6cos(=-πα---------------------------------10分 102)46cos()12cos(=+-=+ππαπα-----------------12分 25241)12(2)62cos(cos 2-=-+=+παπα------------14分 22、解：（1）2)32cos(2)(++=πx x f ,递减区间为)(,3,6-Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ--------------------7分(2) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2411,0πx 时，方程()02=-+m x f 有且仅有一个根 即方程m x -=+)32cos(2π有且仅有一个根-----------------9分令⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=+453,32πππt t x 则-----------------10分 所以方程m t -=cos 2有且仅有一个根-----------------11分函数m y t t g -==与cos 2)(的图像有且仅有一个交点-----------------12分 所以[){}22,1 -∈m ---------------------------------------14分2018-2019学年高一下学期数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。