初中数学分式方程的定义
八上数学分式方程
八上数学分式方程数学作为一门学科，无处不在，贯穿于我们生活的方方面面。
而在数学的学习中，分式方程是一个非常重要且常见的内容。
在八年级的数学课程中，我们将开始接触和学习关于分式方程的知识。
什么是分式方程呢？简单来说，分式方程就是含有分式的方程。
分式是数的比的形式。
而分式方程则是含有未知数的分式的等式。
解分式方程的过程就是找出未知数的值，使得等式成立。
学习八年级的数学分式方程，需要掌握一些基本的知识。
首先要了解分式的概念，明确分子和分母的含义。
然后要学会如何化简分式，将分式化为最简形式。
接着就是学习如何解分式方程，常见的方法有通分、去分母、因式分解等。
在解题过程中，还需要注意约束条件，确保得到的解符合题目的要求。
在学习过程中，要多做练习，熟练掌握各种解题方法。
可以通过做题册、练习册、习题集等方式进行练习，巩固所学知识。
同时，要注意归纳总结，将不同类型的题目进行分类整理，形成自己的解题思路和方法。
除了理论知识外，实际问题的分析和解决也是学习分式方程的重要内容。
在解决实际问题时，要将问题转化为数学语言，建立分式方程，然后通过求解方程得到问题的答案。
这样可以帮助我们将抽象的数学知识与实际生活相结合，提高解决问题的能力。
此外，学习数学分式方程也需要培养逻辑思维和分析问题的能力。
在解题过程中，要善于观察、分析和推理，找出问题的关键点和解题思路。
通过不断练习和思考，提高自己的数学思维能力，培养解决问题的能力。
总的来说，八年级数学分式方程是一个重要且必要的学习内容。
通过学习分式方程，可以帮助我们提高数学能力，培养逻辑思维，解决实际问题。
希望大家在学习数学的过程中，能够认真对待，多加练习，提高自己的数学水平。
愿大家都能在数学的海洋中畅游，享受数学带来的乐趣！。
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
数学手抄报分式方程
数学手抄报分式方程
分式方程是指方程中含有分式的方程。
分式方程通常可以表示为形如 (ax+b)/(cx+d) = e 的形式，其中 a、b、c、d、e 为已知数，x 为未知数。
解分式方程的关键是消去分母，使得方程变为一个多项式方程，然后求解多项式方程得到未知数的值。
在手抄报中，你可以通过以下几个方面来展示关于分式方程的内容：
1. 定义，首先可以从数学角度简单介绍一下分式方程的定义，即含有分式的方程。
2. 样例，举例说明分式方程的形式，如 (2x+3)/(x-1) = 5，然后展示如何解这个方程。
3. 解法，详细介绍解分式方程的方法，包括消去分母的步骤，以及如何求解得到未知数的值。
可以包括一些常见的技巧和方法。
4. 应用，介绍一些实际生活中分式方程的应用，比如物体运动的模型、工程问题等，说明分式方程在实际问题中的重要性和应用
价值。
此外，你还可以通过插入一些相关的图表、图示或者实例来更生动地展示分式方程的内容，让读者更直观地理解分式方程的概念和解法。
希望这些内容能够帮助你完善手抄报的内容。
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点一、分式的概念咱先来说说啥是分式哈。
分式呢，就是形如A/B 的式子，其中A、B 是整式，且 B 中含有字母。
比如说2/x，x/y+1 这些都是分式。
可别把分式和整式弄混了哈，整式里可没有分母含字母这一说。
那啥时候分式有意义呢？很简单，当分母 B 不等于0 的时候，分式就有意义。
举个例子，对于分式1/(x-1)，当x-1≠0，也就是x≠1 的时候，这个分式就有意义。
要是分母等于0 了呢，那分式就没意义了。
比如还是这个分式，当x=1 的时候，分母为0，这时候分式就没意义了。
再说说分式值为零的情况。
那得满足两个条件，一是分子 A 等于0，二是分母B 不等于0。
比如说分式(x-1)/(x+1)，要让这个分式值为零，那就得x-1=0，同时x+1≠0。
解第一个方程得x=1，再看第二个条件，当x=1 的时候，x+1=2≠0，所以当x=1 的时候，这个分式值为零。
咱再来几个式子让大家判断判断哈。
像3/x²，这肯定是分式。
当x=0 的时候，这个分式没意义，因为分母为0 了。
当x≠0 的时候，这个分式有意义。
那这个分式啥时候值为零呢？因为分子是3，恒不为0，所以这个分式值永远不可能为零。
再看(x²-4)/(x-2)，先化简一下，分子可以因式分解为(x+2)(x-2)，这样这个式子就变成了(x+2)(x-2)/(x-2)，约分后就是x+2。
当x=2 的时候，原来的式子分母为0，没意义。
当x≠2 的时候，这个式子就等于x+2。
那这个式子啥时候值为零呢？当x+2=0，也就是x=-2 的时候，这个式子值为零。
大家可都得把分式的概念弄清楚了哈，这可是学好分式这一章的基础呢。
二、分式的基本性质咱先来说说分式的基本性质是啥哈。
那就是分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
听起来有点绕口不？咱举个例子就明白啦。
比如说有个分式$\frac{2}{3}$，要是分子分母都乘以2，那就变成了$\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}$。
初中数学分式方程
分式方程1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。
2、解分式方程的步骤：（1）、将分式方程化成整式方程（两边同乘最简公分母）。
（2）、解这个整式方程（按步骤进行）。
（3）、将所解出的解带入最简公分母检测是否为零，若为零，无解，不为零，即为方程的解。
3、增根与无解的区别增根：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，而这个整式的根恰好使分式方程的分母为0，这种根通常称为增根。
因此，在解分式方程时必须进行检验。
无解：分式方程无解可以从两个角度考虑：一是：分式方程转化为整式方程无解；二是：分式方程转化为整式方程有解，但是这个解使分式方程的分母为0，即为增根.例1、下列方程是分式方程的是______521=+x x a 、134=+y x b 、 )321(32-+=+x x c 、 04222=+-x x d 、 练习： 1、分式方程的个数是______（1）312=+x （2）2321325-=-+x x x （3）yy 1322=- （4）01232=+-m m 例2、解下列分式方程（1）、231+=x x （2）、012112=---x x（3）431222-=-+-x x x （4）6122x x x +=-+（5）31144x x x --=-- （6）311(1)(2)x x x x -=--+练习：（1）22111x x =--- （2）x x 527=+（3）87178=----x x x （4）417425254=-+-x x x x（5）11322x x x -=--- （6）120112x x x x-+=+-分式的求值问题例3、 关于x 的分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值．练习：1、若方程132323-=-++--xmx x x 无解，则m 的值是多少？2、若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.例4、解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x练习：1、解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x2、解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+分式方程的应用1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）.（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b a b a-+ 2．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+ （C ）24024054x x +=- （D ）24024054x x -=- 3．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示：（1）李明原计划读完这本书需用 天；（2）改变计划时，已读了 页，还剩 页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需 天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程 ．4.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？5. A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？6.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
2014初中数学基础知识讲义—分式方程及应用
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：找等量关系分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .5．易错知识辨析：（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.题型一 解分式方程（注意因式分解）【例题1】（2013南平市）分式方程x x 332=-的解是 【例题2】（2013宜宾）分式方程的解为 题型二 分式方程解的判定【例题1】(福建中考)若关于x 方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 关键：把使最简公分母为0的x 值代人化简的一元一次方程后即可求出。
【例题2】（2013牡丹江）若关于x 的分式方程的解为正数，那么字母a 的取值范围是 关键：这类题型解法是化简后求出x 值（其中x 是含字母的值），再用不等式解法求解。
初中数学基础知识讲义—分式及分式方程应用题型三 分式方程应用（找等量关系）【例题1】（2013河北省）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是A ．120x ＝100x －10B ．120x ＝100x +10C ．120x －10＝100x D ．120x +10＝100x 【例题1】(2013嘉兴）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为1、（2013黄石）分式方程3121x x =-的解为（ ） A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x = 2、（2013襄阳）分式方程的解为（ ） A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=﹣13、（2013吉林省）分式方程132+=x x 的解为x = 4、（2013铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原 D10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需 +=1 +8（+）=1 D ）台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器7、（牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = 8、（湖北襄樊）当m=_________时,关于x 的分式方程213x m x +=--无解. 9、（2013绥化）若关于x 的方程=+1无解，则a 的值是 10、（2013威海）若关于x 的方程无解，则m= 11、（2013大兴安岭）若关于x 的分式方程112=--x a x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是 12、（2013武汉）解方程：x x 332=-13、（2013龙岩）解方程：412121x x x =+++14、（2013漳州）解方程：2112-=-x x 15、（2013宁夏）解方程：16、（2013红河）解方程 212xx x +=+17、（2013宁波）解方程：=﹣518、（2013南京）解方程 2x x -2 =1- 12-x 19、（2013珠海）解方程：20、（2013深圳）解方程：0)1x (x 2x 1x 3=-+--21、（2013泰州） 解方程：22222222x x x x x x x ++--=--22、（2013十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？23、（2013泰州）某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.24、（2013长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．25、（2013三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）。
人教版八年级数学上册第十五章 分式
初中数学试卷第十五章 分式15.1 分式 (一)分式1.定义一般地，如果A 、B 都表示 ，且B 中含有 ，那么称BA为分式.其中A 叫做分式的分子，B 为分式的分母. 注意：（1）分式也是代数式；（2）分式是两个整式的商，它的形式是BA（其中A ，B 都是整式并且还要求B 是含有字母的整式）（3）A 称为分式的分子，B 为分式的分母. 2.分式有意义的条件当B 时，分式B A无意义. 当B 时，分式BA有意义3.分式为0的条件当A 且 时，分式无意义（二）分式的基本性质1.分式的基本性质：分式的分子与分母 同一个不等于0的整式，分式的值 .上述性质可以用式表示为： ()()⋅⋅=B A B A ()()÷÷=B A B A 0≠C 其中A,B,C 是整式 2.分式的约分 3.分式的通分 约分与通分BA练习;1.下列是分式的有几个 （ ） ()()33,1,31,1,5,53,7,32,3,22-÷++--+-+a a a y a a y x y xy y x y x y x π A.3 B.4 C.5 D.62.将分式2x x y+中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）A.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的21C.保持不变D.无法确定 3．如果分式242--x x 的值等于0，那么（ ）A.2±=xB.2=xC.2-=xD.2≠x 4．与分式b a ba --+-相等的是（ ）A.b a b a -+B.b a b a +-C.b a b a -+-D.ba b a +-- 5．化简的结果是（ ） A.B. C. D. 6.把分式倍，那么该分式的值都变为原来的和中的n b a ba a-2 （ ） A.变为原来的n 倍 B.变为原来的2n 倍 C.不变 D.变为原来的4n 倍7.已知分式23+-x x 的值为负数，求x 的取值范围 8. 当x= 时，分式x x +-51的值等于21.9.若分式()()21122+-+-x x x x 的值为零，则的值为2293mm m --3+m m 3+-m m 3-m m mm-310.代数式11x -有意义时，x 应满足的条件是_____________. 11．当x ________时,分式有意义．12.将下列分式中的分子和分母中各项系数化为整数（1）yx y x 5.008.02.003.0-- （2）325232n m n m -+13.已知3=y x ，求22222yxy x y x +--的值14.若实数b a ,，满足2=+a bb a ，求22224bab a b ab a ++++的值15.通分：（1）441,2222+---+x x x x x x （2）x x x --21， xx x +-21xx2121-+约分：（1）22222yx y xy x -++ （2）22255a a a --15.2分式的运算（一）分式的乘除法 1.分式的乘法法则 分式乘分式，用 的积作为积的分子， 的积作为积的分母。
2022最新湘教版初中数学八年级上册数学知识点大全
第3章 实 数
要点梳理
一、平方根
1. 平方根的概念及性质 a (1)定义：若r2=a，则r叫作a的一个平方根. (2)性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 算术平方根的概念及性质 a (1)定义：a的正平方根叫作a的算术平方根. (2)性质：0的算术平方根是0，只有非负数才有算术平
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3. 线段垂直平分线的作法
五、全等三角形 1.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等
2.全等三角形的判定 SAS ASA AAS SSS
3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
方程； （2）解：解这个整式方程； （3）验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去；
（4）写根：写出原方程的根.
3.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系； （2）找：找出题目中的等量关系； （3）设：根据题意设出未知数； （4）列：列出分式方程； （5）解：解这个分式方程； （6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程
分式的除法
（1）同分母分式相加减
分式的乘方
（2）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减.这个相同的 分母叫公分母.
(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各 个因式的最高次幂的积为公分母)
三、整数指数幂
1.同底数幂除法：a m an
amn
(a≠0, m、n为正整数且m>n)
八年级数学上册分式知识点
八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
新人教版初中八年级数学上册《分式方程》教学课件
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分
母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这
个解不是原分式方程的解。
知识要点
二. 列分式方程解应用题的一般步骤:
1. 审：分析题意,找出数量关系和相等关系。
2. 设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整。
3
2
=
(a,b为非0常数)是整式方程。
知识梳理
知识点二：分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程。
解分式方程的一般步骤：
①去分母——将方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程；
③检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不
1
1 1 1
+ +
工程的_____，两队半个月完成总工程的___________。
2
3 6 2
在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程。
解析
1
3
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 。记总工程量为1,根据工程的实
际进度，得
方程两边乘6，得
1 1 1
+ +
=1
3 6 2
2 + + 3 = 6
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
ℎ。
+
提速后它行驶( +
分式方程知识点的总结
分式方程知识点的总结分式方程知识点的总结关于分式方程知识点的总结，列分式方程解应用题的关键是列出分式方程，难点是找出等量关系，易错点是检验。
下面由小编为您整理出的相关内容，一起来看看吧。
（一）分式方程知识点的总结分式方程同前面讲到的分式知识是完全不同的两个概念，同学们不要弄混淆了。
分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号}；②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1）求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。
一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根，则原方程无解。
在分式方程中，如果分式本身约分了，也要代进去检验。
分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程→整式方程。
（2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！上面对分式方程的解法知识的讲解，希望同学们都能很好的掌握，并在考试中很好的备战考试工作。
（二）初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的`掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
初中数学知识归纳分式方程的解法
初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。
解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。
本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。
一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。
例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。
在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。
具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。
（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。
举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。
（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。
（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。
（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。
（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。
2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。
（2）通过移项的方式将方程变为等式。
（3）对方程两边进行合并和化简。
（4）解出未知数。
举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。
（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。
（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。
《认识分式》分式与分式方程
《认识分式》分式与分式方程汇报人：日期:•分式的基本概念•分式方程的介绍•分式的图形表示•分式与分式方程的进阶话题01分式的基本概念定义描述分式通常表示为 $\frac{分子}{分母}$ 或 分子 / 分母 的形式。
符号表示例子说明简化性质分式可以通过约分进行简化，即使分子和分母都除以它们的最大公约数，得到更简洁的形式。
等价性质若两个分式的分子和分母分别相乘后相等，则称这两个分式等价。
等价性质是分式运算的基础。
运算性质分式可以进行加法、减法、乘法和除法等基本运算，运算规则与整式类似，但需注意分母不能为0。
加减法运算01乘法运算02除法运算0302分式方程的介绍定义示例示例与其他数学知识的联系03分式的图形表示函数图像概述绘制方法图像特点030201分式的函数图像渐近线定义垂直渐近线求解方法渐近线与垂直渐近线图像变换与分式函数性质的关系0102030404分式与分式方程的进阶话题超越分式方程是分式方程的一种，其中含有三角函数、指数函数或其他超越函数。
求解超越分式方程通常需要结合代数方法与数值方法。
无理分式与超越分式方程超越分式方程无理分式分式的极限当分式的分子或分母趋近于零时，分式的值可能趋近于一个有限数、无穷大或无穷小。
研究分式的极限有助于了解分式在特定条件下的行为。
分式的连续性在实数范围内，分式函数通常是连续的，除非分母为零的点。
研究分式的连续性有助于分析分式函数的性质，如单调性、凹凸性等。
分式的极限与连续性复数解的存在性：对于某些分式方程，在实数范围内无解，但在复数域内可能存在解。
这需要通过扩展解的范围到复数域来探讨。
求解方法：求解复数域内的分式方程，通常需要先将其转化为整式方程，然后运用复数代数的基本定理和技巧进行求解。
通过以上进阶话题的讨论，我们可以更深入地理解分式和分式方程的性质与求解方法，为数学学习和应用打下更坚实的基础。
分式方程在复数域内的解THANK YOU。
初中数学 方程与不等式模块2-4 分式方程讲义(含答案解析)
分式方程题型练题型一：分式方程的概念分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程，分式方程是方程的一种例1下列关于x 的方程中，是分式方程的是（）A.35435x x -+-=B .x a x ba b b a-=+C .2(1)11x x -=-D .x n x n m n-=【详解】解：A ．35435x x -+-=中分母不含未知数，不是分式方程，故选项A 错误；B ．x a x ba b b a-=+中分母不含未知数，不是分式方程，故选项B 错误；C ．2(1)11x x -=-是分式方程，故选项C 正确；D ．x n xn m n-=中分母不含未知数，不是分式方程，故选项D 错误．故选：C ．变式1.在方程：①715832x x --=+，②1626x x -=，③28811x x x +=--，④1102x x --=，是分式方程的有（）A.①和② B.②和③C.③和④D.①和④【答案】C 【解析】【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可．【详解】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程；②分母不含未知数，故②不是分式方程；③分母含有未知数，故③是分式方程；④分母含有未知数，故④是分式方程．故选C ．【点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．题型二解分式方程的一般步骤求解分式方程的一般步骤：①方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；②解整式方程，求出整式方程的解；③检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解．注意：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．例2解分式方程：1133x xx x =+++．解：1133x x x x =+++去分母，得33(1)x x x =++，解此方程，得3x =-，经检验，3x =-是原分式方程的根．变式2.解方程：2713113x x x-+=--【答案】1x =-【解析】【分析】方程两边同时乘以（3x －1），把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得结果．【详解】解：方程两边同时乘以（3x －1），约去分母得：2731x x --=-，解这个方程，得1x =-，经检验：1x =-是原方程的解，∴原方程的解为1x =-．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握解分式方程的方法是关键．题型三分式无解（增根）的条件例3已知关于x 的方程361(1)x mx x x x ++=--有增根，求m 的值．【详解】解：方程两边都乘x （x －1），得3（x －1）＋6x ＝x ＋m ，∵原方程有增根，∴最简公分母x （x －1）＝0，解得x ＝0或1，当x ＝0时，m ＝－3；当x ＝1时，m ＝5故当m ＝－3或5时，原方程有增根．变式3.若关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-有增根1x =，求k 的值.【答案】3【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程求出k 的值即可．【详解】方程两边同乘以(1)(1)x x x +-得()()()1511x k x k x ++--=-，把1x =代入上式得21k =-，解得3k =，故k 的值为3.【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．题型四无解的分式方程例4当a 为何值时，关于x 的方程311x a x x--=-无解？【详解】把分式方程化成整式方程得出(2)3a x +=，根据等式性质得出2a =-，原方程无解．再根据当1x =或0x =时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解是分式方程的增根，代入求得1a =．变式4.己知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++无解，求m 的值．【答案】m 的值为6-或32或1-【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m 的值，由分式方程无解求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】()()211122mx x x x x +=--++去分母得：()221x mx x ++=-2+41x mx x +=-()15m x +=-由分式方程无解，得到()()120x x -+=即11x =，22x =-当1x =时，15m +=-，解得6m =-当2x =-时，225m --=-，解得32m =当10m +=，整式方程无解，解得1m =-故m 的值为6-或32或1-．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．题型五：分式的实际应用分式在实际应用过程中要重点把握等量关系的建立，列分式方程解应用题一般步骤如下：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案．例5.甲、乙两个工程队合作完成一项工程，两队合做2天后由乙队单独做1天就完成了全部工程，已知乙队单独做所需的天数是甲队单独做所需天数的1.5倍，求甲、乙两队单独做各需多少天完成该项工程？【详解】解：设甲队单独做需x 天完成该项工程，则乙队单独做需1.5x 天完成该项工程，由题意得22111.5x x++=解得：4x =经检验4x =是原分式方程的解答：甲队单独欧需4天完成该项工程，乙队单独做需6天完成该项工程变式5.小明骑助动车，从家到学校去参加计算机能力考试，两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，请问他原计划的车速是多少千米/小时？【答案】20【解析】【分析】设原计划车速为x 千米/小时，根据两地之间相距50千米，当他行驶了10千米后将车速加速为原先的2倍，结果比原计划提前1小时到达学校，列出方程即可解答.【详解】设原计划车速为x 千米/小时1055010120x x x -=++102050x x x--=120x =1x=20.经检验x=20是原方程的解.答：他原计划的车速是20千米/小时.【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程.实战练6.解分式方程3511y y y =---时，去分母正确的是（）A.35y =-- B.3(1)(1)5y y y -=-- C.35(1)y y =--D.35(1)y y =---【答案】D 【解析】【分析】方程两边同时乘以()1y -，利用等式的性质即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以()1y -可得：35(1)y y =---，故选：D ．【点睛】本题考查去分母，掌握等式的性质是解题的关键．7.分式方程12211xx x -+=--的解是（）A.1 B.0C.1- D.无解【答案】D 【解析】【分析】首先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】解：去分母得：()1212x x +-=-，去括号得：1222x x +-=-，移项合并得：33x =，系数化为1得：1x =，∵1x =时，10x =﹣，∴x =1是分式方程的增根，∴分式方程无解．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．8.若关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，则m 的值是（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】C 【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x =2代入整式方程，即可求解．【详解】解：322x m x x -=--，去分母得：()32x x m --=，∵关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，增根为：x =2，∴()2322m --=，即：m =2，故选C ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．9.根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产x 箱药品，则下面所列方程正确的是（）A.60004500500x x =+ B.60004500500x x =- C.60004500500x x =- D.60004500500x x =+【答案】D 【解析】【分析】设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产(500)x +箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．【详解】解：设原计划平均每天可生产x 箱药品，则实际每天生产(500)x +箱药品，原计划生产4500箱所需要的时间为：4500x ，现在生产6000箱所需要的时间为：6000500x +，由题意得：60004500500x x=+；故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．10.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：22a b a b =-⊗，这里等式右边是通常的实数运算．例如：22113134==--⊗，则方程()6111x x ⊗-=--的解是（）A.4x =B.5x = C.6x = D.7x =【答案】B 【解析】【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】根据题中的新定义化简得：26111x x =---，去分母得：261x =-+，解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解．故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11.定义运算ab ＝a 2﹣2ab +1，下面给出了关于这种运算的几个结论：①25＝﹣15；②不等式组()310250x x ⎧-⊗-<⎨⊗-<⎩的解集为x ＜﹣32；③方程2x 1＝0是一元一次方程；④方程1xx ＝21x +x 的解是x ＝﹣1．其中正确的是_____．(填上你认为所在正确结论的序号)【答案】①④【解析】【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】根据题意得：①2⊗5＝4﹣20+1＝﹣15，正确；②不等式组()310250x x ⎧-⊗-<⎨⊗-<⎩变形得9604440x x +<⎧⎨--<⎩，此不等式无解，错误；③方程2x ⊗1＝0，变形得：4x 2﹣4x+1＝0，不是一元一次方程，错误；④方程1x ⊗x ＝21x+x ，变形得：221121x x x -+=+，解得：x ＝﹣1，正确，则正确的是①④．故答案为①④【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．12.代数式13x +与代数式3x的值相等，则x ＝__．【答案】92-【解析】【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可．【详解】解：根据题意得：133x x=+，去分母得：x =3（x +3），解得：x =92-，经检验x =92-是分式方程的根．故答案为：92-．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13.定义一种新运算：1an n n bn x dx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若2585mmx dx --=⎰，则m =______．【答案】25-【解析】【分析】根据新运算列等式为m −1−（5m ）−1＝−2，解出即可．【详解】解：由题意得：m −1−（5m ）−1＝−2，即：1125m m-=-，解得：m ＝25-，经检验：m ＝25-是方程1125m m-=-的解，故答案是：25-【点睛】本题考查了负整数指数幂和解分式方程，理解新定义，并根据新定义进行计算是本题的关键．14.若关于x 的方程221933m x x x +=-+-有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【答案】x ＝3或－3是原方程的增根；m ＝6或12.【解析】【详解】试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．15.解答下列各题：解方程：2111x x x+=-+．【答案】3x =-【解析】【分析】解方程首先去分母,把分式方程化为整式方程,再解整式方程,最后还要把整式方程的根带入最简公分母检验,即可得出答案．【详解】2111xx x+=-+方程两边同时乘以(1)(1)x x -+,约去分母得()()()()21111x x x x x ++-+=-解得3x =-检验:当3x =-时，(1)(1)1(3)1(3)80x x ⎡⎤⎡⎤-+=--+-=-≠⎣⎦⎣⎦,∴3x =-是原方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法,解题的关键熟练掌握分式方程的解答步骤．16.解分式方程：（1）22311x x x +=--；（2）222273711x x x x x x --=++--．【答案】（1）无解；（2）无解【解析】【分析】（1）方程两边乘(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（2）方程两边乘(1)(1)x x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）方程两边乘(1)(1)x x +-，得223x x +=+，解得1x =，检验：当1x =时，(1)(1)0x x +-=，因此1x =不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解；（2）方程两边乘(1)(1)x x x +-，得3377337x x x x x x -++=-+-，解得1x =，检验：当1x =时，(1)(1)0x x x +-=，因此1x =不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x=1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．【答案】（1）m=-6;(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）m 的值为﹣1或﹣6或1.5【解析】【详解】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；（1）把方程的增根x=1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得.试题解析：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x+2）+mx=x-1，整理得（m +1）x =﹣5，（1）∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.18.在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m 天，乙队共做了n 天完成.已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【解析】【分析】（1）根据题意列方程求解；（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率得到乙队的施工天数，令施工总费用为w 万元，求出w 与m 的函数解析式，根据m 的取值范围以及一次函数的性质求解即可．【详解】（1）设甲、乙两队单独完成这取工程各需2x ，3x 天，由题意得：11130151233x x x ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得：30x =，经检验：30x =是原方程的根，∴260x =，390x =，答：甲、乙两队单独完成这取工程各需60，90天；（2）由题意得：1319060902m n m ⎛⎫=-÷=- ⎪⎝⎭，令施工总费用为w 万元，则31589037202w m m m ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴3720840m +…，390802m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，∴2040m 剟，∴当20m =时，完成此项工程总费用最少，此时390602n m =-=，780w =元，答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元.【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．19.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？【答案】（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元【解析】【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动服x 套，第二次购进2x 套，然后根据题意列分式解答即可；（2）设每套售价是y 元，然后根据“售价-两次总进价≥成本×利润率”列不等式并求解即可．【详解】解：（1）设商场第一次购进x 套运动服，由题意得6800032000102x x-=解这个方程，得200x =经检验，200x =是所列方程的根22200200600x x +=⨯+=；答：商场两次共购进这种运动服600套；（2）设每套运动服的售价为y 元，由题意得600320006800020%3200068000y --+…，解这个不等式，得200y ≥．答：每套运动服的售价至少是200元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，弄清题意、确定量之间的关系、列出分式方程和不等式是解答本题的关键．20.观察下列各式：111121212==-⨯，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯，1111305656==-⨯，…()1请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________()2请利用上述规律计算：()1111...1223341n n ++++=⨯⨯⨯+________（用含有n 的式子表示）()3请利用上述规律解方程：()()()()111121111x x x x x x x ++=---++．【答案】（1）1111426767==-⨯；（2）1n n +；（3）5x =【解析】【分析】根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.【详解】解：()11111(426767==-⨯答案不唯一)；故答案为1111426767==-⨯；()2原式11111111112233411n n n n -+-+-++-+--+ 111=1111n n n n +-=-+++1n n =+；故答案为1n n +()3分式方程整理得：111111121111x x x x x x x -+-+-=---++，即1221x x =-+，方程两边同时乘()()21x x --，得()122x x +=-，解得：5x =，经检验，5x =是原分式方程的解．所以原方程的解为： 5.x =【点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.21.某中学开学初在商场购进A 、B 两种品牌的足球，购买A 品牌足球花费了2500元，购买B 品牌足球花费了2000元，且购买A 品牌的足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元（1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A 、B 两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，那么该中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？【答案】（1）一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元；（2）该中学此次最多可购买30个B 品牌足球【解析】【分析】（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x +30）元，根据购买A 品牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a ）个，根据购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3240元，可列出关于a 的不等式，解不等式即可解决问题．【详解】解：（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x +30）元，由题意得：25002000230x x =⨯+，解得：x ＝50，经检验：x ＝50是原方程的解，x +30＝80．答：一个A 品牌的足球需50元，一个B 品牌的足球需80元．（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a ）个，由题意得：50×（1+8%）（50﹣a ）+80×0.9a ≤3240，解得a ≤30．∵a 是整数，∴a 最大等于30，答：该中学此次最多可购买30个B 品牌足球．【点睛】本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的方程和不等式是解答的关键．培优练22.阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a ≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围；（2）若关于x 的分式方程32233x nx x x--+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围．【答案】（1）：m ＜12且m ≠﹣14；（2）n=1或n=53．【解析】【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m 的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可．【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x 的分式方程得，x=321m -，∵方程有解，且解为负数，∴2103221m m -⎧⎪⎨≠-⎪-⎩＜，解得：m ＜12且m ≠-14；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=53；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=53．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23.【建构模型】对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =．因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以，关于x 的方程ab x a b x+=+的两个解分别为：1x a =，2x b =．【应用模型】利用上面建构的模型，解决下列问题：（1）若方程p x q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =___，q =___；（直接写结论）（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为1x ，()212x x x <．求12223x x -的值．【答案】（1）4-，3；（2）1【解析】【分析】（1）根据材料可得：p=-1×4=-4，q=-1+4=3，计算出结果；（2）将原方程变形后变为：22212121n n x n x +-++=++，未知数变为整体2x+1，根据材料中的结论可得：122n x -=，212n x +=，代入所求式子可得结论；【详解】解：（1）∵方程p x q x+=的两个解分别为：121=4x x =-，，∴p=-1×4=-4，q=-1+4=3，故答案为：-4，3．（2）由222221n n x n x +-+=+，可得22212121n n x n x +-++=++．∴()()()()21212121n n x n n x +-++=++-+．故212x n +=+，解得12n x +=．或211x n +=-，解得22n x -=．∵12x x <，∴122n x -=，212n x +=．∴122222221123132232n x n n n x n n -⋅--====+-+--⋅-．【点睛】本题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解题的关键；。
第5讲 分式方程的定义与解法
江苏书人教育 2018寒假 初二数学自主招生班05第5讲 分式方程的定义与解法一、【概念建构】1.根据题意列出方程（1）甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.设甲每天加工x 件服装，可得方程______________________.（2）一个两位数的个位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是74.设原两位数的十位数字是x ，可得方程______________________. （3）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长约1500km ，是我国最繁忙的铁路干线之一.如果货车的速度为xkm/h ，快速列车的速度是货车的2倍，那么知从北京到上海快速列车比货车少用12h ，可得方程______________________.2.分式方程的定义： 方程叫做分式方程3.尝试解分式方程：24x ＋1 ＝20x？4. 解方程：（1）163104245--+=--x x x x5.归纳：（1）解分式方程的一般步骤是（2）解分式方程时为什么会产生增根？（3）如何检验整式方程的根为原方程的根的增根呢？二、【概念深化】1.下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？为什么？（1）2x ＋x －15 =10 （2）x － 1x =2 （3） 12x ＋1 －3=0 （4） 2x 3 ＋ x －12=02. 对于分式方程3233x x x =+--,有以下说法:①最简公分母为(x －3)2；②转化为整式方程x ＝2＋3，解得x ＝5；③原方程的解为x ＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为___个.三、【例题精讲】例1 解下列方程：（1） （2） 2411y y y y y+-=-- 30201x x =+江苏书人教育 2018寒假 初二数学自主招生班05 例2 解下列方程x －2x ＋2 －x ＋2x －2 ＝16x 2－4例3 当a 为何值时，方程323-+=-x a x x 会产生增根？变式1.关于x 的分式方程442212-=++-x x k x 有增根，求k 的值2.已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，求m 的取值范围.例4 (1)观察下列算式:111111111111;;62323123434204545==-==-==-⨯⨯⨯…… 由此可推断: 142= . (2)请用含字母m (m 为正整数)的等式表示(1)中的一般规律.(3)解方程:1311(2)(3)(1)(4)(1)(2)4x x x x x x x -+=------- .江苏书人教育 2018寒假 初二数学自主招生班05 例5 （全国初中数学联赛）解方程78563412++-++=++-++x x x x x x x x四、【巩固练习】1. 在方程，，（a ，b 为已知数），（a ，b 为已知数）中，分式方程有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.给出下列说法：①分式方程无解； ②方程无解；③方程的解是x=﹣1； ④的解是x=2．其中，正确说法的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 分式方程01153=--+x x 解的情况是（ ） A.有解，1=x B.有解5-=x C.有解，4=x D.无解4. 解分式方程2322-+=-x x x ，去分母后的结果是（ ） A.32+=x B.3)2(2+-=x x C.)2(32)2(-+=-x x x D.2)2(3+-=x x5. 方程1+1)1(2-+x x =0有增根，则增根是( ) A.1B.－1C.±1D.0 6. 已知2332-+=y y x ，用x 的代数式表示y ，则y =_______ 7. 分式方程2111339x x x -=-+-去分母时，两边都乘以 .江苏书人教育 2018寒假 初二数学自主招生班058. 沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为__________.9. 关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是_________. 10. 若方程22121242x a x x x ++=-+--有解，则a 的取值范围是___________． 11. 解分式方程：（1）13-x —)1(2-+x x x =0 （2）224124x x x -+=+-（3）311323162x x -=-- （4）1x x +＋1x x -＝212. （希望杯竞赛题）222211113256712x x x x x x x x ++++++++++=14x +五、【课堂小结】1.本节课你巩固了哪些知识点：2.本节课你收获了哪些数学思想、方法：六、【预习作业】 -------分式方程的应用。
《分式方程》教学设计(精选)
创设一些具有挑战性和趣问题情境中主动思考和解 决问题。
06
教师专业素养提升与反思
加深对分式方程的理解
掌握分式方程的基本概念
了解分式方程的定义、特点和解法，能够准确识别分式方程的类型。
深入理解分式方程的解法
熟悉分式方程的常用解法，如去分母法、换元法等，并能够灵活运用这些方法解决不同类 型的分式方程问题。
教学手段运用
01
02
03
多媒体辅助教学
利用多媒体课件展示分式 方程的相关知识和例题， 使教学更加直观、生动。
实验教学
通过实验的方式，让学生 亲身体验分式方程在实际 问题中的应用，激发学生 的学习兴趣和探究欲望。
网络教学
利用网络平台发布教学资 源和学习任务，引导学生 进行自主学习和合作学习 。
03
教学目标与要求
知识与技能
掌握分式方程的基本解法，包括去分 母、去括号、移项、合并同类项等步 骤，能够熟练解出分式方程的解。
过程与方法
情感态度与价值观
培养学生严谨的数学态度，感受数学 在实际问题中的应用价值。
通过探究、归纳、总结等方式，培养 学生的数学思维和解决问题的能力。
教材分析与选用
教材分析
本节课选用的是初中数学教材，该教材注重知识的系统性和逻辑性，通过实例 引入分式方程的概念和解法，逐步引导学生掌握分式方程的解法。
强化逻辑思维
通过分析和讲解典型例题，引导学生理解问题的本质和解题思路， 强化他们的逻辑思维和推理能力。
不断反思，改进教学方法
反思教学效果
及时收集学生的反馈意见，了解 他们对教学内容和方法的掌握情 况，分析教学效果，找出存在的 问题和不足。
改进教学方法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法
初中数学知识归纳分式方程与分式不等式的解法初中数学知识归纳：分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是初中数学中的重要知识点。
它们能够帮助我们解决实际问题，加深对数学知识的理解与应用。
本文将对分式方程和分式不等式的解法进行归纳总结，为初中数学学习者提供参考。
一、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，我们可以通过凑分子、通分、消去分母等方法求解。
下面将逐一介绍这些方法。
1. 凑分子法当分式方程中分子的次数比分母的次数少一次时，可以通过凑分子将其转化为整式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{2}{x} - \frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 1}$，我们可以令$y = \frac{1}{x}$，将方程转化为$2y - 3(y + 2) = 5(y - 1)$，然后解得$y = -1$，从而得出$x = -1$是原方程的解。
2. 通分法当分式方程中含有多个分式时，我们可以通过通分将其转化为有理式方程，从而求解。
例如，对于方程$\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{3}{x + 3}$，我们可以通分得到$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+2)} =\frac{3(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)}$，然后化简得到$(x+2)(x+3) +2(x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2)$，进而解得$x = 0$。
3. 消去分母法当分式方程中的分母为一次多项式时，可以通过消去分母的方式求解。
例如，对于方程$\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}$，我们可以将方程两边同乘以$(x + 1)(x - 1)x$，得到方程$x(x - 1)x + 2(x +1)x = 3(x + 1)(x - 1)$，然后化简求解得$x = 0$。
初中数学 方程的分类有哪些
初中数学方程的分类有哪些在初中数学中，方程可以按照不同的特征进行分类。
以下是几种常见的方程分类：1. 一元一次方程：一元一次方程是最简单的方程形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b 是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的方法通常是通过移项、合并同类项和求解一元一次方程的一般步骤。
2. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的方法可以通过配方法、因式分解、求根公式等。
3. 多元一次方程：多元一次方程是包含多个未知数的一次方程。
多元一次方程的一般形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b，其中a1、a2、...、an和b是已知数，x1、x2、...、xn是未知数。
解多元一次方程的方法通常是通过消元、代入、求解一元一次方程等。
4. 分式方程：分式方程是包含有分数的方程。
分式方程的一般形式为P(x) / Q(x) = R(x) / S(x)，其中P(x)、Q(x)、R(x)和S(x)是多项式，x是未知数。
解分式方程的方法通常是通过通分、消去分母、求解一元一次方程等。
5. 绝对值方程：绝对值方程是包含有绝对值符号的方程。
绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解绝对值方程的方法可以通过列出正负两种情况，再求解一元一次方程等。
6. 指数方程：指数方程是包含有指数的方程。
指数方程的一般形式为a^x = b，其中a和b是已知数，x是未知数。
解指数方程的方法可以通过取对数、换底公式等。
以上是初中数学中常见的方程分类。
了解不同类型的方程有助于我们在解题过程中选择合适的解法和方法，提高解题的效率和准确性。
初中数学知识点总结_整式方程和分式方程
整式方程1.一元一次方程（1）定义：只含有1个未知数且未知数的次数是1的整式方程。
（2）求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1、写成x=a。
2.二元一次方程（1）定义：含有2个未知数且未知数的次数都是1的整式方程。
（2）二元一次方程组：含有2个未知数的2个一次方程构成二元一次方程组。
（3）求解步骤：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并带入到另一个方程，从而消去一个未知数，解这个一元一次方程，求出这个未知数，进而求出第二个未知数。
（代入消元法）3.一元二次方程（1）定义：只含有1个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程。
一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）形式。
（2）求解①配方法：将方程转化为(x+m)2=n的形式，一边是完全平方式，另一边是常数，n≥0时，方程开平方后在实数范围内有解，n＜0时，方程在实数范围内无解。
②公式法：x=−b±√b²−4ac2a，当b2－4ac≥0时，方程在实数范围内有解，当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解。
注：1.公式法的具体步骤是：①把方程化为ax2+bx+c=0形式。
②求出b2－4ac的值。
③当b2－4ac≥0时，方程在实数范围内有解，当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解。
2.公式的推导过程：ax2+bx+c=0（a≠0）→x²+ba x+ca=0→x²+bax=﹣ca→ x²+bax+b²4a²=﹣ca+b²4a²→(x+b2a )²=b²−4ac4a²→x+b2a=±√b²−4ac2a→x=−b±√b²−4ac2a③分解因式法：方程一侧化为0，另一侧化为两个一次因式乘积的形式。
注：1.分解因式是把一个多项式化为几个整式积的形式。
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初中数学分式方程的定义2019年4月9日（考试总分：172 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 11 小题，共计 44 分）1、（4分）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）A． m≥-3 B． m≤-3 C． m＞-3 且m≠-2 D． m≥3且m≠-22、（4分）下列方程中,不是分式方程的是( )A． x-=1 B．=-2 C．D．x+3、（4分）在方程，，，中，分式方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、（4分）若分式方程有增根，则它的增根是（）A． 1 B．2或﹣2 C．﹣2D． 25、（4分）若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．﹣1.5 B． 1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.56、（4分）下列关于x的方程，是分式方程的是（）A．B．C．D．7、（4分）若分式的值为零，则a的值是（）A．±2 B． 2 C．﹣2D．08、（4分）下列关于x的方程，是分式方程的是（）A ．B ．C ．D ．9、（4分）下列关于的方程：①，②，③，④中，是分式方程的有（ ） A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个10、（4分）下列式子中，是分式方程的是（ ） A ．B ．C ．D ．11、（4分）下列各式中，不是分式方程的是（ ）A ．B ．C ．D．（二、 填空题 （本题共计 2 小题，共计 8 分）12、（4分）关于x 的方程无解，则k 的值为_____．13、（4分）下列关于x 的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 （________）（填序号）三、 解答题 （本题共计 10 小题，共计 120 分）14、（12分）解方程：224124x x x +-=-- 15、（12分）解下列分式方程 （1）（2）16、（12分）解分式方程：（1）；（2）．17、（12分）已知分式方程的有增根，则实数k为多少？18、（12分）（1）解方程：=+2；（2）解不等式组：．19、（12分）若方程的解是正数，求a的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答：解：去分母得：2x+a=﹣x+2．化简，得3x=2﹣a．故．欲使方程的根为正数，必须＞0，得a＜2．所以，当a＜2时，方程的解是正数．上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．20、（12分）解分式方程：（1）；（2）．21、（12分）若方程无解，求k值.22、（12分）解方程：23、（12分）解关于x的方程：2131 xx x=++-.一、单选题（本题共计 11 小题，共计 44 分）1、（4分）【答案】C【解析】去分母得，，整理得， .由题意得且，解之得m＞-3 且m≠-2.故选C.2、（4分）【答案】B【解析】A．该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；B．该方程属于无理方程，故本选项正确；C．该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；D．该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误．故选B．3、（4分）【答案】B【解析】=2,=1是分式方程，故答案选：B.4、（4分）【答案】C【解析】由题意得x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，原方程化为整式方程为3=（x﹣1+m）（x﹣2）当x=2时，右边为0，所以不能是2，当x=﹣2时，左边可能等于右边，故选C．5、（4分）【答案】D【解析】方程两边都乘以x（x﹣3）得：（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），即（2m+1）x=﹣6，①①∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=﹣0.5，②∵关于x的分式方程无解，∴x=0或x﹣3=0，即x=0，x=3，当x=0时，代入①得：（2m+0）×0﹣0×（0﹣3）=2（0﹣3），解得：此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+3）×3﹣3（3﹣3）=2（3﹣3），解得：m=﹣1.5，∴m的值是﹣0.5或﹣1.5，故选D．6、（4分）【答案】D【解析】A. 方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B. 方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C. 方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D. 方程分母中含未知数x，故是分式方程。
故答案选D.7、（4分）【答案】B【解析】∵=0，∴，∴a=2，故选B．8、（4分）【答案】D【解析】A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C.方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D.方程分母中含未知数x，故是分式方程。
故答案选D.9、（4分）【答案】C【解析】关于x的方程①，方程分母中不含未知数，不是分式方程．关于x的方程方程②，方程分母含有未知数，是分式方程．关于x的方程方程③，方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x的方程方程④中，方程分母中不含未知数，不是分式方程．综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选：C．10、（4分）【答案】C【解析】选项A，不是分式方程，是一元二次方程；选项B，不是非方程；选项C，是分式方程；选项D，不是分式方程，是一元一次方程.故选C.11、（4分）【答案】D【解析】A. B. C三个方程中的分母均含有未知数，是分式方程，故 A. B. C均不符合题目要求；D中的式子不是方程，故本选项符合题目要求.故选D.二、填空题（本题共计 2 小题，共计 8 分）12、（4分）【答案】﹣4或6或1【解析】去分母得：2x+4+kx=3x-6，当k=1时，方程化简得：4=-6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2-4=0，即x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=-4；把x=-2代入整式方程得：-4+4-2k=-12，即k=6，故答案为：-4或6或113、（4分）【答案】②【解析】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.三、解答题（本题共计 10 小题，共计 120 分）x=-14、（12分）【答案】1【解析】去分母得:(x+2)²-4=x²-4整理得:x²+4x+4-4=x²-4移项合并得:4x=-4计算得出:x=-1经检验x=-1是分式方程的解.15、（12分）【答案】（1）（2）无解【解析】(1)方程两边同乘以最简公分母3(x+1)得：整理得：移项得：系数化为1，得检验：当时，所以，是原方程的根，(2)方程两边同乘以最简公分母(x−1)(x+2)得：x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，整理得：合并同类项得：x=1，检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=(1−1)(1+2)=0，所以，x=1是原方程的增根，所以，原分式方程无解.16、（12分）【答案】（1）x=﹣3；（2）x=.【解析】（1）解分式方程：去分母得：2﹣2+x=3x+6，移项合并得：2x=﹣6，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解；（2）解分式方程：去分母得：1=3+3x﹣5+5x，移项合并得：8x=3，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．17、（12分）【答案】0【解析】去分母得：x=3k（x+1），x=，∵分式方程的有增根，∴x=0或x=﹣1，当x=0时，=0，解得：k=0，当x=﹣1时，=﹣1，此方程无解，故答案为：0．18、（12分）【答案】（1）x=3（2）3＜x＜5【解析】（1）去分母得：2x+9=12x﹣21+6x﹣18，移项合并得：16x=48，解得：x=3，经检验x=3是增根，原方程无解；（2），由①得：x＞3，由②得：x＜5，∴原不等式组的解集是3＜x＜5．19、（12分）【答案】有错，结果为a＜2且a≠﹣4【解析】有错，当a＜2时，分母有可能为零；改正：因为x≠2，所以，a≠﹣4，所以结果为a＜2且a≠﹣4．20、（12分）【答案】（1）方程无解；（2）x=13.【解析】（1）两边同乘以（x+2）（x−2）得：x（x+2）−（x+2）（x−2）=8，去括号，得：+2x−+4=8，移项、合并同类项得：2x=4，解得：x=2.经检验，x=2是方程的增根，∴方程无解.（2）由题意可得：5（x+2）=3（2x ﹣1）， 解得：x=13，经检验，当x=13时，（x+2）≠0，2x ﹣1≠0， 故x=13是原方程的解. 21、（12分）【答案】6,-4 【解析】解：分式两边同时乘以最简公分母（x+1）（x-1）得：2（x-1）+3（x+1）=k ， 化简得：5x+1=k ， ∵原方程无解，∴最简公分母（x+1）（x-1）=0， 解得：x=-1或x=1， 当x=-1时，k=-4； 当x=1，时，k=6． ∴当k=-4或6时，方程无解．故答案为：-4或6．22、（12分）【答案】原分式方程无解 【解析】方程两边同时乘以（x+2）（x ﹣2）， 得x （x+2）﹣（x+2）（x ﹣2）=8． 化简，得2x+4=8． 解得：x=2．检验：x=2时，（x+2）（x ﹣2）=0，即x=2不是原分式方程的解， 则原分式方程无解． 23、（12分）【答案】35- 【解析】方程两边同乘以(3)(1)x x +-，得(1)(3)(1)2(3)x x x x x -=+-++．解这个整式方程，得35x =-检验：当35x =-时，(3)(1)0x x +-≠35x ∴=-是原方程的解．。