数列的规律
三年级 数列规律 (附带完整答案)
第九讲 数列规律在 今天这节课中，我们将来研究数列问题．教师通过示例引导学生正确认识数列，并且帮助学生掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力. 知识点 1、掌握一些常见的数列的规律.2、掌握一些特殊数列的规律，并能熟练应用规律解决问题.3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.分析：小王接着无法报了，因为观察小王和小李报出的所有数：172，84，40，118，7，可以发现，报数的规律是按前一数的一半减2后往下报的，但是7再往下报的话就不是整数了，所以小王接着无法再往下报了.日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： （1）自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n 个数就称为第n 项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．教学目标专题精讲想挑 战 吗？小王和小李玩数字游戏，小王说：“我先报数，你得按规律往下报，不许瞎报.”于是小王先报：“172.”小李说：“没看到规律，我报不出，你再报两个.”小王又报：“84，40.”小李说：“行了，我报18，7.” 你知道小王下一个该报几吗？（一）找数列中的规律【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)100，95，90，85，80，（），70(2)1，3，6，10，（），21，28，36，（）(3)1，3，9，27，（），243(4)1，8，27，64，125，（），343(5)2，1，3，4，7，（），18，29，47(6)1，2，6，24，120，（），5040分析：（1）100，95，90，85，80，（），70通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少5，也就是说每相邻两项所得的差都等于5.因此，括号中应填的数是75，即：80-5=75．像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．（2）1，3，6，10，（），21，28，36，（）(方法1)先计算相邻两数的差，有：3-1=2, 6-3=3,10-6=4,……,28-21=7,36-28=8,……由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6……，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45(方法2)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确．(方法3)通过观察，这一列数还有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=1＋2第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：（）第6项：21=1+2+3+4+5+6……可以得到这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．（3）1，3，9，27，（），243此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．像（3）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3， 64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7 我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数，所以，括号里应填6×6×6的积216．（5）2，1，3，4，7，（），18，29，47这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11．（6）1，2，6，24，120，（），5040（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=120×6．（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1第2项2=1×2第3项6=1×2×3第4项24=1×2×3×4……所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720【例2】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)3，4，8，8，13，（），18，32，（），64(2)18，3，15，3，12，3，（），（）(3)1，1，1，3，5，9，17，（），（）(4)1，2，6，16，44，（），328分析：（1）3，4，8，8，13，（），18，32，（），64通过观察发现，前面的方法都不适用于这个数列，但是如果隔着看这个数列中的一些数是非常有规律的，如：3，8，13，18，而他们恰好是第一项、第三项、第五项、第七项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下：奇数项：3，8，13，18，（）偶数项：4，8，（），32，64可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，第9项应为23（18+5＝23），第6项为16（8×2＝16）．如果隔着看，如果第一个数18减3就得到第二个数15，15减3就得到第五个数12，而第二、第四……个数始终是3，根据这一规律，括号中应填9和3像（1）（2）这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列．（3）1，1，1，3，5，9，17，（），（）可以发现， 3=1+1+1，5=1+1+3，9=1+3+5，从第四个数起，每一个数都等于前三个数的和，可知需填补的数字为： 5+9+17=31 ， 9+17+31=57本题考虑的是相邻四个数地直接关系，这一类题都是考虑后面一个数字与前面几个数字地共同关系，由于前面几个数字可以进行的运算方式有很多，所以这种题型的变化方式也很多．（4）1，2，6，16，44，（），328观察发现，6=2×（2+1），16=2×（2+6），44=2×（16+6），328＝2×（120+44），所以，应填120=2×（44+16）．【例3】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……(2)（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）(3)1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）分析：（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……这排加法算式，前面一个数构成数列：4，5，6，7，……；后一个数构成数列：2，8，14，20，……．对于数列4，5，6，7，……，由观察得知，第2项等于第1项加上1，第3项等于第1项加上2，第4项等于第1项加上3，……，所以第5项等于第1项加上4，即4＋4＝8．同理，数列：2，8，14，20，……，第2项等于第1项加上1×6，第3项等于第1项加上2×6，第4项等于第1项加上3×6，……，所以第5项等于第1项加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括号里应填8+26．（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）观察这个数列中每一组中对应位置上的数字，可以得到如下规律：每组第一个是1、2、3、4、......这是一个自然数列，第二个是2、4、8、16......，这是一个等比数列第三个100、90、80、70......，这是一个递减的等差数列；所以，第5组中的数应该是：5，16×2，70-10，即第五组的括号中应填（5，32，60）．（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）这是一排乘法算式，观察可以发现，前面一个数的规律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一个数的规律是：3，2，1，3，2，1，3，……，对于前一个数列，是由1、2两个数字循环组成的，所以第八项应为2；对于第二个数列，是由3、2、1循环组成的，所以第八项的第二个数字应为2．所以，括号里应填2×2．【例4】建筑工人将一堆木头堆成如下图的形状，你知道如果按这样的方法堆木头，一共堆15层的话，第15层有多少根？分析：通过观察这堆木头可以发现，最上面的一层有1根木头，第二层有2根，第三层有3根，第四层有4根，……我们可以将这道题转化一下,有一组数：1，2，3，4，5，6，……问第十五层有多少根，也就是求这组数中第十五个数是什么，通过我们刚刚学过的我们知道，这是一个等差数列，第十五项为15，也就是第十五层有15根木头．[拓展]阿尔法喜欢收集小木棒，并将它们按右图的形状摆放在书桌上，最底下一层阿尔法摆放了27根小木棍，接着摆放了26根，以此类推，到最后阿尔法发现最上面一层只放了3根小木棒后就没有了，你知道阿尔法一共收集了多少根小木棒吗？分析：通过读题我们知道，阿尔法的这堆小木棒摆放有一定的规律：第一层：3，第二层：4，第三层：5，第四层：6，……，最后一层：27，通过观察可以得出，这一列数构成等差数列，问阿尔法一共有多少小木棒，也就是将每层小木棒的数目加起来的和，即：3+4+5+6+7+8+9+10+11+…+25+26+27＝（27+3）+（26+4）+……+（16+14）+15＝30×12+15＝375，所以，阿尔法一共收集了375根小木棒．【例5】有一列数：1，1989，1988，1，1987，…．从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是多少？分析：为了找到规律，我们把这列数再往下写出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…，这样我们就可以很容易的看出规律了，即每三个一组，第一个为1，后两个是从1989依次减1排下去；1989/3=663，共有663组，去掉每一组中的1，剩下663×2=1326个，从1989顺序递减，到最后一个应该是1989-1326+1=664．所以，第1989个数是664．（二）特殊数列中的规律：【例6】仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字．（1）62493758412816（2）282113589914分析：（1）观察数表中的数，发现每一列中：37-16=21，49-28=21，62-41=21，即第二行的数字比第一行对应位的数字都大21 ，所以空缺处应填79（58+21=79）．（2）观察后两行发现，5+9=14，8+13=21，即第一列的数字是同行中后两列的数之和，所以空缺处应填19（28-9=19）．【例7】 下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：（1）3637830375956？（2）2020101816825( )( )分析：（1）通过观察前两个图形中的数，可以发现：30=（5+7+3）×2，36=（8+3+7）×2，所以空缺的数字应为：（5+6+9）×2=40．（2）观察前两个圆圈，可以发现如下关系：20-10＝10，10×2＝20；18-10＝8，8×2＝16． 所以第三个圆圈中最下面的括号中应填15（25-10＝15），右边的括号应填30（15×2＝30）．[拓展]图中各个数之间存在着某种关系．请按照这一关系求出数a 和b ．分析：图中5个圆、10个数字，其中5个数字是只属于某一个圆本身的，5个数字是每两个圆相重叠的公共区域的，观察发现：10+20＝15×2，20+40＝30×2，也就是说两圆重叠部分的公共区域的数字2倍，正好等于两圆独有数字之和，所以，a=2×17-10=24，b=（16+40）÷2=28．最后验算一下：20×2-16=24，符合．[趣味数学]先仔细看看右图的方阵，你会发现方阵中每一个方格有4个数字，可是中间的方格少了一个数字，你能找出规律，并在“？”处填上适当的数吗？分析：方格中上2个数是1个三位数，下2个数是1个两位数，以右上方的方格为例，上面是357，下面是51，两数相除的商为7，各格上下两数相除的商都是7，这就是我们要找的规律，根据这一规律，“？”处应填4.【例8】 先观察下面各算式，再按规律填数．（1） 1×9+2=11 （2） 21×9=18912×9+3=111 321×9=2889 123×9+4=1111 4321×9=38889 12345×9+6=_________ 54321×9=（ ） 1234567×9+____=___________ 654321×9=（ ）44 16 319 62 830 8 4 ？35 75 111 21 6分析：（1）在这一组算式中，得数都是由若干个“1”组成的．1的个数恰好是后面的加数．如1×9+2，后面的加数是2，结果中也就有2个1．根据这一规律，12345×9+6的结果是由6个1组成，即111111．最后一个算式应当是1234567×9+8=11111111．（2）通过观察可以看出这是一组排列有序的数字“梯田”，一层一层有规律的向下延伸．乘号前面是21、321、4321，乘号后面都是9，相乘的答案的最高位分别是1、2、3，而位数分别是三位数、四位数、五位数．由此可得：54321×9的最高位是4，位数是5+1＝6，个位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，个位是9，其余各位都是8，位数是6+1＝7．所以，54321×9=488889， 654321×9=5888889．（三） 数阵中数列的规律【例9】 用数字摆成右面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：(1) 这个三角阵的排列有何规律？(2) 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行． (3) 推断第10行的各数之和是多少？ 分析：（1）首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3．（2）根据由（1）得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1．（3）要求第10行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数． 第一行 1＝1第二行 1+1＝21第三行 1+2+1＝22第四行 1+3+3+1＝23第五行 1+4+6+4+1＝24第六行 1+5+10+10+5+1＝25其中，n2表示ｎ个2相乘，即n 2222⨯⨯⨯个 ，ｎ为自然数通过观察可以看出，每一行中n2中的ｎ都等于行数减去1，至此，我们可以推断，第10行各数之和为29=512.[小知识]本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用.杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和. 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页. 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图.[巩固]右图是按一定的规律排列的数学三角形，请问第10行第三个数是多少？分析：仔细观察左起第一个数的变化规律：第一行第一个数：1，第二行第一个数：1+1，第三行第一个数：1+1+2，第四行第一个数：1+1+2+3，……，所以第十行左起第一个数是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝46，这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），所以，第10行第三个数是48．【例10】自然数如右表的规律排列(1)求上起第10行，左起第7个数．(2)87在上起第几行，左起第几列？分析：（1）注意观察这个数表第一列数的排列规律，这些数是：1，4，9，16，25，…，这些数有一个共同特点，它们是每一行序数自己与自己相乘的积，所以，第10行左起第一个数是：10×10＝100，而且从第三行开始，每一行的前几个数字都依次递减，所以第10行左起第7个数是：100-6＝94.（2）注意数阵中几个数的变化规律是按从上到下拐弯向左的方向依次增加1，因为87＝9×9+6，，所以，87在第6行左起第1个数后面9个，也就是第6行左起第10个．[拓展一]按图所示的顺序数数，问当数到1500时，应数到第几列？分析：（方法1）把数表中的每两行分为一组，则第一组有9个数，其余各组都只有8个数.有：（1500-9）÷8＝186……3，所以，1500位于第188组的第3个数，即1500位于第④列．（方法2）考虑除以8所得的余数.第①列除以8余1，第②列除以8余2或是8的倍数，第③列除以8余3或7，第④列除以8余4或6，第⑤列除以8余5；而1500÷8=187……4，则1500位于第④列.当数到2007时，它在哪一列呢？（方法1）（2007—9）÷8＝249……6，2007位于第251组的第6个数，2007位于第③列.（方法2）2007÷8=250……7，则2007位于第③列，[拓展二]毕达哥拉斯是个大数学家，有一次他正要出门拜访朋友，发现一个仆人不干活，躲在门外玩，于是，毕达哥拉斯命令这个仆人：“你看对面神庙共有七根柱子，现在你从左到右开始数，然后返回来接着数，我回来的时候你要告诉我第5000根柱子是哪一根！”这个仆人很聪明，他用不到一分钟的时间就得到了答案，你能做到吗？分析：转化为数学模型如下：A B C D E F G12345671312111098141516171819 (20)考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，除去1，每组12个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、F、G、F、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察5000是第几组中的第几个数就可以了，因为5000是除去1后的第4999个数，4999÷13＝384…7，即5000是第385组中的第7个数，所以，第5000根柱子位于F位置，是从左到右的第6根．[小结]学找数阵中的规律，应当像寻找数列中的规律一样，应注意几点1.仔细观察数阵中的所有数．2.注意观察相邻两个数之间的变化规律和同上一行地数的共同点．3.有些数阵不容易一下子找到或找对规律，要仔细观察，再做思考．4.找到规律后，多次举例进行验证．专题展望在本讲学习中，我们学习了数列的规律以及数阵中数列的规律问题，在以后的学习中我们将继续学习此类问题．练习三1.（例1）根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数：(1)3，6，9，12，( )，18，21(2)2，3，5，8，13，（），34，……(3)60，63，68，75，( )，95(4)6，1，8，3，10，5，12，7，( )，( )(5)0，1，1，2，3，5，8，( )，21(6)2，6，12，20，（），42，……分析：（1）数列中后一项比前一项大3，为等差数列，括号中填15（2）从第三项开始每一项都等于前面两项的和，8+13=21（3）数列中相邻两项的差依次增加2，所以括号里应填84（75+9＝84）（4）观察可以发现这个数列是双重数列，奇数项为：6、8、10、12、…偶数项为：1、3、5、7…都是等差数列，所以括号中应分别填14（12+2＝14）和9（7+2＝9）（5）从第三项开始，每一项都等于前面两项的和，所以括号里应填13（5+8＝13）（6）观察数列可以得到：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，42=6×7，所以括号中的数为：5×6=302. （例2）下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项： (1) 1，5，11，19，29，________，55； (2) 1，2，6，16，44，________，328．分析：（1）观察发现，后项减前项的差为：4、6、8、10、......所以，应填41（=29+12），41+14=55符合．（2）观察发现，6=2×（2+1），16=2×（2+6），44=2×（16+6），所以，应填120=2×（44+16），2×（120+44）=328符合．3. （例5）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？分析：观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数，每组的第一个数都是这个组的组数；因为101÷3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．4. （例7）下图所示的图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：？6432874215532分析：通过观察前两个图形中的数，可以发现：15=（3×5×2）÷2，28=（2×4×7）÷2，也就是中间的数等于三个角上的数乘积的一半，所以，“？”中应填的数为：（3×4×6）÷2=36．5. （例10）下图所示的图表中的数字都有自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上：分析：观察表格中的数，第一行的数字已经全部给出，而剩下的几行都是求最后一个数字，就要考虑每一行中最后一个数字与前面数字的关系，由第一行数字规律可知，15=1+2+3+4+5 ，由此可得第二、三、四、五行最后一个数；同样方法观察竖行．所以横行依次为60，65，70，75，325，竖行依次为40， 65， 90， 115， 325成长故事狼怕圆圈小狐狸和小狼王分兔子时，由于小狐狸耍小聪明占了便宜，因此小狼王一直跟在后面追小狐狸.小狐狸飞快地往东跑，由于天黑看不清楚，只听得“咚”的一声，和一个从对面跑来的动物撞到了一起.“噔噔噔”，小狐狸一连倒退了3步，一屁股坐在了地上.小狐狸刚要发火，定睛一看，啊，是小狼王!小狐狸发现小狼王双眼通红，还发出逼人的凶光，不禁全身哆嗦了一下.它立刻用手一抹脸，现出了满脸的笑容，往前走了一小步问：“狼大哥，吃了几只兔子呀?这里的兔子肉还香吧?”小狼王大吼了一声说：“东边明明没有兔子，你却骗我说有65只兔子!看我不打死你!”小狐狸向后退了一步，双手乱摆说：“没有的事!我算得一点错也没有!”“叫你嘴硬!”小狼王说完就扑了上去，小狐狸扭头就跑.它突然看到路边有9个圆圈.小狼王看见圆圈也立刻停住了脚，它吃惊地说：“啊，9个绳套!”小狼王低头仔细一看，怎么回事，其中7个绳套里还有数字?这时耳边响起了一种浑厚有力的声音：“谁能把空圆圈中的数字填对，你想要干什么就会有什么!”小狼王说：“我来填左边的圈.1、3、7下一个该是几呢?是9.这些都是单数呀!”小狼王在圈里填上一个9，跳进圈里高兴地叫道：“我想吃兔子!”话音刚落，圆圈立刻变成了绳套，一下子套住了小狼王的脚，绳套往上一提，就把小狼王倒挂在树上了.小狐狸笑嘻嘻地说：“傻狼!这几个数的规律是：3=1×2+1，7=3×2+1，15=7×2+1，31=15 ×2+1，63=31×2+1，127=63×2+1.右边这个圈里填上127才没错!”小狐狸填上了127，又跳进圈里说：“我想吃山鸡!”“唿”的一声，一条绳子把小狐狸也倒挂在树上.原来这9个绳套是猴子、小熊、老山羊用来教训它们两个坏蛋的.https:///?userid=1787958560 1。
二年级基础数列规律
二年级基础数列规律小朋友们，在我们的数学世界里，数列可是一个非常有趣的东西哦！今天咱们就一起来探索一下二年级基础数列的规律。
什么是数列呢？简单来说，就是按照一定顺序排列的一组数。
比如说 1、2、3、4、5 ，这就是一个数列。
那数列的规律又是什么呢？其实就是这组数排列的方式和特点。
咱们先来看一种最常见的规律——等差数列。
就像 2、4、6、8、10 这样的数列，每一个数都比前一个数大 2 ，这种相邻两个数的差值都相同的数列就叫等差数列。
在二年级的学习中，我们遇到的等差数列差值一般都比较小，像 1 、2 、3 这样。
再比如 5、8、11、14 、17 ，这个数列相邻两个数的差值是 3 。
那怎么才能快速找出等差数列的规律呢？我们可以用后一个数减去前一个数，看看得到的差是不是都一样。
除了等差数列，还有等比数列呢。
不过对于二年级的小朋友来说，等比数列可能有点难理解。
咱们就先简单说一说，比如 2 、4 、8 、16 、32 ，每个数都是前一个数乘以 2 得到的。
还有一种规律是重复出现的数列。
比如说 1 、2 、1 、2 、1 、2 ，就是 1 和 2 不断地重复。
这种数列只要我们认真观察，记住重复的顺序，就能很快找到规律啦。
再来看一个有趣的数列 1 、3 、2 、4 、3 、5 。
这个数列的规律可有点特别哦，是相邻两个数交替增加 2 和减少 1 。
那知道了数列的规律有什么用呢？用处可大啦！比如说老师出了一道题，让我们接着写出后面的几个数，如果我们能找出数列的规律，就能轻松地写出答案啦。
而且，通过找数列规律，还能锻炼我们的观察能力和思维能力，让我们变得更聪明呢！下面咱们来做几道小练习。
比如数列 3 、6 、9 、12 ，后面两个数应该是什么呢？对啦，因为相邻两个数的差值是 3 ，所以后面两个数应该是 15 、18 。
再看这个数列 7 、14 、21 、28 ，它的规律是什么呢？聪明的小朋友一定能发现，相邻两个数的差值是 7 ，那后面两个数就是 35 、42 。
初中数学 数列的找规律
初中数学数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n 位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3, 4, 5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8.. .答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?例2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×1 5^2-3^2=8×2 7^2-5^2=8×3 ……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差下面是常用的一些求和公式：。
数列的规律
数列的规律数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
它们在数学和现实生活中的应用非常广泛。
下面我们将探讨一些常见的数列规律及其应用。
等差数列是最基本也是最常见的数列之一。
在等差数列中，每个数字与它前面的数字之差都是相等的。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的应用非常广泛，例如在数学中用于求和、平均数等计算，也可以用来解决实际问题，例如计算物体的运动速度等。
等比数列是另一种常见的数列。
在等比数列中，每个数字与它前面的数字之比都是相等的。
例如，2，4，8，16，32就是一个等比数列，公比为2。
等比数列在数学中有许多重要的应用，例如在几何学中用于计算比例、百分比等。
斐波那契数列是一种非常特殊的数列。
在斐波那契数列中，每个数字都是前两个数字之和。
例如，1，1，2，3，5，8，13就是一个斐波那契数列。
斐波那契数列在自然界和生活中有很多应用，例如在植物的叶子排列、兔子繁殖等方面。
素数数列是由素数（只能被1和自身整除的数）组成的数列。
素数数列在数学中有重要的应用，例如在密码学中的素数因子分解等方面。
等差数列、等比数列、斐波那契数列和素数数列只是数列中的一小部分。
数列的规律非常多样化，每个数列都有其独特的规律和应用。
数列不仅在数学中有重要的作用，也广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
数列的规律研究不仅有助于我们理解数学的本质，还可以帮助我们解决实际问题和提升解决问题的能力。
通过观察和分析数列的规律，我们可以发现其中的模式和规律，并将其应用于解决其他类似的问题。
总结起来，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
等差数列、等比数列、斐波那契数列和素数数列是数列中常见的几种规律。
数列的规律研究有助于我们理解数学的本质，提升解决问题的能力，并在各个领域中应用。
数列规律的研究是数学的重要分支，也是解决实际问题的有力工具。
数列的全部公式
数列是一组有规律的数，常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
每种数列都有其独特的特征，下面列举一些常见的数列公式：
1.等差数列: 公差为常数的数列，通项公式为an = a1 + (n-1)d, 其中a1是首项，d是
公差。
2.等比数列: 公比为常数的数列，通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q
是公比。
3.斐波那契数列: 通项公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=2, F(0) = 0, F(1) = 1)
4.组合数列: 数学中的组合数构成的数列，通项公式为C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
5.三角数列: 前n个自然数的和构成的数列,通项公式为Tn = n(n+1)/2
6.平方数列: 首项加上前n项的平方,通项公式为Sn = n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + … +
1^2
7.等比幂数列: 首项与公比都是幂次的等比数列,通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
数列与数表的规律总结知识点总结
数列与数表的规律总结知识点总结数列和数表是数学中常见的概念，在数学的学习中经常会涉及到它们的应用。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，可以是有限的也可以是无限的；而数表是由数列组成的表格形式。
在这篇文章中，我们将总结数列与数表的规律以及相关的知识点。
一、等差数列与等差数表等差数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的差值都是相等的。
等差数表是由等差数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ + (n - 1) × d2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)3. 等差数表的规律等差数表的每一行都是一个等差数列，而每一列的数之间也存在等差关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等差数列的通项公式和前n项和公式。
二、等比数列与等比数表等比数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的比值都是相等的。
等比数表则是由等比数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ × q^(n - 1)2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ × (q^n - 1) / (q - 1)，(q ≠ 1)3. 等比数表的规律等比数表的每一行都是一个等比数列，而每一列的数之间也存在等比关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等比数列的通项公式和前n项和公式。
三、特殊数列与数表除了等差数列和等比数列，数列和数表还存在一些特殊的形式。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂，(n ≥ 3)2. 杨辉三角杨辉三角是一种特殊的数表，其中的每个数都是由上面的两个数相加而来。
数列规律
解析：每一项都是一个加法算式，前一个加 数构成数列 4，5，6，7……，是等差数列， 后一个加数构成数列 2，8，14，20……也 是一个等差数列。很容易填出括号里应该是 8+26。
解析：数表找规律，要注意位置关系。可以 横着看，也可以竖着看，还可以斜着看、分 组看。本题中，第一张表竖着看有规律，即 每一列的第二个数都比第一个数大 21，所以 填 79。 第二张表横着看有规律，每一行的第一个数 等于后两个数之和，所以填 19。
3、等比数列 观察要点 ①数列同向变化，但变化速度很 快； ②相邻两个数之间的倍数关系相同（即相 邻两数之间的商相等）
例1， 2， 4， 8， 16， 32…… ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 1， 3， 9， 27， 81， 243…… ×3 ×3 ×3 ×3 ×3
4、商是等差数列 观察要点 ①数列同向变化，但变化速度更快； ②相邻两个数之间的商是一个等差数列。
数列规律 一、基本概念 1、数列：按一定顺序排列的数。 2、无穷数列：“穷”即尽头，就是 没有“尽头”的数。 3、有穷数列：就是有“尽头”的数。 4、项：数列中的第一个数就叫“第 一项”，第二个数就叫“第二 项”……
二、常见数列规律 1、等差数列 观察要点 ①数列同向变化； ②相邻两个数之间的差相等。 例： 1， 5， 9， 13， 17…… +4 +4 +4 +4 100， 88， 76， 64， 52，…… -12 -12 -12 -12
2、差是等差数列 观察要点 ①数列同向变化；②相邻两个数之间的 差依次增加或减少同一个数。
例：1， 3， 6， 10， 15， 21， 28…… +2 +3 +4 +5 +6 +7
【数列找规律总结】
小学奥数：数列找规律总结1、顺等差数列，后一个数减去前一个数的差相等（相邻两数差值不变）。
例如：1，3，5，7，9，……；逆等差数列，前一个数减去后一个数的差相等（相邻两数差值不变）。
例如：10，8，6，4，2，……；2、顺等比数列，即后一个数除以前一个数的商相等。
例如：2，4，8，16，32，……；逆等比数列，即前一个数除以后一个数的商相等。
例如：1024，512，256，128，……；3、兔子数列，即单数序号的数字与双数序号的数分别形成规律。
例如8，15，10，13，12，11，(14)，(9)这里8，10，12，14成规律，15，13，12，11，9成规律；2，18，4，16，6，14，8，12，10，……；4、质数数列规律，例如：2，3，5，7，11，(13)，(17) ……这些数学都为质数；注意：一般考试只有以下一种情况，而且容易出现到小升初考试，要特别注意。
5、“平方数列”、“立方数列”等，例如：平方数列：1、4、9、16、25、36、49、……立方数列：1、8、27、64、81、125、216、……拓展：“平方数列”、“立方数列”再加减一个数2、5、10、17、26、37、50、……6、相邻数字差呈现规律。
数字之间差呈现等差数列，（相邻两数差值为等差数列）例如：1、3、7、13、21、31、43、……（差值为2，4，6，8，10，12，……）2，5，10，17，26，37，50，……（差值为3，5，7，9，11，13，……）数字之间差呈现等比数列，（相邻两数差值为等比数列）例如：1、3、7、15、31、63、……（差值为2，4，8，16，32，……）7、多个数字间呈现规律，（本题考查较少）裴波那契数列，即任意连续两个数字之和等于第三个数字，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……任意连续三个数字之和等于第四个数字，例如：1、1、1、3、5、9、17、31、57、105、……8、倍数加减定值或倍数加等差数列2，5，14，41，122，365，……（前数×3－1）3，5，9，17，33，65，129，……（前数×2－1）1，5，13，29，61，125，……（前数×2＋3）2，5，13，36，104，307，……（前数×2－1,2,3,4,5，……）。
奥数精选数列的奇妙规律
奥数精选数列的奇妙规律在数学中，数列是一系列按照特定规律排列的数字。
数列的奇妙规律一直是数学界探索与解决的难题之一。
尤其是在奥数训练中，数列问题常常出现，并需要学生通过逐步观察与总结找出其中的规律。
本文将介绍几个常见的奥数精选数列，让我们一起来探索它们的奇妙规律。
1. 等差数列等差数列是最常见的数列之一，其规律是每相邻两项之间的差值相等。
例如，1、3、5、7、9就是一个等差数列，差值为2。
在奥数中，我们常常需要根据等差数列的前几项来确定其通项公式。
一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与其前一项的比值都相等的数列。
例如，1、2、4、8、16就是一个等比数列，比值为2。
在奥数中，我们经常需要根据等比数列的前几项来确定其通项公式。
一般来说，等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
例如，1、1、2、3、5、8就是一个斐波那契数列。
在奥数中，斐波那契数列通常用来解决一些有趣的问题，如兔子繁殖问题、黄金分割问题等。
4. 平方数列平方数列是指数列中的每一项都是一个平方数的数列。
例如，1、4、9、16、25就是一个平方数列。
在奥数中，平方数列常常用于观察数字之间的规律，解决一些与平方数相关的问题。
5. 阶乘数列阶乘数列是指数列中的每一项都是一个数的阶乘的数列。
例如，1、1、2、6、24就是一个阶乘数列。
在奥数中，阶乘数列通常用于解决一些与排列组合相关的问题，如求解全排列、组合数等。
通过以上几个奥数精选数列的介绍，我们可以看到数列中蕴含着丰富的规律和趣味。
在奥数训练中，学生们需要通过观察、总结与推理，找出数列的奇妙规律，并运用这些规律解决问题。
通过数列问题的训练，学生们可以培养逻辑思维、分析问题的能力，以及创造性解决问题的能力。
理解简单的数列及数列的规律
理解简单的数列及数列的规律数列在数学中是一种常见的数学概念，它是按照一定的规律排列的一组数的集合。
理解简单的数列及数列的规律对于学习数学和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将介绍数列的概念、分类以及数列的规律，并通过一些例子来帮助读者更好地理解。
一、数列的概念和分类数列是按照一定的顺序排列的一组数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项。
数列的项可以用通项公式表示。
数列常用的表示方法有：1. 通项公式：用公式表示数列的通项。
2. 递推公式：用每一项与前一项之间的关系来表示数列。
3. 列表形式：按照一定的顺序将数列的每一项列出来。
根据数列的性质和规律，数列可以分为以下几种：1. 等差数列：数列中每一项与前一项之差为常数。
2. 等比数列：数列中每一项与前一项之比为常数。
3. 斐波那契数列：数列中的每一项（从第三项开始）都等于前两项的和。
4. 平方数列：数列中的每一项都是某个整数的平方。
5. 阶乘数列：数列中的每一项都是某个整数的阶乘。
二、等差数列的规律和应用等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都是常数。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n−1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
等差数列的性质和规律有：1. 公差：等差数列中每个相邻项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零。
2. 数列求和公式：等差数列的前n项和为Sn = n/2(a1 + an)。
3. 应用场景：等差数列的规律常常出现在日常生活和工程实践中，如金字塔的层数、等差数列的求和等问题。
三、等比数列的规律和应用等比数列是数列中相邻项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n−1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
等比数列的性质和规律有：1. 公比：等比数列中每个相邻项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零。
2. 数列求和公式：等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1−r^n))/(1−r)。
规律数列知识点总结归纳
规律数列知识点总结归纳在数学中，规律数列是一种按照特定模式排列的数字序列。
它们在实际问题中的应用非常广泛，因此掌握规律数列的知识点对于解决数学问题以及提高数学思维能力非常重要。
本文将对规律数列的常见性质、求和公式以及解题方法进行总结归纳。
一、等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）1. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列，该差值被称为公差，通常用d表示。
2. 性质：- 第n项公式：a_n = a_1 + (n-1)d- 第n项求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)- 前n项和公式：S_n = (n/2)(2a_1 + (n-1)d)二、等比数列（Geometric Progression，简称GP）1. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列，该比值被称为公比，通常用r表示。
2. 性质：- 第n项公式：a_n = a_1 * r^(n-1)- 第n项求和公式（当|r|<1时）：S_n = a_1 / (1-r)- 前n项和公式（当|r|<1时）：S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)三、斐波那契数列（Fibonacci Sequence）1. 定义：斐波那契数列是一种特殊的数列，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
常用符号表示为F(n)。
2. 性质：- 第n项公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)四、常见问题解题方法1. 求第n项：- 对于等差数列：使用第n项公式an = a1 + (n-1)d即可。
- 对于等比数列：使用第n项公式an = a1 * r^(n-1)即可。
- 对于斐波那契数列：使用递推公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)即可。
2. 求前n项和：- 对于等差数列：使用前n项和公式Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)即可。
- 对于等比数列：使用前n项和公式Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)（当|r|<1时）即可。
数列中的规律
数列中的规律数列是数学中常见的概念，它是一组按照特定顺序排列的数。
数列中的规律是指数列中各项之间存在的一种有序的关系。
在数学中，研究数列的规律与性质有助于我们揭示数学的奥秘，深入理解数学的本质。
一、等差数列的规律等差数列是指数列中各项之间的差值恒定的特殊数列。
在等差数列中，每一项与前一项的差值固定为一个常数，这个常数被称为公差。
以等差数列的一般形式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示数列中的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。
等差数列的规律非常明显，每一项与前一项之间的差值恒定。
例如，数列2, 5, 8, 11, 14就是一个公差为3的等差数列。
二、等比数列的规律等比数列是指数列中各项之间的比值恒定的特殊数列。
在等比数列中，每一项与前一项的比值相等，这个比值被称为公比。
以等比数列的一般形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中 an 表示数列中的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列中的项数，r 表示公比。
等比数列的规律比较抽象，需要通过计算来确定。
例如，数列2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列。
三、斐波那契数列的规律斐波那契数列是一种特殊的数列，其规律是前两项之和等于第三项。
也就是说，斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的一般形式表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(n)表示数列中的第 n 项，F(n-1) 表示数列中的第 n-1 项，F(n-2) 表示数列中的第 n-2 项。
斐波那契数列的规律特别有趣，常常可以在自然界和生活中找到它的身影。
例如，兔子繁殖、植物生长等都可以用斐波那契数列来描述。
四、其他常见数列的规律除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，数学中还存在其他各种各样的数列，它们具有不同的规律和特点。
例如，递归数列是一种通过递归关系来定义的数列，每一项都由前一项或前几项求得；自然数数列是一种最简单的数列，即从1开始，依次递增1。
数列找规律知识点总结
数列找规律知识点总结一、数列的基本概念1. 数列的定义数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每一个数字称为数列的项，数列一般表示为{an}或者an，其中n表示项的位置，an表示数列中第n个项的值。
2. 数列的类型根据数列的性质和规律，可以将数列分为等差数列、等比数列、递推数列等不同类型。
每种类型的数列都有其特定的规律和性质。
3. 数列的通项公式对于某个数列{an}，如果可以找到一个与n有关的表达式f(n)，使得an=f(n)，那么f(n)就是数列的通项公式。
通项公式可以描述数列中每一项的值与项的位置之间的关系，对于研究数列的规律和性质非常重要。
二、数列的规律及其求解方法1. 等差数列的规律等差数列的相邻两项之差是一个常数，这个常数称为等差数列的公差，通常用d表示。
对于一个等差数列{an}，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项的位置。
求解等差数列的规律可以通过观察数列中的项的差值，找出相邻项之间的关系，从而得出公差和通项公式。
另外，等差数列的前n项和也有一个通用的公式Sn=n/2*(a1+an)，可以通过这个公式来求解等差数列前n项的和。
2. 等比数列的规律等比数列的相邻两项之比是一个常数，这个常数称为等比数列的公比，通常用q表示。
对于一个等比数列{an}，其通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项的位置。
求解等比数列的规律可以通过观察数列中的项的比值，找出相邻项之间的关系，从而得出公比和通项公式。
另外，等比数列的前n项和也有一个通用的公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，可以通过这个公式来求解等比数列前n项的和。
3. 递推数列的规律递推数列是一种通过前面的项来确定后面的项的数列。
通常来说，递推数列的项与前面的某几项之间存在特定的关系，通过这个关系可以求解出递推数列的规律。
递推数列的规律通常可以通过找出不同项之间的关系，然后利用这个关系来逐步求解出数列中的每一项。
找出一个数列的规律
找出一个数列的规律
数列是一系列数字按照一定的规律排列的序列。
在数学中，找出一个数列的规律是一个常见的问题。
本文将介绍如何找出一个数列的规律。
观察数列
首先，观察数列中的数字，注意它们之间是否存在某种模式或规律。
可以从数列的前几个数字开始观察，看看它们之间有没有明显的关系。
比较相邻数字
接下来，比较数列中相邻的数字，注意它们之间的差异或者倍数关系。
如果相邻数字之间的差异是一个固定的数字，或者其中一个数字是另一个数字的倍数，那么这可能是数列的规律之一。
研究数列类型
数列可以分为等差数列和等比数列两种常见类型。
等差数列是指数列中相邻数字之间的差为一个固定的数字；等比数列是指数列中相邻数字之间的比为一个固定的数字。
列方程解数列
根据前面的观察和研究，可以尝试列出一个方程式来解数列。
根据数列类型和数列特点，可以使用不同的方程式来表示数列的规律。
可以使用数学工具或计算机程序来辅助解方程。
验证解的准确性
找出一个数列的规律后，需要验证解的准确性。
可以将解应用于数列的其他数字，看看是否符合数列的规律。
如果验证结果符合预期，那么解就是正确的。
总结
通过观察、比较、研究、列方程和验证，我们可以找出一个数列的规律。
这个过程需要一定的直觉和数学知识，但通过不断的练习和尝试，我们可以提高解题的能力。
希望本文对你有所帮助！。
小学数列规律汇总
小学数列规律汇总
小学数列规律汇总
小学数列规律汇总，是一种专业性强的知识，数列规律从例子出发，探索并发现一定规律，让学生能够更有条理地掌握知识，发现问题所在。
首先是等差数列，其特点是每一项与前一项的差值相等，其计算公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。
其次是等比数列，其特点是每一项与前一项的比值相等，其计算公式为
a_n=a_1*q^(n-1)，其中q为公比，a_1为首项，n为项数。
此外，还有拉格朗日数列，其特点是其后一项与前一项两项的任意比值相等，其计算公式可以表示为a_n=a_1/(1-q)，其中q为公比，a_1为首项，n为项数。
此外还有巴什博弈论的数列，其特点是每一项的和等于前一项的两倍，其计算公式可以表示为a_n=2*a_(n-1)+f，其中f为公差，a_1为首项，n为项数。
总的来说，一个完整的小学数列规律的汇总，不仅包括以上的几种数列，还有如空间数列，格雷码数列和组合数列等各种数列规律，只要通过生动的例子和仔细的探索，学生不仅能学习相关知识，还能增加数学计算的能力，让学生能够比较轻松地掌握相关数列规律。
数列的递推关系学习数列的递推规律和计算方法
数列的递推关系学习数列的递推规律和计算方法数列的递推关系：学习数列的递推规律和计算方法数列是数学中常见的一种数值序列，它是按照一定规律排列起来的一系列数。
数列可以用来描述各种问题和现象，而数列的递推关系是研究数列规律的重要方法之一。
本文将介绍数列的递推关系的概念、性质以及计算方法。
一、数列的递推关系的概念和性质数列的递推关系是指数列中第n项与前面的项之间的关系。
常见的递推关系包括等差数列和等比数列。
1. 等差数列的递推关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的一种数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的递推关系可以表示为：aₙ = aₙ₋₁ + d2. 等比数列的递推关系等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的一种数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列的递推关系可以表示为：aₙ = aₙ₋₁ * r以上两种递推关系是数列的基本形式，其他更复杂的递推关系可以通过这两种基本形式进行推导得到。
数列递推关系具有以下性质：- 递推关系是数列中相邻两项之间的关系，通过已知的前一项或前几项可推出后一项的值；- 递推关系可以用来描述数列的规律和特点，从而方便计算和推导数列的其他属性；- 递推关系可以理解为数列中每一项都与前面的项直接相关，通过递推关系可以将整个数列联系起来。
二、数列递推关系的计算方法1. 已知递推关系求数列的特定项当已知数列的递推关系和首项时，可以通过递推关系计算出数列的任意项。
以等差数列为例，假设已知等差数列的首项为a₁，公差为d，要求第n项的值aₙ。
根据等差数列的递推关系可得：aₙ = aₙ₋₁ + d代入首项可得：aₙ = a₁ + (n-1)d以等比数列为例，假设已知等比数列的首项为a₁，公比为r，要求第n项的值aₙ。
根据等比数列的递推关系可得：aₙ = aₙ₋₁ * r代入首项可得：aₙ = a₁ * r^(n-1)2. 已知递推关系求数列的前n项和当已知数列的递推关系和首项时，可以通过递推关系计算数列的前n项和。
数列的找规律
数列的找规律集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]数列的找规律：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b.例：4、10、16、22、28……,求第n位数.分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法.基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数.举例说明：2、5、10、17……,求第n位数.分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以,第n位数是：2+n2-1=n2+1此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了.（三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧.二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘.例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是.解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0,3,8,15,24,…….序列号：1,2,3,4,5,…….容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1.（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关.例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18答案与3有关且.即：n3+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8...答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来.例：2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……,序列号：1、2、3、4、5分析观察可得,新数列的第n项为：n2-1,所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来.例：4,16,36,64,?,144,196,…?（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…,很显然是位置数的平方.（六）同技巧（四）、（五）一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）.当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见.（七）观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律.三、基本步骤1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法（一）解题.2、如不相等,综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0,3,8,15,24,······2,5,10,17,26,·····0,6,16,30,48······（1）第一组有什么规律?（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系?（3）取每组的第7个数,求这三个数的和?2、观察下面两行数2,4,8,16,32,64,．．．（1）5,7,11,19,35,67．．．（2）根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和.（要求写出最后的计算结果和详细解题过程.）3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?4、3^2-1^2=8×15^2-3^2=8×27^2-5^2=8×3……用含有N的代数式表示规律写出两个连续技术的平方差为888的等式五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。
数列的认识与规律
数列的认识与规律数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字或者其他对象组成的序列。
在数学中，研究数列的认识与规律是一项重要的课题。
本文将介绍数列的基本概念、常见类型以及数列的规律。
一、数列的基本概念数列是指一串按照特定规律排列的数字或其他对象的序列。
数列中的每个元素被称为项，用字母表示，常见的有a₁, a₂, a₃等。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
对于无限数列来说，由于无法逐个列举出所有项，我们通常使用通项公式或者递推公式来表示。
二、常见数列类型1. 等差数列在等差数列中，任意两个相邻项之间的差值都相等。
更形式化地说，设数列为a₁, a₂, a₃, ...，则有aₙ - aₙ₋₁ = d，其中d为公差。
等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
2. 等比数列在等比数列中，任意两个相邻项之间的比值都相等。
设数列为a₁,a₂, a₃, ...，则有aₙ / aₙ₋₁ = q，其中q为公比。
等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两个项为1，后续的每一项都是前两项之和。
即a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂。
斐波那契数列在自然界中有很多应用，如植物的分枝、兔子的繁殖等。
三、数列的规律与性质数列的规律是指数列中各项之间的关系以及数列本身的特点。
以下是一些常见的数列规律与性质：1. 数列的递增与递减当数列中的每一项都比前一项大时，称为递增数列；当数列中的每一项都比前一项小时，称为递减数列。
2. 数列的周期性某些数列具有循环出现的规律，在一定的项数后，数列中的项将会重复。
这种数列称为周期数列，可以通过观察数列的前几项进行判断。
3. 数列的求和对于一些特定类型的数列，我们可以求出其前n项的和。
这种求和的过程称为数列求和，可以通过数列的规律和相关公式来实现。
四、数列的应用数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
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考霸心经！原来数列题也有套路可循！第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。
注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉）第二步思路A：分析趋势1，增幅（包括减幅）一般做加减。
基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。
例1：-8，15，39，65，94，128，170，（）A．180 B.210 C. 225 D 256解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。
总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心2，增幅较大做乘除例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（）A．32 B. 64 C.128 D.256解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256总结：做商也不会超过三级3，增幅很大考虑幂次数列例3：2，5，28，257，（）A．2006 B。
1342 C。
3503 D。
3126解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。
而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D总结：对幂次数要熟悉第二步思路B：寻找视觉冲击点注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引视觉冲击点1：长数列，项数在6项以上。
基本解题思路是分组或隔项。
例4：1，2，7，13，49，24，343，（）A．35 B。
69 C。
114 D。
238解：观察前6项相对较小，第七项突然变大，不成线性规律，考虑思路B。
长数列考虑分组或隔项，尝试隔项得两个数列1，7，49，343；2，13，24，（）。
明显各成规律，第一个支数列是等比数列，第二个支数列是公差为11的等差数列，很快得出答案A。
总结：将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。
视觉冲击点2：摇摆数列，数值忽大忽小，呈摇摆状。
基本解题思路是隔项。
20 5例5：64，24，44，34，39，（）10A．20 B。
32 C 36.5 D。
19解：观察数值忽小忽大，马上隔项观察，做差如上，发现差成为一个等比数列，下一项差应为5/2=2.5，易得出答案为36.5总结：隔项取数不一定各成规律，也有可能如此题一样综合形成规律。
视觉冲击点3：双括号。
一定是隔项成规律！例6：1，3，3，5，7，9，13，15，（），（）A．19，21 B。
19，23 C。
21，23 D。
27，30解：看见双括号直接隔项找规律，有1，3，7，13，（）；3，5，9，15，（），很明显都是公差为2的二级等差数列，易得答案21，23，选C例7：0，9，5，29，8，67，17，（），（）A．125，3 B。
129，24 C。
84，24 D。
172，83解：注意到是摇摆数列且有双括号，义无反顾地隔项找规律！有0，5，8，17，（）；9，29，67，（）。
支数列二数值较大，规律较易显现，注意到增幅较大，考虑乘除或幂次数列，脑中闪过8，27，64，发现支数列二是2^3+1，3^3+2，4^3+3的变式，下一项应是5^3+4=129。
直接选B。
回头再看会发现支数列一可以还原成1-1，4+1,9-1,16+1,25-1.总结：双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可，为节省时间，另一支数列可以忽略不计视觉冲击点4：分式。
类型（1）：整数和分数混搭，提示做乘除。
例8：1200，200，40，（），10/3A．10 B。
20 C。
30 D。
5解：整数和分数混搭，马上联想做商，很易得出答案为10类型（2）：全分数。
解题思路为：能约分的先约分；能划一的先划一；突破口在于不宜变化的分数，称作基准数；分子或分母跟项数必有关系。
例9：3/15，1/3，3/7，1/2，（）A．5/8 B。
4/9 C。
15/27 D。
-3解：能约分的先约分3/15=1/5；分母的公倍数比较大，不适合划一；突破口为3/7，因为分母较大，不宜再做乘积，因此以其作为基准数，其他分数围绕它变化；再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数，1/5的分子也正好它的项数，于是很快发现分数列可以转化为1/5，2/6，3/7，4/8，下一项是5/9，即15/27例10：-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9A．7/3 B 10/9 C -5/18 D -2解：没有可约分的；但是分母可以划一，取出分子数列有-4，10，12，7，1，后项减前项得14，2，-5，-6，（-3.5），（-0.5）与分子数列比较可知下一项应是7/（-2）=-3.5，所以分子数列下一项是1+（-3.5）= -2.5。
因此（-2.5）/9= -5/18视觉冲击点5：正负交叠。
基本思路是做商。
例11:8/9, -2/3, 1/2, -3/8,（）A 9/32B 5/72C 8/32D 9/23解：正负交叠，立马做商，发现是一个等比数列，易得出A视觉冲击点6：根式。
类型（1）数列中出现根数和整数混搭，基本思路是将整数化为根数，将根号外数字移进根号内例12：0 3 1 6 √2 12 ( ) ( ) 2 48A. √3 24 B．√3 36 C．2 24 D．2 36解：双括号先隔项有0，1，√2，（），2；3，6，12，（），48.支数列一即是根数和整数混搭类型，以√2为基准数，其他数围绕它变形，将整数划一为根数有√0 √1 √2 （）√4，易知应填入√3；支数列二是明显的公比为2的等比数列，因此答案为A类型（2）根数的加减式，基本思路是运用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例13：√2-1，1/(√3+1),1/3,()A(√5-1)/4 B 2 C 1/(√5-1) D √3解：形式划一：√2-1=（√2-1）（√2+1）/(√2+1)=(2-1)/ (√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式，要考就这么考。
同时，1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此，易知下一项是1/(√5+1)=( √5-1)/[( √5)^2-1]= (√5-1)/4.视觉冲击点7：首一项或首两项较小且接近，第二项或第三项突然数值变大。
基本思路是分组递推，用首一项或首两项进行五则运算（包括乘方）得到下一个数。
例14：2，3，13，175，（）A．30625 B。
30651 C。
30759 D。
30952解：观察，2，3很接近，13突然变大，考虑用2，3计算得出13有2*5+3=3，也有3^2+2*2=13等等，为使3，13，175也成规律，显然为13^2+3*2=175,所以下一项是175^2+13*2=30651总结：有时递推运算规则很难找，但不要动摇，一般这类题目的规律就是如此。
视觉冲击点8：纯小数数列，即数列各项都是小数。
基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑，或者各成单独的数列或者共同成规律。
例15：1.01，1.02，2.03，3.05，5.08，（）A．8.13 B。
8.013 C。
7.12 D 7.012解：将整数部分抽取出来有1，1，2，3，5，（），是一个明显的和递推数列，下一项是8，排除C、D；将小数部分抽取出来有1，2，3，5，8，（）又是一个和递推数列，下一项是13，所以选A。
总结：该题属于整数、小数部分各成独立规律例16：0.1，1.2，3.5，8.13，( )A 21.34B 21.17C 11.34D 11.17解：仍然是将整数部分与小数部分拆分开来考虑，但在观察数列整体特征的时候，发现数字非常像一个典型的和递推数列，于是考虑将整数和小树部分综合起来考虑，发现有新数列0，1，1，2，3，5，8，13，（），（），显然下两个数是8+13=21，13+21=34，选A总结：该题属于整数和小数部分共同成规律视觉冲击点9：很像连续自然数列而又不连贯的数列，考虑质数或合数列。
例17：1，5，11，19，28，（），50A．29 B。
38 C。
47 D。
49解：观察数值逐渐增大呈线性，且增幅一般，考虑作差得4，6，8，9，……，很像连续自然数列而又缺少5、7，联想和数列，接下来应该是10、12，代入求证28+10=38，38+12=50，正好契合，说明思路正确，答案为38.视觉冲击点10：大自然数，数列中出现3位以上的自然数。
因为数列题运算强度不大，不太可能用大自然数做运算，因而这类题目一般都是考察微观数字结构。
例18：763951，59367，7695，967，（）A．5936 B。
69 C。
769 D。
76解：发现出现大自然数，进行运算不太现实，微观地考察数字结构，发现后项分别比前项都少一位数，且少的是1，3，5，下一个缺省的数应该是7；另外缺省一位数后，数字顺序也进行颠倒，所以967去除7以后再颠倒应该是69，选B。
例19：1807，2716，3625，（）A．5149 B。
4534 C。
4231 D。
5847解：四位大自然数，直接微观地看各数字关系，发现每个四位数的首两位和为9，后两位和为7，观察选项，很快得出选B。
第三步：另辟蹊径。
一般来说完成了上两步，大多数类型的题目都能找到思路了，可是也不排除有些规律不容易直接找出来，此时若把原数列稍微变化一下形式，可能更易看出规律。
变形一：约去公因数。
数列各项数值较大，且有公约数，可先约去公约数，转化成一个新数列，找到规律后再还原回去。
例20：0，6，24，60，120，（）A．186 B。
210 C。
220 D。
226解：该数列因各项数值较大，因而拿不准增幅是大是小，但发现有公约数6，约去后得0，1，4，10，20，易发现增幅一般，考虑做加减，很容易发现是一个二级等差数列，下一项应是20+10+5=35，还原乘以6得210。
变形二：因式分解法。
数列各项并没有共同的约数，但相邻项有共同的约数，此时将原数列各数因式分解，可帮助找到规律。
例21：2，12，36，80，（）A．100 B。