一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推广

参考文献 ［１］ 庞耀辉．一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的
推广［ Ｊ］ ．数学教学，２０１３（６） （ 下半月） ． 作者简介 马占山，男，１９６８ 年生，中学高级教师． 主要 研究不等式和平面几何，已有近 ４０ 篇文章在中学核心期刊 发表．
对一道 ＩＭＯ 题的再研究
安徽省肥东一中 ２３１６００ 薛华荣 李剑峰
３．广大师生日常中应该注意以教材为蓝本的知
识挖掘，特别是对中学数学教材中出现的实际应用
型问题深入分析，以课题学习或者探究活动形式开
展数学建模．主动关注大学生数学建模竞赛的动向，
甚至大胆对大学生建模竞赛题目做出改编，作为中
学建模题目或者考试试题．
４．建模教学对高考应用问题应当有所涉及．鉴于
当前中学数学教学的实际，保持一定比例的高考应
（ 第 ２９ 届 ＩＭＯ 第 ６ 题） 已知正整数 ａ，ｂ 满足（ ａｂ ＋
１）
（ ａ２
＋
ｂ２
）
，求证
：ａ２ ａｂ
＋ ＋
ｂ２ １
是完全平方数．
该题在当时引起 一 片 讨 论 声， 原 因 在 于 该 题 拦 倒
了主试委员会成员和一些数论专家． 丁兴春老师在文
［１］ 中 提 出 并 解 决 了 更 难 的 问 题： 求 满 足 （ａｂ ＋ １） （ ａ２ ＋ ｂ２） 的所有正整数 ａ，ｂ 的解．
＝
［（ １ ａ
＋
１ ｂ
＋
éëêê３（
１ ａｂ
＋
１ ｂｃ
＋
１ ａｃ
）
ùûúú
２
＝ ［３（ａ
＋
ｂ
＋
ｃ）］ ２
１ ）２］２ ≥ ｃ
＝ ９（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ） ２．
来自百度文库
∑ ３３－ｎ（ ｂｃ） ｎ
∑ ３３－ｎ ［ （
ｎ
ｂｃ） ４］ ４
所以
＝
≥
∑ ∑ （１ ＋ λ） ２（ ａ） ２ （１ ＋ λ） ２（ ａ） ２
ｂ
个不同的正实数 ｍ，ｎ 满足 ｆ（ ｍ） ＝ ｆ（ｎ），而这又与 ｆ（ａ）
＝ ｆ（ ｘ０） ＝ ｆ（ ｘ１） ，（０ ＜ ｘ１ ＜ ｘ０ ＜ ａ） 相矛盾；
３１
因此有 ｆ（ ａ） ＝ ｆ（ ｘ０） ＝ ｆ（ ｘ１） ，（０ ＜ ｘ１ ＜ ｘ０ ＜ ａ） ，研
究函数
ｆ（ ｘ）
＝
ｘ２ ｂｘ
＋ ＋
ｂ２ ，（ ｘ １
＞
０）
的单调性（ 求导等过程
－１＋ 省略） 有：ｆ（ｘ） 在（０，
１ ＋ ｂ４ ） 内是减函数，在
ｂ
－１＋ （
１ ＋ ｂ４ ， ＋ ∞ ） 上是增函数，因此至多存在两
第三，二者侧重点不同． 中学生数学建模更多的 是渗透建模思想、树立建模观念，学会处理实际问题 的思考方法和解决途径；大学生数学建模则强调建 立模型的实用性以及对问题实质性的分析和求解， 对科学计算（ 计算机编程） 的要求较高；
另外，一个客观的原因，即二者组织形式不同． 大学数学建模以课程形式走进学生，同时开展三级 数学建模竞赛（ 校内竞赛、国家级竞赛、国际竞赛） 引导学生参与．而中学数学建模竞赛活动尚未普及， 只是在一些地方开展过，因此只能从课堂教学和以 教师为引导的实践活动展开．
＝
ｔ． 令
ｆ（ ｘ）
＝
ｘ２ ｂｘ
＋ ＋
ｂ２ １
，
（
ｘ
＞
０） ， 则
ｆ（ ａ） ＝ ｆ（ ｘ０） ，（０ ＜ ｘ０ ＜ ａ） ，
①
仿照上述过程，对 ∙∙∙∙∙∙ ∙
ｘ
２ ０
＋
ｂ２
ｘ０ｂ ＋ １
＝
ｔ
为正整数而言，存在 ∙∙∙∙∙∙
正整数 ｘ１，使得：ｆ（ ｘ０） ＝ ｆ（ ｘ１） ，（０ ＜ ｘ１ ＜ ｘ０） ，
程［ Ｍ］ ．北京：高等教育出版社，２００８．
［４］ 肖华勇．实用数学建模与软件应用［Ｍ］．西安：西北工业
大学出版社，２００８．
一道美国数学奥林匹克国家队选拔考试题的再推广
宁 夏 固 原 市 五 原 中 学 ７５６０００ 马占山 宁夏回族自治区教研室 ７５０００３ 葛建华
赛题 正实数 ａ，ｂ，ｃ 满足 ａｂｃ ＝ １，求证：
＋
１ ｂｎ（ ｃ ＋ λａ） ２
＋
１ ｃｎ（ ａ ＋ λｂ） ２
≥
中学数学杂志 ２０１４ 年第 １１ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
３ （１ ＋ λ）２．
证明 由权方和不等式可知
１
＋
１
＋
１
＝
ａｎ（ ｂ ＋ λｃ） ２ ｂｎ（ ｃ ＋ λａ） ２ ｃｎ（ ａ ＋ λｂ） ２
＞
ｂ
≥
１，ａ２ ａｂ
＋ ＋
ｂ２ １
＝ ｔ ∈ Ｎ ＋ ，即 ａ２ － ｔｂａ ＋ ｂ２ － ｔ ＝ ０，则 ａ 是方程 ｘ２ － ｔｂｘ
＋ ｂ２ － ｔ ＝ ０ 的一个正整数根．
Ⅰ） 若 ｂ２ ＜ ｔ，则 Δ ＝ （ ｔｂ） ２ － ４（ ｂ２ － ｔ） ＞ （ ｔｂ） ２；又
Δ － （ｔｂ ＋ １）２ ＝ ｔ（４ － ２ｂ） － ４ｂ２ － １，
为广泛的学生科技活动，备受广大师生关注，因此，
这几道例题也为平时的教育教学发出信号：
１．中学数学建模的教学以创新性、现实性、真实
性、合理性、有效性等几个方面作为标准，对建模的
要求不可太高，重在参与．
２．数学建模问题难易应适中，千万不要搞一些
脱离中学生实际的建模教学，题目难度以“ 跳一跳可
以把果子摘下来” 为度．
当 ｂ ≥ ２ 时，Δ － （ｔｂ ＋ １）２ ＜ ０，由（ｔｂ）２ ＜ Δ ＜ （ｔｂ ＋
１）２ 可知 Δ 不是完全平方数，从而方程 ｘ２ － ｔｂｘ ＋ ｂ２ － ｔ ＝
０ 无正整数根，而这与 ａ 是该方程的一个正整数根矛盾；
当
ｂ
＝
１
时，则ａ２ ａｂ
＋ ｂ２ ＋１
＝
ａ２ ａ
＋ ＋
１，不难得出 １
用问题是必要的，这样更有助于调动师生参与建模
教学的积极性，保持建模教学的活动，促进中学数学
建模教学的进一步发展．
参考文献
［１］ 教育部高等教育司． 全国大学生数学建模竞赛题目
［ ＯＬ ］ ． ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ． ｍｃｍ． ｅｄｕ． ｃｎ ／ ｈｔｍｌ ＿ ｃｎ ／ ｂｌｏｃｋ ／
８５７９ｆ５ｆｃｅ９９９ｃｄｃ８９６ｆ７８ｂｃａ５ｄ４ｆ８２３７．ｈｔｍｌ．２０１２������ ８������ ８．
文［１］ 的解答精巧简洁，然而笔者在取值试验时
却发现了一些反例， 本文将对原解法作修正， 先将文
［１］ 解答摘录（部分省略或改动）：
（１）
若
ａ
＝
ｂ，则
ａ２ ａｂ
＋ ＋
ｂ２ １
＝
２ａ２ ａ２ ＋ １
＝
２
－
ａ２
２ ＋
１
为正
整数，所以 ａ２ ＋ １ ＝ ２，ａ ＝ ｂ ＝ １；
（２）
若 ａ ≠ ｂ，由对称性不妨设 ａ
当然，同样作为数学在实际问题中的应用，二者 都是对实际问题分析简化，基于数学知识，应用计算 机进行科学计算，最终得出对实际问题的最优解． 而 且二者在很多问题上可以建立姊妹题的形式，上述 几个例题也证实了这一点． ２．２ 几点建议
中学数学教材中多处体现的数学模型的应用预 示着数学模型思想在中学数学中越来越重要，同时 引用的几个例题不但说明了大学建模与中学建模的 区别与联系，还体现了中学教材中数学建模思想的 广泛应用．近年来，数学建模竞赛作为全国开展的最
ａ５（ ｂ
１ ＋
２ｃ） ２
＋ ｂ５（ ｃ
１ ＋ ２ａ）２
＋ ｃ５（ ａ
１ ＋ ２ｂ） ２ ≥
１ ３
．
这是 ２０１０ 年美国数学奥林匹克国家队选拔考试题
的第 ２ 题，文［１］ 将这道试题推广为
推广 １ 正实数 ａ，ｂ，ｃ 满足 ａｂｃ ＝ １，０ ＜ λ ≤ ２，则
ａ５（ ｂ
１ ＋
λｃ） ２
＋
ｂ５（ ｃ
（ｂｃ） ｎ （ｂ ＋ λｃ） ２
＋
（ａｃ） ｎ （ｃ ＋ λａ）２
＋
（ａｂ） ｎ （ａ ＋ λｂ）２
≥
∑ｂｃ
ｎ
ｎ
∑ （
ｂ ３ ｃ ３ ）３
２７（
）ｎ
３
≥
＝
∑ ∑ （１ ＋ λ） ２（ ａ） ２ （１ ＋ λ） ２（ ａ） ２
∑ ３３－ｎ（ ｂｃ） ｎ
．
∑ （１ ＋ λ） ２（ ａ） ２
注 意 到 （ ∑ｂｃ）４
３３ －ｎ ［ ９（ ａ
＋
ｂ
＋
ｃ） ２］
ｎ ４
＝
３３－
ｎ ２
（ａ
＋
ｂ
＋
ｃ）
ｎ ２
≥
∑ ∑ （１ ＋ λ） ２（ ａ） ２
（１ ＋ λ） ２（ ａ） ２
３３－
ｎ ２
（
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ）
（１ ＋ λ）２
ｎ ２
－２
３３－
ｎ ２
≥
（１
× ３ｎ ２
－２
＋ λ）２
＝
（１
３ ＋ λ）２．
当且仅当 ａ ＝ ｂ ＝ ｃ ＝ １ 时取到等号．
［２］ 教育部高等教育司．全国大学生数学建模夏令营题目
［ ＯＬ ］ ． ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ． ｍｃｍ． ｅｄｕ． ｃｎ ／ ｈｔｍｌ ＿
ｃｎｎｏｄｅｃｃ３ａａ１ｆｃ０７ｆｅ６８９ｃ７７１９８ｅａｂａ６１３６７８ｄ．
ｈｔｍｌ．
２０１２������ ８������ ８．
［３］ 西北工业大学数学建模指导委员会．数学建模简明教
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１４ 年第 １１ 期
模过程中还需要快速学习其他方面的知识；而对中 学生则以初等数学知识为主，适合中学生的认知水 平，在建模过程中一般不需要大量的知识补充；
第二，需要研究的问题不同． 大学生数学建模涉 及的范围较为广泛，其表述形式较为隐晦，对数学化 的要求较高；而中学生数学建模的问题大多贴近中 学生的生活实际，具有一定的实践性和趣味性，学生 较易入手；
ａ
－
１
＜
ａ２ ＋ １ ａ＋１
＜
ａ
恒成立，即ａ２ ａｂ
＋ ｂ２ ＋１
不是整数与题设矛盾；
Ⅱ） 若 ｂ２ ＞ ｔ，设方程 ｘ２ － ｔｂｘ ＋ ｂ２ － ｔ ＝ ０ 的另一
个根为 ｘ０，则 ｘ０
＝ ｔｂ
－ ａ ＝ ｂ２ － ａ
ｔ 为正整数，且 ｘ０
＜
ａ，于
是
ａ２ ａｂ
＋ ＋
ｂ２ １
＝ ｘ２０ ＋ ｂ２ ｘ０ｂ ＋ １
１ ＋ λａ）２
＋
ｃ５（ ａ
１ ＋ λｂ） ２
≥
３０
１
－
２
＋ ９
２λ
．
笔者认为这个推广有一定的局限性，一是 λ 的取
值范围太小，二是不等式的右边不够简洁优美，笔者经
过思考研究以后得到一个更加理想的推广，即
推广 ２ 正实数 ａ，ｂ，ｃ 满足 ａｂｃ ＝ １，０ ≤ λ，ｎ ≥ ４，
１ 则 ａｎ（ ｂ ＋ λｃ） ２