梯度散度旋度的关系

梯度

散度

散度（divergence）的概念：

在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S 所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F

由散度的定义可知，div F表示在点

M处的单位体积内散发出来的矢量F的

通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F=▽·F

气象学：

散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中

的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为

负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有

利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分：

设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。

散度（divergence）的运算法则：

div (α A + β B ) = α div A+ β div B (α,β为常数)

div (u A ) =u div A+ A grad u (u为数性函数)

旋度

设有向量场

A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

在坐标轴上的投影分别为

δR/δy - δQ/δz ，δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy

的向量叫做向量场A的旋度，记作rot A或curl A，即

rot A=(δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k

式中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。

行列式记号

旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示：

若A=Ax·i+Ay·j，

则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j

若A=Ax·i+Ay·j+Az·k

则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k

为一向量。

向量场A，数量场u

▽称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。▽·▽=▽2=△，△称为拉普拉斯算子。

梯度▽u

散度▽·A

旋度▽×A

首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。

梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。

散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。

旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。

三者的关系：注意各自针对的对象不同。

1.梯度的旋度▽×▽u=0

梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。

2.梯度的散度▽2u=△u

3.散度的梯度▽(▽·A)

4.旋度的散度▽·(▽×A)=0

旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。

5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A

旋度场的旋度

也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。

1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。反之则不行，还需要其他条件。

2.已知某向量场，求原数量场（势场）。

某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。

因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。若旋度不为0，则没有势场。