初中数学_反比例函数的图象与性质 第1课时教学设计学情分析教材分析课后反思

第六章反比例函数
2.反比例函数的图象与性质（一）
一、学生知识状况分析
学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究函数的一般过程。

一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。

二、教学任务分析
本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象需要注意的问题。

理解函数的三种表示方法及相互转换，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的直观工具，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，在相互交流中锻炼从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质。

（一）知识目标：
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.
2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.
3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.
（二）能力训练目标
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.
（三）情感与价值观目标
让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.
教学重点：
画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.
教学难点：
反比例函数的图象特点及性质的探究.
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节： 第一环节：设疑激思 复习引入；第二环节：合作探究 发现问题； 第三环节：巩固新知 夯实基础；第四环节：观察思考 再探新知；第五环节 活学活用 巩固提高；第六环节 挑战自我 能力提升；第七环节 分层达标 课后延伸；第八环节 归纳总结 纳入系统.
第一环节：类比激思 复习引入
教师幻灯片展示下列问题：
1.当初我们从哪些方面研究了一次函数？
2.画一次函数图象的步骤是什么？
3.借助图象我们研究了一次函数的哪些性质？
目的：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思
路，来研究反比例函数.
效果：通过对问题的回答，激起学生对函数研究的兴趣.
第二环节：作图反思 完美图象
教师引导学生类比着画一次函数图象的过程来尝试画出反比例函数4
y x
的图象.
教学策略：
小组内交流：教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足；
全班交流：小组代表发言，谈一下各小组内在画图过程中存在哪些问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总。

知识经验应用：让学生通过刚才两个过程中积累的知识和经验，对小亮的作法进行点评。

小明的做法： (1)列表：
x
-8 -4 -3
-2 -1 -21
21
1 2 3
4 8
y=x 4
-21
-1
-34
-2
-4
-8
8
4
2
34
1
21
(2)描点：（图5-1）(3)连线：（图5-2）
学生回答：小明的画法不正确，不是用光滑的曲线顺次连接各点；图象不是无限延伸的. 教师再结合以上几个环节，进行总的总结和点评
教师用幻灯片展示正确的反比例函数图象（图5-3）：
问题：
1.反比例函数图象是什么？
2.画反比例函数图象应该注意的问题是什么？
总结归纳：
x
(1) 0
(2)用光滑的曲线连接各点
(3)图象是延伸的，不要画成有明确端点。

(4)曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴,但不和坐标轴相交
目的：运用类比的思想，学生独立画反比例函数图象，体现了结构式教学的特点，让学生自己发现问题，自己指出问题，自己解决问题。

教师在此环节仅是作为引导者和组织者，充分发挥学生课堂学习的主动性.
效果：在画反比例函数图象的过程中，学生们出现了很多问题，通过老师的引导组织将这些问题进行指正、修改、加深了学生们对反比例函数图象的认识.
第三环节：巩固新知夯实基础
活动一：小华画的反比例函数
6
y
x
=
的图象如图所示，你认为他画的对吗？
目的：巩固第二环节学生们的发现，加深对反比例函数的认识.
效果：通过对本题的回答，使学生更加加深对反比例函数图象的认识.
活动二：画反比例函数
4
y
x
-
=
的图象.
目的：让学生巩固作反比例函数图象的步骤，并且初步感受反比例函数图象的特征。

效果：通过作反比例函数
4
y
x
-
=
的图象过程，学生除了能够更熟练的掌握作图的要求，
而且能够感悟反比例函数图象的特征。

第四环节：观察思考再探新知
观察
4
y
x
=
和
4
y
x
-
=
的图象的形状和位置,有什么相同点和不同点。

（图象见课件）
1．自己观察图象找出相同点和不同点。

2．小组展开讨论反比例函数4
y x =
和
4y x -=
的图象在哪两个象限,由什么确定。

3．引导总结。

结论：
图象分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线. 反比例函数的图象由k 决定.
当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内.
目的：本环节的设置体现了数学结合的思想，通过观察函数图象来得到函数的基本性质是
初中阶段学生所应具备的基本能力.
效果：让学生自己观察总结并且进行小组交流讨论，这种课堂模式能够充分体现以学生为
主体的，并且调动学生学习的积极性，培养学生学习的兴趣.
第五环节 活学活用 巩固提高
1.已知y=x k
(k ≠0)的图象的一部分如图，则k__________0
2. 反比例函数
m
y x =
的图象两支分布在第二、四象限，则点(m ，2-m )在（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
目的：通过两道题目的求解让学生更加熟练的掌握反比例函数图象的基本性质.
第六环节 挑战自我 能力提升
问题：
1、反比例函数图象是中心对称图形吗？ 若是的话，请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗？若是的话，你能试着说明它的对称轴是什么吗？ 教师可以引导学生从两支曲线上对称的点出发，来发现图形的对称关系。

目的：本环节设置的目的让学生能够从图形的角度来研究反比例函数的图象，再次体现数
形结合的思想.
第六环节 归纳总结 获得新知
反比例函数图象的性质
1.形状及特点: 反比例函数的图象是双曲线，在每一象限内与坐标轴无限接近但永不相交。

|k|越大，离原点越远。

2.图象的位置: 当k>0时,两支双曲线分别位于一、三象限内；当k<0时,两支双曲线分别位于二、四象限内。

3.对称性：双曲线既是中心对称图形，对称中心是原点；它也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 。

第七环节： 分层达标 课后延伸
A 层
1、
x y 3
-
=（x ＞02
B 层
1、已知函数
(2)y m =-
2、u 与t 成反比，且当u 目的：题目1思维的能力，题目3和4第八环节： 归纳总结 纳入系统
反比例函数
(0)k
y k x =
≠的图象由k 决定。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
作业
A 层： 如图，当x ＜0时，下列图象中，有可能表示y=－x 2
的图象的是__________.
B 层 ：
1、已知y=y1+y2，y1与x 成正比例，y2与x2成反比例，且当x=2与x=3时，y 的值都等于19.y 与x 间的系数关系式，并求x ＝4时y 的值.
2、习题6.2 联系拓广
附：板书设计
学情分析 学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究
函数的一般过程。

一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。

学生已经学习过一次函数，对研究函数的图象和性质的思想方法已有所了解，在此基础上探索反比例函数的图象和性质，学生通过类比的方法学习，实现知识的迁移，可以学得比较轻松，同时也会对二次函数和高中阶段各种函数的学习产生积极的影响。

所以要加强引导学生的自主学习，培养学生自主探索，终身学习的意识。

在本节课中，学生通过列表、描点、连线画出有别于一次函数图象的双曲线，以及由反比例函数的图象归纳总结出反比例函数的性质会有一定的挑战性，但同时也为学生进行探究学习和合作学习提供了思维活动空间。

由于学生认知水平，学习能力以及学好函数的信心等方面存在差异，所以探讨活动的效果也会因人而异。

这一点我们应该尊重学生的个体差异，尽可能让每个学生都学有所获。

反比例函数的图象与性质（一）
反比例函数(0)
k
y k x =≠的图像
反比例函数
(0)k
y k x =
≠的性质
效果分析
整节课教学思路层次分明，脉络清晰，重点突出了如何将分式方程转化为整式方程。

老师语言比较精炼，富有亲和力与感染力；师生关系融洽，气氛和谐；重点突出，难点突破，教学目标基本达成。

体现了“教师主导、学生主体、以生为本”的理念，突出了数学教师的组织者、引导者和合作者的角色转换，有效地引导学生学习方式的转变。

1、自主探究：通过类比让学生自己思考如何将分式方程转化为整式方程，有利于培养学生的自学能力，使学生养成独立思考的好习惯。

学生通过自主探究，对所学知识由感性认识上升到理性认识，从而大大提高了课堂效率。

2、交流反馈：师生之间、生生之间把探索中发现的问题和获得的感悟进行交流，达到反馈答疑的目的，这一环节可以有效地活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作精神。

3、学生在发现新知的过程中体验到了成功的喜悦，这样会刺激学生继续学习、继续探究的欲望，使学习不断深入。

4、整体感觉是学习过程逻辑清晰，小组分工明确，学生主体地位体现充分，学生配合好，课堂气氛活跃；
5、学生充当小老师角色非常到位，有讲有问，学生回答积极配合；
6、教师穿插点评、补充、总结、讲解，少好精；
7、整个教学过程各个环节前后紧密相连，由易而难，步步推进，有效地促成教学目标的达成。

教材分析
本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象需要注意的问题。

理解函数的三种表示方法及相互转换，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的直观工具，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，在相互交流中锻炼从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.
（一）知识目标：
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.
2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.
3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. （二）能力训练目标
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力 （三）情感与价值观目标
让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲。

反比例函数的图象与性质（一）
达标练习
A 层 1、x
y 3
-
=（x ＞0）的图象叫 ，图象位于 象限， 2、写出一个图象分布在二、四象限内的反比例函数解析式 . 3.如图，当x ＜0时，下列图象中，有可能表示y =－
x
2
的图象的是__________.
B 层 1、已知函数
229
(2)m m y m x
--=-是反比例函数，且图象经过一、三象限，求m 的值。

2、u 与t 成反比，且当u ＝6时，
81
=
t ，这个函数关系式为
3、已知y=y1+y2，y1与x 成正比例，y2与x2成反比例，且当x=2与x=3时，y 的值都等于19.y 与x 间的系数关系式，并求x ＝4时y 的值.
反比例函数的图象与性质（一）教学反思
1．学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对函数图象和性质的探究方法有了初步的认识，这些对本节课知识的学习起到了很好的铺垫作用．本节课又不同于研究一次函数，由于反比例函数的图象相对于一次函数图象的特殊性，使得对反比例函数图象和性质的探索过程更加细致、全面．教学设计中，特别注重了比例函数性质的探索过程，通
过问题的引领让生更全面的对函数进行观察和比较，给学生创设了充足的讨论时间和空间，鼓励学生用自己的语言对观察和概括的结论进行充分的表达和描述．
2．学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，教学设计中关注了学生主体作用的发挥，教师进行适时的引领和点拨，教学中教师要用鼓动性的语言，激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情．
3．本节课学生的参与度较高，教师要了解学生参与活动中情感与智力的参与程度，及时进行多角度的积极评价，帮助学生建立自信，发挥评价的教育功能．
课标分析
根据《数学课程课标》，与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在：（1）性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质；（2）在实际问题中的应用．这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力．反比例函数图象的性质：图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴．因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条性质实际应用意义也不大．假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当拓展．反比例函数思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线，学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理解反比例函数创造条件．缺点是与前面知识连贯性较差．
本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础．。