数值天气预报考试题目解析

兰州大学大气科学学院 大气科学/应用气象 专业（班） 年级 课程 数值天气预报
200 —200 学年 第 2 学期（ A ）卷 期末考试题（ 120 分钟）
考试时间 姓 名 学 号
题 号
得 分
分 数
主考教师： 隆霄 阅卷教师：
1．对线性Biblioteka Baidu流方程：
Crank-Nicolson的差分格式为：
分析其稳定性条件和截断误差。(20分)
将此解代入差分方程组，并进行消元得
进行消元得频率方程
相应的群速度公式为
由此可知当kd=π/2时，群速度为0，波能量不能频散。当kd=π时，重力惯性波变为纯惯性振荡。
4．已知P坐标系中的连续方程为： ，其中 ，请推导出 坐标系中的连续方程。(20分)
解：对任意变量 有：
(1)
其中 表示 ， ，或者
又 (2)
（启动时步采用时间前差格式，东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件）。
要求:程序中要有明确的变量说明，所写程序符合Fortran语言基本标准。(20分)
答：微分方程的差分格式为:
启动时刻的差分格式为:
程序略.
3．试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。（20分）
其中
解：设方程有如下形式的波动解
(5)原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所取的时间步长约比过滤模式小一个量级。
6．什么是非线性计算不稳定和混淆误差?非线性计算不稳定有何特点?你知道有那些方法
可以克服非线性不稳定? (10分)
答:非线性计算不稳定是指由于非线性作用产生的不稳定现象.
混淆误差是指: 用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为2 ,如果非线性作用产生波长小于2 的分量,则网格系统不能正确的分辨,而把它错误的表示成某一种波长大于2 的波,造成了这种波的误差,这样产生的误差就是混淆误差.
(2)过滤模式受到的限制较多，引入了静力近似，还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。
(3) 原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而过滤模式只能描述天气发展的慢过程。
(4) 原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。
解:令 ,则差分格式可以展开为:
利用冯-纽曼方法,设 , ,代入上式,化简可以得到增幅因子表达式为:
由于
所以格式绝对稳定.
利用泰勒展开可以得到:
所以 ,时间截断误差为
类似的方法把 , , , 在空间域展开,可以得到截断误差为
2．对线性平流方程：
其中c=2.5, d=0.2,
初始条件为：
请写出时间中央差、空间中央差分的差分格式，并用Fortran语言写出计算程序。
非线性不稳定具有突变的特点,同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关.
克服的办法:
(1)进行空间和时间平滑,滤去短波分量
(2)在方程中加入人工扩散项
(3)构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式
(4)构造守恒的差分格式.
把（2）代入（1）则有： （3）
利用（3）把P坐标系中的连续方程 展开有：
（4）
又 （5）
所以： （6）
把（6）代入（4），整理后则有：
（7）
（7）即是 坐标系中的连续方程。
5．原始方程模式与过滤模式有哪些不同之处？(10分)
答: (1)原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程，这一过程是通过惯性重力波对能量的频散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出现则通过地转近似或者其他风压场的诊断关系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区别。