北京市海淀区高一上期末数学试卷((含答案))

北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）

A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）

A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx

3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9

4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）

A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）

5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）

A．B．C．D．

7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）

A．x=﹣B．x=C．x=D．x=

8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的

是（）

A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值

C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值

二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

9．（4分）函数y=的定义域为．

10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）

（i）若∠ACB是直角，则x=

（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．

13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．

14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x

（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；

（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．

三.解答题（本大题共4小题，共44分）

15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；

（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；

（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）

x﹣

f（x）020﹣20

（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．

（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；

（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；

（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．

18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．

（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分

（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．

选做题（本题满分10分）

19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|

（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，

并试着给出证明；

（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．

2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）

A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；

故选：C．

2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）

A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx

【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；

对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；

对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；

对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．

故选：B．

3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9

【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，

可得t=9．

故选：D．