概率分析的响应面方法

） ，我们应
模拟运算
输入向量是 d 维的，并且这些输入都是随机变量。 目的： 采用比蒙特卡模拟罗更为有效的方法估计均 值、标准偏差 响应面方法主要是在一个系统方法中，对输出结果进 行曲线拟合，并作为输入变量的函数。然后，对曲线 拟合进行概率分析。 这个基本思想以替代建模而著称：
f ( x)
X
高保真高费用模拟
概率分析的响应面方法
一阶模型 在这里，我们考虑以下情形：我们正在进行某个复杂 的模拟，这个模拟需要的时间也很可观。目的就是为 了计算一些概率结果，比如模拟结果的均值。然而， 由于蒙特卡罗方法的收敛速度较慢（～ 该寻求一些更好的途径。 整理一下我们的思路，有：
输入向量 X 输出 （也可以是向量） Y
1 N
准确的抽样模式（比如 DOE） ，在很大程度上要依靠 为构建响应面而进行模拟的数量及响应面的阶数。对
于线性模型，很显然需要 d +1 个模拟，但过剩取样对 了解模型中的误差是有利的。在任何情况下，我们都 可以肯定地说： 定义： N s 为试验或者样本的数量
Ndof 为响应面上的自由度数量
很显然，需要满足：
显然，这需要 d+1 个模拟。通常的方法是令 Δxi = σ x ，
i
Δxi 并不一定很小。下图展示了需要模拟的点：
σx
x3
3
σx
x2
2
(0,0,0)
σx
x1
1
像前面的解析微商一样，我们有：
a0 = f (0)
f Δxi ) − f ( 0 ) ai = ∂f ≈ ( Δ xi ∂xi
注意：这等同于在 d+1 个点上抽样，通过输出结果构 建特殊的线性模型 在抽样方法中，使用中心差分微商近似是一个潜 在的改进，它将需 要 2d+1 个模拟。
Y
Y= f (x)
近似为 X 替代模型
ˆ Y
ˆ ( x) ˆ= f Y
ˆ ( x) f
我们的目的是找一个容易估计和构造的函数 fˆ ( x) ，而 且对想要得到的结果而言，它足够的精确。 替代建模的形式之一可能只是用粗糙的网格替代我们 通常使用的网格，尽管这并不精确。让我们来看看响 应面。 记住： 响应面只不过是曲线拟合而已 一阶响应面 一阶响应面具有下面的形式：
d
ˆ ( x) = f (0) + ∂fˆ x f ∑ ∂x i
i=1
i 0
ˆ ∂ f 和计算单个 f 的工作量 我们注意到，对每个 i 计算 ∂xi
几乎是一样的，所以单个模拟和 d+1 模拟的代价是一 样的。 单侧有限差分 另一个普通的办法是构造有限差分微商：
∂f ≈ ∂xi
f ( 0,0,0, Δxi ,0,0,0) − f ( 0) Δxi
ˆ ( x) = a + a x f 0 ∑ i i
i =1 d
这里的 ai 都是未知的，为了简化结果，我们假定：
E ( xi ) = 0
来自百度文库
注意，为了满足上面的要求，我们总可以找到一个新 的变量 zi ：
zi ≡ xi − μ xi
i
⇒ E ( zi ) = E ( xi ) − μ x
这里， μ xi ≡ E ( xi )
⎡ n y − ⎢ ⎣ n=1
N 2
G
ˆ ( xn )⎤ f ⎥
⎦
最小。
最小值问题是一个标准问题，已经有非常成熟的 解决办法（这些都可以通过 Matlab 来实现） 唯一存在的问题就是如何抽样，下面有一些选项： 实验设计（DOE） DOE 方法可用来选择抽样的位置， 下面是一些二维的 例子：
x2 一次一个抽 样（单边） x1 x2 x2 中心 中心 复合 x1 x1
−σ x1
σx
x3
3
σx
x2
2
在这种方法中，
−σ x2
σx
−σ x3
x1
1
a0 = f (0)
f Δx − f −Δx ai = ∂f ≈ ( i )2Δx ( i ) ∂xi i
其中通常有， Δxi = σ xi 最小二乘拟合 在这种方法中，对于 n = 1 → N ，其中 N ≥ d +1 ，我们用 过剩取样进行模拟得到 N 对 ( x n , y n ) 。如果精确地有样 本数量 N = d +1 ，则线性模型将会被唯一地确定，因为 我们有 d +1 个未知系数。而当 N ≥ d +1时，我们用最小 二乘来拟合这个线性模型： 寻找 ai 使得 ∑
N s ≥ N dof
除了这个要求外，利用额外的样本将还可以估计拟合 的好坏程度，我们将在下一讲探讨这个问题。 随机方法和拉丁超立方抽样方法 和“固定的” DOE 抽样方法相反，随机抽样能 被用作构造响应面，同时也要满足下面的条件：
N s ≥ N dof
ˆ ( x)] = a μ y ≈ E[ f 0
类似的，我们也可以得到：
⎡⎛ 2⎤ ⎡ ˆ 2 ˆ ] ⎥ = E ⎢⎜ a + σ Y ≈ E ⎢ f ( x) − E[ f ⎢⎜ 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣⎝
2⎤
(
)
∑
2
⎞ ai xi − a0 ⎟ ⎟ i =1 ⎠
d
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
= E ⎢(∑ ai xi )
i
= μx − μx
i
E( zi ) = 0
所以，一旦我们确定了 a 的值，我们就能得到： ˆ ( x)] = E (a + a x ) E[ f 0 ∑ i i
i=1 d
= a0 + ∑ ai E ( xi )
i=1
d
ˆ ( x)] = a ⇒ E[ f 0
因此，一阶响应面方法对 μ y 的估计是：
⎢ ⎣ i =1
⎡ d
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
现在，如果我们假定输入的随机变量是不相关的，就 有 E ( xi x j ) = 0 ， i ≠ j ，那么
2≈ σy
i
∑ ai xi
2
d
2
2 ≡E x2 这里，σ x (i)
i=1
（已知 E ( x ) = 0 ）
i
下一个问题就是如何确定 ai ，下面是标准的选项： （1） 利用精确解析微商的泰勒级数 （2） 一次一个抽样（等同于单侧有限差分） （3） 利用过剩取样的最小二乘拟合，样本可通 过以下几种方法产生： ﹡设计试验
﹡小样本蒙特卡罗 ﹡小样本拉丁超立方 让我们来看看这些选项： 解析微商 首先，我们注意到：
ˆ (0) = a “标称”值是系数 a f 0 0
ˆ ∂f =a ∂xi i
导数是 ai
所以，如果我们在“标称”条件下进行一个单个的数 值模拟， 而且能够求出输出结果关于输入变量的导数， 则替代模型可以表示为：