2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案
2013年全国初中数学竞赛预赛试题答案及详解
6 74 51 2 3第2题图1. 解：因为a 、b都是有理数，且(1))0a a b ++=，所以10a +=,且0a b +=，得1,1a b =-=，所以1ab =-．故选A.2. 解：若将图中标有1的面去掉，则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图，其中标有3和6的面是对面；只看题图最下面一行，标有3和1的面应是对面，所以重叠的两个面是标有1和6的面，应选B ．3. 解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE=111222DAC ACB β∠=∠=，∴①正确；（2）∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴AD AOCB CO=，∴②正确； （3）∠AEB =∠DAE +∠ADB =∠DAE +∠CBD =1()2αβ+，∴③正确；（4）∵∠BAC =180()αβ︒-+，只有当AB ∥DC 时，∠ACD =180()αβ︒-+才能成立．∴④不正确. 综上，应选B.4. 解：由图象可知当12y y >时，3<x ， 当01>y 时，1>x ，所以当012>>y y 时，13x <<. 故应选C ．5. 解：如右图，解：由33ax a x +>+，得(1)(3)0a x -+>，由不等式的解集为3x <-，知30x +<，所以10a -<，得1a <．故应选B ．6. 解：从点A 出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如： 到达点P 、Q 的最短路径条数分别为2和3. 以此类推， 到达点B 的最短路径条数为35条. 选D.7. 解：原式1 8. 解：由图象可知1k 为负数，2k 、3k 为正数，不妨取x =1，代入解析式，显然点2(1,)A k 在点3(1,)B k 的正下方，所以320k k >>，又1k 为负数，所以123k k k >>．9. 解：摸出的2个球都是黑球的概率是2116515⨯=，所以摸出的球颜色一样的概率是113155⨯=.10. 解：在Rt △ADC 中，∠A =30°，得AC DC 21=，同理BC EC 21=,所以4212121==+=+AB BC AC EC DC ( cm)．11. 解：由题意得2272m m m +=-+，解得120,8m m ==，当10m =时，原方程无实数根，当28m =时，原方程有两个不相等的实数根，所以4==. 12解：令1111456670a +++⋅⋅⋅+=，则原式=1671a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭13a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭113671a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭×a =211132013671a a a +++2113671a a a ---=12013.13.【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y 人，6人、5人、4人一列分别可以整排a 、b 、c 列，则62524y a b c =-=+=．（a 、b 、c 是正整数）∴ 6252,624.a b a c-=+⎧⎨-=⎩①②································································4分由②，得 62312(1).422a a a a c --+-=== 因为c 为正整数，可令12,a m -= 所以21,a m =+（m 是正整数） ③ 将③代入①，得6(21)25 2.m b +-=+ ∴ 122102(1).55m m m b +++==··································································7分 因为b 为正整数，可令15,m n += 所以51,m n =-（n 是正整数） ④ 将④代入③，得 2(51)110 1.a n n =-+=- ················································ 11分∴ 626(101)260y a n n =-=--=- （n 是正整数）. 当n =1时，y 有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ···········14分 14.【答案】（1）∵ E 、B 、C 、H 、F 在同 一圆上，且∠EBC =90°，∴ ∠EHC =90°，∠EFC =90°． ·································································2分又 ∠FBC =∠HBC =45°，∴ CF = CH ． ···················································4分 ∵ ∠HBF +∠HCF =180°，∴∠HCF =90°． ·········································6分 ∴ 四边形EFCH 是正方形． ···································································8分 （2）∵ ∠GHB +∠GCB =180°，图③E∴ ∠GHB =90°，由（1）知∠CHE =90°， ∴ ∠CHG +∠CHB =∠EHB+∠CHB ． ∴ ∠CHG =∠EHB ．∴ CG =BE =x ， ∴DG =1DC CG x -=-． ·········································12分∴ △CGH 中，CG 边上是高为11(1).22DG x =-∴ 211111(1).224216y x x x ⎛⎫=⋅-=--+ ⎪⎝⎭ ·················································15分当x =12时，y 有最大值116． ··································································16分 15.【答案】（1）当∠ACB 为直角时，△ABC 为直角三角形，b =0，AD=AC=BD =a ． ································································································2分（2）当∠ACB 为锐角时，如图③，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．则△CEF 和△ADE 都是等腰直角三角形.设AD DE x ==，CF EF m==. 则AE=. ∴AF m =-. ···4分 ∵ ∠F AC +∠CAD =45°，∠DAB +∠CAD =45°， ∴ ∠F AC =∠DAB .又 ∵∠AFC =∠ADB =90°，∴△F AC ∽△DAB . ……………………6分∴.FA FC DA DB =即.m mx a-=解得m =∴2axCE x a===+.·····························8分 ∵CE CD DE AD +==, ∴2axb x x a+=+. ·····································10分 整理得 2()0x a b x ab -+-=.解得1x=2x =（舍去）. ····················································································································12分（3）当∠ACB 为钝角时，如图④，作∠DAE =45°，AE 和BC 的延长线相交于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ．与（1）中的求法类似，可设AD DE x ==，CF EF m==，则A F =-.同（1）中的理由，得△F AC ∽△DAB ，2axCE x a=+.∵AD DE CE CD ==-, ∴2axx b x a =-+. ··········································16分 整理，得 2()0x a b x a b --+=，解得2a b x -±=…17分综上，AD 的长为a 或2a b ++或2a b -或． ···················································································18分。
2013年全国初中数学竞赛试题(附详细答案)
2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案
C（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41B ．31 C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x的值等于（ ）A ．95 B ．59 C ．52011- D ．2011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ， e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不 同顺序的取法的种数有（ ）A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种（1） （2）（第5题图）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图A中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ． 8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ．10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C 二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12 ； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12.)1,21(-)1,21(--.三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得c b a ==. 14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分） ··· ………………………………3分 （2）∵S △OMP =12×OM ×23t ，∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =．设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++． ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13S △OCN ＝2． ··················· …………………10分 一、当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1，二、如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12•RD 1•OT ＝12•34b b+•b ＝2.∴234160b b --=， b.∴b 1 b 2 舍去）此时点T 1的坐标为（0）. ········ ……………………………………………15分② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2.∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422ba y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分 （2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分（备用图）。
2013年全国初中数学联赛试题及详解
2013年全国初中数学联赛试题及详解2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1?计算 4,3 2 ：2 41 24 2( )（A ） .2 1（ B ）1（ C ）2（ D ）2【答案】（B ）【解析】原式=42+1）2 3 ,（4 2 3）2 4（、.2 1）（4.2 3） 1，故选（B ）一 - m 2 m 22?满足等式 2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ） 3（ B ）4（ C ）5（ D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：(1) 若 2m 1,即m1时，满足已知等式；21,即m 3时， m 2 m 2(2) 若 m2 m( 1）41满足已知等式；2 m 0一口 1(3) 若 2m1,即m1且m 3时，由已知，得2解得，mm m 2m 2 m 2故j 足等2 m 1的所'实数m 的和1 3（1）=3，故选（A ）.24?不定方程 3x 7xy 2x 5y 17CAB 15o ， ABC 的平分线交圆O 于点D ，若CD3，则 AB =() (A ) 2 (B ) 6 (C ) 2.2 (D ) 3 【答案】（A ）【解析】连接 OC ，过点0作ON CD 于点N ，贝V 3?已知AB 是圆O 的直径, C 为圆O 上一点, CN DN OA ,从而 OCA CAB 15o ,由AB 是圆O 的直径，ACB 90°,因 CD 平分 ACB ,故 ACD45°, OCN ACD OCA 30°,在 Rt ONC 中， cosOCNCN OC2OC 2,故选（A ）0的全部正整数解（x, y）的组数为（(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4(A) 33 【答案】(B ) 34 (B )因1既不是质数, (C ) 2013( D ) 2014设不超过n 的正整数中, n13 57911U 152 34 49G 6 b.(1 __Ii w2468【答案】(B )3x 2x 17【解析】由3x 2 7xy 2x 5y 170,得y —— -------- ，因x, y 为正整数，7x 5故 x 1,y 1,从而 7x 5 0,于是 3x 2 2x 17 7x 5 , 3x 2 5x 22 0 ,即卩(x 2)(3x 11) 0,由 x 1，知 3x 11 0,故x 2 0, x 2，故 x 1 或 x 2 当x 1时，y 8 ；当x 2时，y 1.故原不定方程的全部正整数解 (x, y)有两组：(1,8)，(2,1),故选(B ).5.矩形ABCD 的边长AD 3, AB 2 , E 为AB 的中点，F 在线段BC 1：2 , AF 分别与DE , DB 交于点M , N ,则MN =(―、3、、5 5 .59、、511,5(A ) (B )(C )( D )—714 28 28【答案】(C )BF 1【解析】因，故FC 2BF BF 11FN BF 1,BF - AD 1,因 BF // AD ，故 BNF s DNA ，故，故DA BC 33AN DA 31 FN -AN 1 3AF -AF . 延长DE,CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知3 34 4ADE 也 BGE ,故 BG AD 3 , FG BF BG1 3 4 ,因 FG // AD , 故AM AD 3 亠 33AMD s FMG ，故，故 AM FM AF ，于是FM FG 4 47上，BF : FC )考虑n 为奇数的情况)：质数的个数为 a n ,合数的个数为b n ,当n 15时，列表如下(只也不是合数，故“好数”一定是奇MN AF AM FN AF 3AF 1AF —AF 9.AB2 BF29.57 4 28 28 28 故选(C).6?设n为正整数，若不超过那么，所有“好数”之和为( n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称 )n为“好数”由上表可知，1,9,11,13都是“好数”因05印5 2，当n 16时，在n 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有b n a n 2,故当n 16时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为 1 9 11 13 34，故选(B ).二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1.已知实数x,y,z 满足x y 4, z 1 xy 2y 9,则x 2y 3z _________________ .【答案】 4【解析】由x y 4,得x 4 y ，代入z 1 xy 2y 9，得 z 12(4 y)y 2y 9 y 6y 92 2(y 3)0,故(y 3)20，又(y 3)20,故(y 3)20,故 y 3,z 1,x 1，于是 x 2y 3z 42?将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= _____ .【答案】8、 2【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为6(n 2)个，任何面都不是红色的小正方体的总数为(n 2)3个，依题意有6(n2)23.在 ABC 中， A 60o , C 75o , AB 10， D,E,F 分别在 AB, BC,CA 上，则DEF 的周长最小值为 _______ .【答案】5.6【解析】分别作点 E 关于AB, AC 的对称的P,Q . 则 DE PD,EF FQ .连接 AE, AP, AQ, DP,FQ,PQ , 则PAQ 120°,且 AP AE AQ ,从而 APQ 30°，AH AB sinB 10 sin 45° 5、、2，于是 DEF 的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ 、、3AP 、3AE 3AH 5、6(n 2)3，解得 n 8( n 2舍去).APcos30°， PQ-3AP ，过点A 作AH BC 于点H ,则当且仅当点 E 与点H 重合，且P,D,F,Q 四点共线时取得等号，即DEF 的周长1 min5 62 2 2 ,__,4?若实数 x, y,z 满足 x y z xy yz zx 8，用 A 表示 x y,y z,z x 的最大值，贝U A 的最大值为 ______ .4苗【答案】——3【解析】由已知，得(x y)2 (y z)2 (z x)2 16 ,不妨设A |x y ，贝UA 2 x y 2 (y x)2 (y z) (z x) 22 (y z)2 (z x)2 2 16 (x y)22(16 A 2)解得A 还.当且仅当x y也，y z z x时取等号.333故A 的最大值力.3第二试(A )、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 求a 2 b 2 c 2 d 2的值.又因为6.即 a 2 b 2 c 2 d 2由①,②可得mnmn a 2 b 2b 2c 2ac 2bd ad 2bc故 mn ad2bcac bd 0(1)2a 2 2b 2 3c 23d 2(2) ab a由（1）得一令—2a 2 3c 2 2b 23d 26(3)d cd(ad bc)2 6(4)注：符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，应满足2ad bc 6,解：设m a 2 b 2, n2 2c d ，贝U 2m 3n(2a 22 23c ) (2 b3d 2)12.因 2m 3n 22m 23n 24mn 24mn ,即12224mn ，故 mn因为OA OC ,所以 OCA OAC ,因为 COB所以 2 POB 2 OAC ,所以 POB OAC ,所以 OP // AC连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故 ACB OBP 90°_22解：因为t 是一元二次方程X x 1 0的一个根，显然t 是无理数，且t a dt,b Ct ,代入（2）得t .6于是 a —d,b 2 討a 于d ,bC ，代入（3）或（4）,得 c 2 d 22 , 故符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，如 a 1,c 迈,d3 又如a f,b T ,c 1,d 1也是一组，当然还有很多组二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B,C 9PB作圆O 的切线，交于点 P ，连接AC ，若OP 9AC ，求——的值.2 AC解：连接OC ，因为PC,PB 为圆O 的切线，所以 POC POB二就是3 组.OCA OAC ,又 POBOAC ，所以 BAC s POB ，所以AC OBAB OP9又OP AC , AB 2r ,OB r （ r 为圆O 的半径），代入，得OP23r, AC在Rt POB 中，由勾股定理，得PB 、.OP 2 OB 22為,所以空碧3门.AC 2r3、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 10的一个根，若正整数a,b, m使得等式 at m bt m31m 成立，求ab 的值.1 t .由 at m bt m31m ，得 abt 2m a b t2 2m 31m0，将 t1 t 代入，得ab 1 t ma b t m 31m 0，即卩 ma b因为a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以m a bab 0a b 31 mab m 2于是可得31m m 231m 0ab因此a, b 是关于x 的一元二次方程 x 2m 31 x 31m m ab tab m 31m 0.20的两个正整数根，该方程第二试（B）立，求ab的值.解：因为t 、 2 1，所以t2 3 2.2.由at m bt m 17m，得abt2m a b t m217m 20 ,将t 3 2 2代入，得ab 3 2.2m a b ,2 1 m217m 0 ,整理得m a b 2ab 2 3ab m a b m217m 0a 于是可得ab b 2 17 m17m m2因为a,b,m是正整数，.2是无理数, 所以m(a3abb)m(a2abb)m217m 0因此a,b是关于x的一元二次方程x22(m 17)x 17m m20的两个正整数根,该方程的判别式24 m 17 4 17m4 17 m 17 2m 0.又因为a, b,m是正整数，所以a b 2 17 又因为判别式是一个完全平方数，验证可知,17m 0,从而可得0 m -2m 8符合要求.只有把m 8代入，得ab 17m m272.二、（本题满分25分）在ABC的外心和内心，且满足（1）OI // BC;ABC 中,AB ACAB2OIAC，,求证:0、I分别是(2) S AOC S AOB2S AOI证明：（1）过点O作OM BC于M ，过点I作IN的判别式 2 2m 31 4 31m m 31 m 31 5m 0.又因为a,b是正整数，所以a b31 m 0，从而可得又因为判别式是一个完全平方数, 验证可知，只有m c 310 m -5 6符合要求.把m 6代入，得ab31m m2150.、（本题满分20分）已知t ,2 1，若正整数a,b,m，使at m bt m 17m 成则OM //IN,设BC a,AC b, AB c,由0、I分别是ABC的外心和内心，得1 1 1 CM -a,CN -（a b c ），所以 MN CM CN - （c b ） 01 ,又MN 恰好是两条平行线 0M ,IN 之间的垂线段，所以01也是两条平行线 OM ,IN 之间的垂线段，所以01 // MN ，所以01 // BC . 半径），则 S A0C SAOB S AOI S COI S AIC 2S A0I S BOI S COI S AIC S AIB 2S AOI 2S A0I r OI +(b c) 2S AOI r ^(c 22 （2）由（1 ）知0MNI 是矩形，连接BI ,CI ，设0M b 2 2 三、（本题满分25分）若正数a,b,c 满足一- S AIB S A OI S BOI 1 OI r 1 OI r 1 AC r 1 -AB r 2 2 22 b) 1 (b c) 2S AOI -2 2 2 2 . 2 22 .2 2 2 a c a b a b c3 2ca 2ab 3 IN r （即为 ABC 的内切圆的值.求代数式 b 2 c 2a 2 c 2 a 2b 2 a 2 2bc 2cab 2c 22ab解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设0 a b c.(1) b ，则c 0, c bb 2c 2 2bc 2bc 1,$2ca c a $ b 22ca1,2 . 2 2 a b c 2ab b $ c 2 这与已知条件矛盾 (2)若 c b c 2 2bc 2 2b c 2ab.2 2故3-2bc2ab1,故b 2c 22bcc 2 a 2 b 2 2caa 2b 2c 2 2ab3,b,0从而，得2bc 1,02a 2cab 2 b 2 2ca1,b $c 2 2ab1,02 2 2a b c 2ab2ab1,2 2c a 2cab 222 . 2 2a b c2ab这与已知条件矛盾.综合（1）（ 2）可知，一定有cab. .2 2 2.2 2 2 于是可得bc ab —(a b) abc2b(a b)2 2 2 2 2 2 同理可得E —a ―L 1, ―b —L 2ca 1 2ab,2 2 2 2 2,2 2,2 2.,b c a cababc*故1.2bc2ca2ab2b 2 2b 2 ab i, 2ab。
2013年下学期九年级数学竞赛试题答案
2013年下学期九年级数学竞赛试题时量：120分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知函数y kx b =+的图象如图所示，则一元二次方程210x x k ++-=根的存在情况是（ C ）第1题图 第2题图A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定2. 如上图，ABC △中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC △的位似图形，并把ABC △的边长放大到原来的2倍，记所得的像是''A B C △．设点B 的对应点'B 的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ D ）A ．12a -B ．()112a -+C ．()112a --D ．()132a -+ 3. 已知实数a ，b 分别满足2640a a -+=，2640b b -+=，且a b ≠，则b a a b +的值是（ A ）A ．7B ．7-C ．11D ．11-4. 甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．” 丁说：“反正不是我闯的祸．”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（ D ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5. 若222222b c a c a b k a b c+++===，则k 的值为（ D ） A ． 4 B ． 0 C ．2-或0 D ． 4或2-6. 已知1sin cos 8αα⋅=，4590α︒<<︒，则cos sin αα-=（ B ）A B ．C ．34 D ．7. 已知方程()24210x m x m -++=的两根恰好是一个直角三角形两锐角的余弦值，则m 的值为（ B ）A ．BC ．D ．不能确定8. 如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ C ）第8题图 第9题图A ． 1732B ．12C ．1736D ．17389. 如上图，反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点 M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则 k 的值为（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410. 一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x ，掷第二次，将朝上一面的点数记为y ，则点() x y ，落在直线5y x =-+上的概率为（ C ）A ．118 B ．112 C ．19 D ．14二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 若()()22222340x y x y +++-=，则22x y +=1 ． 12. 下列命题：①有两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等；②三角形的内角至少有一个不小于60︒；③若a ，b ，c 是三角形的三条边，则22220a b c ab +--<；④8点30分，时针与分针的夹角是60︒；⑤若n 是自然数，则2361n n ++不可能为3的倍数，上述命题是真命题的是 ②③⑤ ．13. 在一块长为8、宽为且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是2 ．第13题图 第14题图 第15题图14. 如上图，在一个坡角为30︒的斜坡上有一棵树，高AB ，当太阳光与水平线成60︒时，测得该树在斜坡上的树影BC 的长为6m ，则树高AB =6 m ．15. 如上图一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随坐在其他三个座位上，则B 与D 相邻而坐的概率是23 ． 16. 如图，OPQ △的边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的关系式是()0y x x=> ．第16题图 第17题图17. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列关系式中：0a <①；0abc >②；0a b c ++>③；240b ac ->④．其中不正确的序号是 ③ ．18. 将抛物线()20y ax bx c a =++≠ 向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是()3 10 ， ．三、解答题（共58分）19. （8分）小丁和小王一起玩掷骰子游戏，小王说：我们轮流掷两颗骰子，如果点数之和为2、3、4、5、10、11、12，就算我胜；如果点数之和为6、7、8、9，就算你胜．小丁则认为小王在7种情况下可以获胜，而自己只在4种情况下才能获胜，因此获胜的机会较小，你支持小丁的想法吗？如果请你做裁判，你能设计出公平合理的游戏规则吗？20. 点数和为4、7、8、9，则小丁赢．这样会公平．（10分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度 1i =，10AB =米，15AE =米．（1）（4分）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）（6分）求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1 1.414 1.732）21. （10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点()2 0A -，，与反比例函数在第一象限内的图象的交于点()2B n ，，连接BO ，若4AOB S =△．（1）（6分）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）（4分）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求OCB △的面积．22. （10分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？23. （10分）如图所示，已知在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F ，求证：AB DF AC AF=．24. （10分）如图，在ABC △中，90C ∠=︒， 5 BC m =，12 AC m =．M 点在线段CA上，从C 向A 运动，速度为1 /m s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2 /m s ．运动时间为t 秒．（1）（4分）当t 为何值时，∠AMN=∠ANM ？（2）（6分）当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．。
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x ==，21122y --+==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点（第3题）E可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2 （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，（第4题）（第8题）与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，（第9题答案）D 所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解： ABC S rp∆===（这里2a bcp ++=）所以12r == 2ABC a S ha ===△由△ADE ∽△ABC，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及答案
2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月8日下午4：00—6：00）班级：: 姓名： 成绩： 题 号 一 二 三 四 五 合计 得 分 评卷人 复核人考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的。
将你选择的答案的代号填在题后的括号内。
每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、已知01 x -，则2x -，x ，x1的大小关系是（ ） A 、xx x 12 - B 、x x x21- C 、x x x 12- D 、21x x x- 2、如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作BP PQ ⊥，PQ 交CD 于Q ，若2==CQ AP ，则正方形ABCD 的面积为（ ）A 、246+B 、16C 、2812+D 、323、若实数a ，b 满足0222=+-+b a b ，则a 的取值范围是（ ） A 、1-≤aB 、1-≥aC 、1≤aD 、1≥a4、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒=∠120C ，6=AB ，33-=BC ，6=CD ，则AD 边的长为（ ）A 、36B 、34C 、24D 、335、方程7311=+y x 的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） Q PAC B DACDBA 、0B 、1C 、3D 、56、已知实数x ，y ，z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，则yx z x z y z y x +++++222的值是（ ） A 、1- B 、0 C 、1 D 、2二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、x 是正整数，○x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ．3、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC 的中点，4=AM ，3=AN ，且︒=∠60MAN ，则AB 的长是 ．4、小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入（1-n ）个数，且平均值为30.75，假设这（1-n ）个数输入无误，则漏输入的一个数是 ．三、（本大题满分20分） 解方程02|12|2=---x x四、（本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD 中，CD CB =. 求证：AD AB CB CA ⋅=-22MNACDB五、（本大题满分25分）已知二次函数c bx ax y ++=2和一次函数bx y -=，其中a 、b 、c 满足c b a ，0=++c b a ．()R c b a ∈，，．（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为1A 、1B ．求线段11B A 的长的取值范围。
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）． （A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为21x =， 所以2为根的一元二次方程为2t t +22222]2()(1)2(3)7y y x+-⨯-⨯=--⨯-= 21，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴 ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12 【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =.O 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4ABC DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 为半径上，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，（第4题）（第8题）与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或解：由(x a **依题意有 解得，a 73分钟从迎面驶来一辆1818路公交车总站每隔【答】4．解：设18的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ②由①，②可得 x s 4=，所以 4=xs ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，（第9题答案）所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠ 所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I AB ，AC 相交于点D【答】163． 解：如图，设△BC 边上的高为a h 12a ABC ah S ==△ 所以 a r h 因为△ADE ∽△(1)(1)aa ah a b c -=-++a b c =++，163=．ABC S rp ∆==（这里2a b c p ++=） 所以12r == 2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC ===10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d于是 其中s ，t所以13s -，289，257，故只能是2(13)t +＝289因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
全国初中数学竞赛预赛九年级试题及答案201331
全国初中数学竞赛预赛九年级试题注意：考试时间为120分钟，试卷满分为120分.一、选择题（每小题6分，共30分，以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内）1.设a ＞0＞b ＞c ，1=++c b a ,,,b c a c a bM N P a b c+++===,则,,M N P 之间的关系是:（ ）A M ＞ N ＞ PB N ＞P ＞MC P ＞M ＞ND M ＞P ＞N2.如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且 8=DBCE S 四边形ADE S ∆ 那么:AE AC 等于（ ）A 1 : 9B 1 : 3C 1 : 8D 1 : 23.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ ）A41 B 61 C 81 D 1214.如图,AB 是半圆O 的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是正方形,其中C,D,E 在AB 上, F ,N 在半圆上.若AB =10,则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）A 25B 50C π-30D π250-5.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②若点(,)P a b 在第三象限,则点)1,(+--b a Q 在第一象限;③函数11-=x y 的图象平移后可以和函数11+=xy 的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个B A DE二、填空题（每小题6分，共30分，直接将答案填在题后横线上）6.规定一种运算“*”：对于任意实数对),y x （恒有)1,1(),(),(2--++=*y x y x y x y x 。
若实数b a ,满足),,(),(),(a b b a b a =*则=a ，=b7.50名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳3人和2人的两种帐篷，则有效搭建方案共有 种。
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题(含答案)
M（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会20XX 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A ．41 B ．31C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38B ．39C ．40D . 413．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ） A ．95 B ．59C ．52011-D ．92011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6B . 7C ．8D ．95．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2ba cx xb a y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ） A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图AABCD 中，过A，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF=． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 _______m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．（1） （2）（第5题图）(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（备用图）(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.参考答案一、选择题（每小题5分，共30分） 1—6 C D B A D C二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12. )1,21(-)1,21(--. 三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0. 即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c cb b a解这个方程组，得c b a ==.14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分）………………………………3分（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =． 设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++． ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13 S △OCN ＝2． ················· …………………10分当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1， 如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12••••RD 1•OT ＝12•34b b +•b ＝2.∴234160b b --=， b.∴b 1b 2此时点T 1的坐标为（0）. ········· ……………………………………………15分 ② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2. ∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0，23+），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422ba y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分（2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-（备用图）=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分。
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2013年全国初中数学竞赛试题班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--=（D ）2222(2)0c x b ac x a ---=3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967 （D ）16389967二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．（第7题）三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．（第11题）13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b acx x x x c+--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有（第3题答题）（第3题）理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，（第4题答题）（第4题）（第7题）解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ． 将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分 因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（第11题答题）（第11题）△ABC 为钝角三（ii ）若角形．90A ∠>︒时，因为当()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
-2013年全国初中数学联赛试题及详解
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1 （B ）1 （C （D ）2【答案】（B ）【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）.2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020m m m -≠⎧⎨--=⎩解得，1m =-故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）.3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB =（ ）（A ）2 （B （C ） （D ）3【答案】（A ）【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= ,在Rt ONC ∆中，∵cos CN OCN OC ∠==,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【答案】（B ）【解析】由23725170x xy x y +---=，得2321775x x y x -++=-，因,x y 为正整数，故1,1x y ≥≥，从而750,x ->于是2321775x x x -++≥-，235220x x +-≤，即 (2)(311)0x x -+≤，由1x ≥，知3110x +>，故20x -≤，2x ≤，故1x =或2x =当1x =时，8y =；当2x =时，1y =.故原不定方程的全部正整数解(,)x y 有两组：(1,8)，(2,1),故选（B ）.5.矩形A B C D 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC上,12BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）28 （D ）28【答案】（C ） 【解析】因12BF FC =,故 13BF BF DA BC ==,113BF AD ==,因BF AD ∥,故BNF DNA ∆∆∽,故13FN BF AN DA ==,故11313344FN AN AF AF ==⋅=.延长,D E C B 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知A D E B G E ∆∆≌,故3BG AD ==,134FG BF BG =+=+=,因FG AD ∥,故AMD FMG ∆∆∽,故34AM AD FM FG ==，故3347AM FM AF ==,于是319742828MN AF AM FN AF AF AF AF =--=--===, 故选（C ）.6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（ ）（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014【答案】（B ）【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过n 的正整数中，质数的个数为n a ,合数的个数为n b ,当15n ≤时，列表如下（只考虑n 为奇数的情况）：由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.因15152b a -=，当16n ≥时，在15n =的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有2,n n b a -≥ 故当16n ≥时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为19111334+++=，故选（B ）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= .【答案】4【解析】由4,x y +=得4x y =-，代入129z xy y +=+-，得221(4)2969(3)0z y y y y y y +=-+-=-+-=--≥，故2(3)0y -≤，又2(3)0y -≥，故2(3)0y -=，故3,1,1y z x ==-=，于是234x y z ++=.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n = .【答案】8【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为26(2)n -个，任何面都不是红色的小正方体的总数为3(2)n -个，依题意有236(2)(2)n n -=-，解得8n =(2n =舍去).3.在ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠== ，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则DEF ∆的周长最小值为 .【答案】【解析】分别作点E 关于,AB AC 的对称的,P Q .则,DE PD EF FQ ==.连接,,,,,AE AP AQ DP FQ PQ ,则120PAQ ∠= ,且AP AE AQ ==,从而30APQ ∠= ， 故12cos30PQAP=，PQ =,过点A 作AH BC ⊥于点H ,则sin 10sin 45AH AB B =⋅=⨯= DEF ∆的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ =++=++≥==≥=当且仅当点E 与点H 重合，且,,,P D F Q 四点共线时取得等号，即DEF ∆的周长min l =4.若实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为 .【解析】由已知，得222()()()16x y y z z x -+-+-=，不妨设A x y =-，则[]22222222()()()2()()216()2(16)A x y y x y z z x y z z x x y A ⎡⎤⎡⎤=-=-=-+-≤-+-=--=-⎣⎦⎣⎦解得A ≤.当且仅当x y y z z x -=-=-=时取等号.故A第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222a b c d ++的值.解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223(23)(23)12.m n a c b d +=+++= 因()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，故6mn ≤ ○1 又因为()()()()22222222222222mn a b c d a c b d a d b c ac bd ad bc =++=+++=++-故()26mn ad bc ≥-= ○2由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b c d ++=注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，应满足2222222220(1)2233(2)23236(3)()6(4)ac bd a b c d a c b d ad bc +=⎧⎪+=+⎪⎨+=+=⎪⎪-=⎩ 由（1）得a b d c =-，令a bt d c =-=，则,a dt b ct ==-，代入（2）得2t =2t =-，于是,22a b ==-或,22a dbc =-=，代入（3）或（4），得222cd +=， 故符合条件的实数,,,a b c d存在且不唯一，如1,a b c d ====就是一组.又如1,1a b c d ====也是一组，当然还有很多组. 二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C作圆O 的切线，交于点P ，连接AC ，若92OP AC =，求PB AC的值. 解：连接OC ，因为,PC PB 为圆O 的切线，所以POC POB ∠=∠因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠,因为COB OCA OAC ∠=∠+∠，所以22POB OAC ∠=∠,所以POB OAC ∠=∠,所以OP AC ∥连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故90ACB OBP ∠=∠= 又POB OAC ∠=∠，所以BAC POB ∆∆∽，所以AC AB OB OP =. 又92OP AC =,2AB r =,OB r =（r 为圆O 的半径），代入,得23,3OP r AC r ==. 在Rt POB ∆中，由勾股定理,得PB =,所以3PB AC r ==三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且21t t =-.由()()31at m bt m m ++=，得()22310abt m a b t m m +++-=，将21t t =-代入，得 ()()21310ab t m a b t m m -+++-=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦ 因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20310m a b ab ab m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，于是可得23131a b m ab m m +=-⎧⎨=-⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程的判别式()()()()2231431313150.m m m m m ∆=---=--≥又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求.把6m =代入,得231150.ab m m =-=第二试（B ）一、（本题满分20分）已知1t =-，若正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为1t =-，所以23t =-由()()17at m bt m m ++=，得()22170abt m a b t m m +++-=，将23t =-(())231170ab m a b m m -+++-=， 整理得()()223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+--++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为,,a b m2()203()170m a b ab ab m a b m m +-=⎧⎨-++-=⎩ 于是可得()221717a b m ab m m⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=的两个正整数根， 该方程的判别式()()()()224174174171720.m m m m m ∆=---=--≥又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求.把8m =代入,得21772ab m m =-=.二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB AC >，O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，且满足2AB AC OI -=, 求证：（1）OI ∥BC ;（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-= .证明:（1）过点O 作OM BC ⊥于M ，过点I 作IN BC ⊥于N ， 则OM ∥IN ,设,,BC a AC b AB c ===，由O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，得11,()22CM a CN a b c ==+-，所以1()2MN CM CN c b OI =-=-=， 又MN 恰好是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC .（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接,BI CI ，设OM IN r ==（即为ABC ∆的内切圆半径），则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆-=++---11112222221112()2()()2.222AOI BOI COI AIC AIB AOI AOI AOI AOI S S S S S S OI r OI r AC r AB r S r OI b c S r c b b c S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=+++-=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤=+⋅+-=+⋅-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值. 解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤（1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而，得()2222211,22c b a b c a bc bc --+-=+>()2222211,22c a b c a b ca ca --+-=+> ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=-<-故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这与已知条件矛盾.（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而，得()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()22222011,22c a b c a b ca ca --+-<=+< ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=->-()22222011,22a b c a b c ab ab --+-<=+< 故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与已知条件矛盾. 综合（1）（2）可知,一定有.c a b =+于是可得22222222()221, 22()22b c a b a b a b abbc b a b b ab+-++-+===++同理可得2221,2c a bca+-=22212a b cab+-=-.故2222222221.222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=。
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案 1
一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分）1．（5分）从长度是2cm 、2cm 、4cm 、4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．（5分）（2008•铜仁地区）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，且BN ⊥AN ，垂足为N ，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC 的周长是（ ）A ． 28B ． 32C ． 18D ． 253．（5分）已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0，则yx 的值等于( ) A ． 95 B ． 59 C． 52011- D ． 92011-4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 95．（5分）设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 锐角三角形C ． 钝角三角形D ． 直角三角形6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e ，d ，c ，取出数据的顺序则是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题A ． 5种B ． 6种C ． 10种D ． 12种二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）7．（5分）设方程x 2﹣|2x ﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为 _________ ．8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB=4，BE=5，则DE 的长为 _________ ．8．（5分）（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AFFG 的值为 _________ ．9．（5分）已知a 2﹣a ﹣1=0，且32 ，则x= _________ ．10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 _________ 件．11．（5分）如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，，则电线杆AB 的长为 _________ 米．12．（5分）若实数x ，y ，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为_________．三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求证：a=b=c14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为_________；用含t的式子表示点P的坐标为_________；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分160分，每小题20分）1．（5分）从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）A．B．C．D．1考点：概率公式；三角形三边关系；等腰三角形的判定．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，有4种情况，由于三角形中两边之和应大于第三边，所以能构成等腰三角形的情况有2种，故能构成等腰三角形的概率==．故选C．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A的概率P（A）=；用到的知识点为：等腰三角形有2条边长相等；构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．2．（5分）（2008•铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．25考点：三角形中位线定理．分析：延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．解答：解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN，∴AE=AB=6，BN=NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×1.5=3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，故选D．点评： 本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．3.（5分）已知xy ≠1,且有5x 2+2011x+9=0,9y 2+2011y+5=0，则yx 的值等于( ) A ． 95 B ． 59 C ． 52011- D ． 92011-选B4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9考点：扇形面积的计算；三角形的面积；勾股定理． 专题：计算题． 分析： 如图，AC=4，S 1+S 2=10，设BC=a ，利用圆的面积公式得到S 1+S 2+S 3+S 4=π×22+π×a 2=2π+a 2，于是有S 3+S 4=2π+a 2﹣10①，再用以AB 为直径的半圆减去三角形ABC 的面积得到S 3+S 4，即S 3+S 4=π×﹣×4a=a 2+2π﹣2a ②，有①﹣②得到a 的方程，求出a ，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和． 解答： 解：如图，AC=4，S 1+S 2=10，设BC=a ，∴S 1+S 2+S 3+S 4=π×22+π×a 2=2π+a 2， ∴S 3+S 4=2π+a 2﹣10①， 又∵AB 2=42+a 2=16+a 2，∴S 3+S 4=π×﹣×4a=a 2+2π﹣2a ②， ①﹣②得，2π+a 2﹣10=a 2+2π﹣2a ，解得a=5， ∴S 3+S 4=2π+a 2﹣10=2π+×25﹣10≈6.1， 即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．故选A ．点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR2．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决．5．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形考点：二次函数的最值；勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案；解答：解：由题意可得，即，所以，，因此a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故选D．点评：本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值．6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种考点：加法原理与乘法原理．专题：计算题．分析：此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中，不论怎样排列，a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，这样排列开头的字母只能是a或c，由此解答问题即可．解答：解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，cadbe，cadeb六种情况；综上所知，共10种取法．故选C．点评：解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，从而运用一一列举的方法解答即可．二．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）7．（5分）设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为_________．考点：解一元二次方程-因式分解法；绝对值；解一元二次方程-公式法．专题：因式分解．分析：因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．解答：解：当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜∴x2=﹣1（舍去）∴x=3当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故答案是：2﹣点评：本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为_________．考点：切割线定理；平行四边形的性质；圆周角定理；弦切角定理．分析：连接CE，根据圆周角定理易知：∠BAE=∠BEC+∠EBC，而∠DCB=∠DCE+∠BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC；再由平行四边形的性质知：∠DCB=∠EAB，因此∠BEC=∠BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5，进而可由切割线定理求DE的长．解答：解：连接CE；∵，∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC ，由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE ，∴∠BEC=∠BCE ，即BC=BE=5，∴AD=5；由切割线定理知：DE=DC 2÷DA=，故选D ． 点评：此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，能够判断出△BEC 是等腰三角形，是解决此题的关键．8．（5分）（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则AFFG 的值为 _________ ．考点：特殊角的三角函数值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析：首先证明△CAD ≌△ABE ，得出∠ACD=∠BAE ，证明∠AFG=60°． 解答： 解：在△CAD 与△ABE 中，AC=AB ，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE ，∴△CAD ≌△ABE ．∴∠ACD=∠BAE ．∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠ACD+∠CAE=60°．∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°．在直角△AFG 中， ∵sin ∠FAG=AF FG ， ∴AF FG =21． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度．9．（5分）已知a 2﹣a ﹣1=0，且32 ，则x= ．考点：解分式方程． 专题：计算题． 分析：本题可先根据a 2﹣a ﹣1=0，得出a 2，a 3，a 4的值，然后将等式化简求解．解答： 解：由题意可得a 2﹣a ﹣1=0a 2=a+1a 4=（a 2）2=（a+1）2=a 2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2a 3=a •a 2=a （a+1）=a 2+a=a+1+a=2a+1=32- =32-x=4．点评： 本要先根据给出的a 2﹣a ﹣1=0得出对等式化简有用的一些信息，然后再将方程化简求解．本题计算过程较长，比较复杂．10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 12 件．考点： 二元一次方程组的应用．分析： 设共购商品2x 件，9元的商品a 件，根据两人购买商品的件数相等，且两人购买商品一共花费了172元，可列出方程，求解即可．解答： 解：设共购商品2x 件，9元的商品a 件，则8元商品为（2x ﹣a ）件，根据题意得：8（2x ﹣a ）+9a=172，解得a=172﹣16x ，∵依题意2x ≥a ，且a=172﹣16x ≥0，x 为大于0的自然数，∴可得9.6≤x ≤10.75，∴x=10，则a=12．所以9元的商品12件，故答案填12．点评： 本题主要考查了二元一次方程的应用及不等式组的解法．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．本题解题的关键在于按生活实际讨论未知数的取值范围．11．（5分）如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，，则电线杆AB 的长为 _________ 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 专题：应用题． 分析：延长AD 交地面于E ，作DF ⊥BE 于F ，求出BE=BC+CF+FE=，根据正切求出AB 的值即可．解答： 解：延长AD 交地面于E ，作DF ⊥BE 于F ．∵∠DCF=45°．CD=4．∴CF=DF=．由题意知AB ⊥BC ．∴∠EDF=∠A=60°．∴∠DEF=30° ∴EF=．∴BE=BC+CF+FE=．在Rt△ABE中，∠E=30°．∴AB=BEtan30°=（m）．答：电线杆AB的长为6米．点评：此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．作辅助线、求出BE=BC+CF+FE 是解题的关键．12．（5分）若实数x，y，使得这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为_________．考点：实数的运算．专题：分类讨论．分析：此题可以先根据分母不为0确定x+y与x﹣y不相等，再分类讨论即可．解答：解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x﹣y不等（1）x+y=xy=解得y=﹣1，x=，（2）x﹣y=xy=解得y=﹣1，x=﹣，答案为（﹣1，）（﹣1，﹣）点评：解答本题的关键是确定x+y与x﹣y不相等，再进行分类讨论．三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求证：a=b=c考点：完全平方式．专题：计算题．分析：先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]2，化简有ab+bc+ac=a2+b2+c2，那么就有（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a=b=c．解答：解：原式=3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，∴3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]2，∴ab+bc+ac=（a+b+c）2=（a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc），∴ab+bc+ac=a2+b2+c2，∴2（ab+bc+ac）=2（a2+b2+c2），即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c．点评：本题考查了完全平方式、非负数的性质．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为（6，4）；用含t的式子表示点P的坐标为（t，t）；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数的最值；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质．专题：压轴题．分析：（1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4﹣NP，NP的值可根据相似比求得；（2）由（1）的结论易得△OMP的高为t，而OM=6﹣AM=6﹣t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S△OCN=×4×3=6，∴S△ORT=S△OCN=2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标．解答：解：（1）延长NP交OA于H，∵矩形OABC，∴BC∥OA，∠OCB=90°，∵PN⊥BC，∴NH∥OC，∴四边形CNHO是平行四边形，∴OH=CN，∵OA=6，AB=4，∴点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4﹣NP，∵NP⊥BC，∴NP∥OC，∴NP：OC=BN：CB，即NP：4=（6﹣t）：t，∴NP=4﹣t，∴点P的纵坐标=4﹣NP=t，则点P的坐标为（）；（其中写对B点得1分）（3分）（2）∵S△OMP=×OM×，（4分）∴S=×（6﹣t）×=+2t．=（0＜t＜6）．（6分）∴当t=3时，S有最大值．（7分）（3）存在．由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：．设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得，∴直线ON与MT的交点R的坐标为．∵S△OCN=×4×3=6，∴S△ORT=S△OCN=2．（8分）①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1=RD1•OT=••b=2．∴3b2﹣4b﹣16=0，b=．∴b1=，b2=（不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）．（9分）②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则S△R2NE=•EN•R2D2=••==2．∴b2+4b﹣48=0，b=．∴b1=，b2=（不合题意，舍去）．∴此时点T2的坐标为（0，）．综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件．（10分）点评：此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点．15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）（1）证明：抛物线y=x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．考点：二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式．专题：证明题．分析：（1）由已知求得q=﹣b，代入抛物线y=x2+px+q，得y=x2+px+﹣b，将抛物线y=x2+ax+b的顶点横坐标x=﹣代入可求y的值，确定结果为顶点纵坐标即可；（2）方程x2+ax+b=0与x2+px+q=0的判别式分别为a2﹣4b，p2﹣4q，由2q=ap﹣2b可得出两个判别式的和为非负数，可知其中至少有一个判别式为非负数，故至少有一个方程有实数解．解答：证明：（1）由ap=2（b+q），得q=﹣b，代入抛物线y=x2+px+q，得：﹣y+x2﹣b+p（x+）=0，得，解得：，故抛物线y=x2+px+q通过定点（﹣，）．（2）由2q=ap﹣2b得p2﹣4q=p2﹣2•2q=p2﹣2（ap﹣2b）=（p﹣a）2﹣（a2﹣4b），∴（p2﹣4q）+（a2﹣4b）=（p﹣a）2≥0，∴p2﹣4q，a2﹣4b中至少有一个非负，∴x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．点评：本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点，判别式判断一元二次方程解的运用，明确两个数的和为非负数时，其中至少有一个数为非负数．。
2013年全国初中数学联赛试题与详细讲解
2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1 （B ）1 （C （D ）2【答案】（B ）【解析】原式=1)3)1=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6 【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020m m m -≠⎧⎨--=⎩解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）.3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O于点D ，若CD =，则AB =（ ）（A ）2 （B（C ） （D ）3【答案】（A ）【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则2CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠=,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠=,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠=,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠=,在Rt ONC ∆中，∵cos CN OCN OC ∠==,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【答案】（B ） 【解析】由23725170x xy x y +---=，得2321775x x y x -++=-，因,x y 为正整数，故1,1x y ≥≥，从而750,x ->于是2321775x x x -++≥-，235220x x +-≤，即 (2)(311)0x x -+≤，由1x ≥，知3110x +>，故20x -≤，2x ≤，故1x =或2x =当1x =时，8y =；当2x =时，1y =.故原不定方程的全部正整数解(,)x y 有两组：(1,8)，(2,1),故选（B ）.5.矩形A B C D 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC上,12BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）28（D ）28【答案】（C ）【解析】因12BF FC =,故 13BF BF DA BC ==,113BF AD ==,因BF AD ∥,故BNF DNA ∆∆∽,故13FN BF AN DA ==,故11313344FN AN AF AF ==⋅=.延长,D E C B 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知ADE BGE ∆∆≌,故3BG AD ==,134FG BF BG =+=+=,因FG AD ∥,故AMD FMG ∆∆∽,故34AM AD FM FG ==，故3347AM FM AF ==,于是3197428MN AF AM FN AF AF AF AF =--=--===, 故选（C ）. 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（ ）（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014【答案】（B ）【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过n 的正整数中，质数的个数为n a ,合数的个数为n b ,当15n ≤时，列表如下（只考虑n 为奇数的情况）：由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.因15152b a -=，当16n ≥时，在15n =的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有2,n n b a -≥故当16n ≥时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为19111334+++=，故选（B ）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= .【答案】4【解析】由4,x y +=得4x y =-，代入129z xy y +=+-，得221(4)2969(3)0z y y y y y y +=-+-=-+-=--≥，故2(3)0y -≤，又2(3)0y -≥，故2(3)0y -=，故3,1,1y z x ==-=，于是234x y z ++=.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n = .【答案】8【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为26(2)n -个，任何面都不是红色的小正方体的总数为3(2)n -个，依题意有236(2)(2)n n -=-，解得8n =(2n =舍去). 3.在ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠==，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则DEF ∆的周长最小值为 .【答案】【解析】分别作点E 关于,AB AC 的对称的,P Q .则,DE PD EF FQ ==.连接,,,,,AE AP AQ DP FQ PQ ,则120PAQ ∠=,且AP AE AQ ==,从而30APQ ∠=， 故12cos30PQAP =，PQ =,过点A 作AH BC ⊥于点H ,则 sin 10sin 455AH AB B =⋅=⨯=于是DEF ∆的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ =++=++≥==≥=当且仅当点E 与点H 重合，且,,,P D F Q四点共线时取得等号，即DEF ∆的周长min l =4.若实数,,x y z 满足()2228x y z x y y z z x ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为 .【答案【解析】由已知，得222()()()16x y y z z x -+-+-=，不妨设A x y =-，则[]22222222()()()2()()216()2(16)A x y y x y z z x y z z x x y A ⎡⎤⎡⎤=-=-=-+-≤-+-=--=-⎣⎦⎣⎦解得A ≤.当且仅当x y y z z x -=-=-=时取等号. 故A. 第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d a d b c +=+=-= 求()()2222a b c d ++的值.解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223(23)(23)12.m n a c b d +=+++=因()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，故6mn ≤ ○1 又因为()()()()22222222222222mn a b c d a c b d a d b c ac bd ad bc =++=+++=++- 故()26mn ad bc ≥-= ○2 由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b c d ++=注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，应满足2222222220(1)2233(2)23236(3)()6(4)ac bd a b c d a c b d ad bc +=⎧⎪+=+⎪⎨+=+=⎪⎪-=⎩ 由（1）得a b d c =-，令a b t d c=-=，则,a dt b ct ==-，代入（2）得t =t =，于是,a b ==或,a b ==，代入（3）或（4），得222c d +=， 故符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，如1,a b c d ====就是一组.又如1,122a b c d ==-==也是一组，当然还有很多组. 二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C 作圆O 的切线，交于点P ，连接AC ，若92OP AC =，求PB AC的值. 解：连接OC ，因为,PC PB 为圆O 的切线，所以POC POB ∠=∠因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠,因为COB OCA OAC ∠=∠+∠，所以22POB OAC ∠=∠,所以POB OAC ∠=∠,所以OP AC ∥连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故90ACB OBP ∠=∠=又POB OAC ∠=∠，所以BAC POB ∆∆∽，所以AC AB OB OP =. 又92OP AC =,2AB r =,OB r =（r 为圆O 的半径），代入,得23,3OP r AC r ==. 在Rt POB ∆中，由勾股定理,得PB ==,所以23PB AC r ==. 三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且21t t =-.由()()31at m bt m m ++=，得()22310abt m a b t m m +++-=，将21t t =-代入，得 ()()21310ab t m a b t m m -+++-=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20310m a b a b a b m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，于是可得23131a b m ab m m+=-⎧⎨=-⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程的判别式()()()()2231431313150.m m m m m ∆=---=--≥又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求.把6m =代入,得231150.ab m m =-=第二试（B ）一、（本题满分20分）已知1t =，若正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为1t =-，所以23t =-由()()17at m bt m m ++=，得()22170abt m a b t m m +++-=，将23t =-，得(())231170ab m a b m m -+++-=，整理得()()223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+--++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为,,a b m 是正整数是无理数，所以2()203()170m a b ab ab m a b m m +-=⎧⎨-++-=⎩于是可得()221717a b m ab m m⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程的判别式()()()()224174174171720.m m m m m ∆=---=--≥又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求.把8m =代入,得21772ab m m =-=.二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB AC >，O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，且满足2AB AC OI -=, 求证：（1）OI ∥BC ;（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-= .证明:（1）过点O 作OM BC ⊥于M ，过点I 作IN BC ⊥于N ，则OM ∥IN ,设,,BC a AC b AB c ===，由O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，得 11,()22CM a CN a b c ==+-，所以1()2MN CM CN c b OI =-=-=， 又MN 恰好是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC .（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接,BI CI ，设OM IN r ==（即为ABC ∆的内切圆半径），则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆-=++---11112222221112()2()()2.222AOI BOI COI AIC AIB AOI AOI AOI AOI S S S S S S OI r OI r AC r AB r S r OI b c S r c b b c S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=+++-=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤=+⋅+-=+⋅-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值. 解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤（1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而，得()2222211,22c b a b c a bc bc --+-=+>()2222211,22c a b c a b ca ca --+-=+>()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=-<-故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这与已知条件矛盾.（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而，得 ()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()22222011,22c a b c a b ca ca --+-<=+< ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=->-()22222011,22a b c a b c ab ab --+-<=+< 故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与已知条件矛盾. 综合（1）（2）可知,一定有.c a b =+ 于是可得22222222()221,22()22b c a b a b a b ab bc b a b b ab+-++-+===++ 同理可得2221,2c a b ca+-=22212a b c ab +-=-. 故2222222221.222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=。
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967 （B ）1821967 （C ）5463967 （D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：（第7题）45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=；（ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）（第7题答题）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE，BE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形． 当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
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C （第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41B ．31 C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则yx的值等于（ ）A ．95 B ．59 C ．52011- D ．2011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种（1） （2）（第5题图）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图A中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T（备用图）(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C 二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12. )1,21(-)1,21(--.三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得c b a ==.14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分） ··· ………………………………3分（2）∵S △OMP =12×OM ×23t ， ∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =．设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++．∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13S △OCN ＝2． ··················· …………………10分 一、当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1，二、如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12•RD 1•OT ＝12•34b b+•b ＝2.∴234160b b --=， b∴b 1 b 2 舍去）此时点T 1的坐标为（0）. ········ ……………………………………………15分② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2. ∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）．∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422b a y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分（2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p（备用图）∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分。