Chap1连续体力学4_习题课

（2）设在水面下 x 处另开一小孔可使水流的水平射 程与前者相等，有 x h 舍掉 4 x( H x) 4h( H h) x H h dR （3）由极值条件，在 0 时，R 出现最大值， dh 即 H H 2h R H 0 h 2 Hh h2
2( H h) 2 gh 4h( H h) g
v 2gh2
C
一个厚度很薄的圆形肥皂泡，半径为R，肥皂液的 表面张力系数为 ；泡内外都是空气，则泡内外的 压强差是（ ）
4 （A） R
（B）2 R


2 （C） R
2 (D) 3R
（A）
根据液体表面张力的公式 f l 可知，液体表面 张力只存在于 l 处。
✗
由泊肃叶公式可知具有黏滞性的流体在圆形流管中 流动中心流速最大为 vm ，则平均流速与最大流速的 关系是（ ） （A）v 2vm （B）v
第一章 连续体力学
（Mechanics of continuous medium)
主讲人：戴占海
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图a所示为一装有高压气体的薄壁圆柱形容器的横断 面，壁厚为d，圆柱半径为R，气体压强为p，求壁内 沿圆周切向的应力（不计容器自重和大气压）
F s S 17 10 6 10
7
4
1.02 10 N
5
碎裂时的应变为：
17 107 0.017 1.7% 10 E 1 10
s
习题1-3 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫 的飞翔机构中的弹性蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。今 有一个截面积为 30cm2的弹跳蛋白，施加 270N的力后 其长度为原长的 1.5倍，求弹跳蛋白的杨氏模量。 解：物体内部某截面上的应力s 可以表示为:
提供了一个判断流动类型的标准。 雷诺数 是表征液体表面张力大小的特征量。
表面张力系数
斯托克斯公式描述物体在液体中运动受到的黏滞 力，表达式是____________。
F 6rv
如图所示为应用虹吸现象从水库引水的示意图。已知 虹吸管粗细均匀，其最高点B比水库水面高出h1为3.0 m，管口C又比水库水面低h2为5.0 m，求虹吸管内的 流速及B点处的压强（已知大气压强为1.013105 Pa） 1 2 1 2 p A v A ghA pC vC ghC B 2 2
pA pC p0
hA hC h2
vA 0 v B vC v
A
h1
h2
1 2 1 2 p A v A gh A p B v B ghB 2 2 1 2 1 2 pB p A v A ghA v B ghB hB hA h1 2 2 1 pB p0 gh1 2 gh2 p0 g(h1 h2 ) 2
√
在牛顿黏滞定律中，黏滞力可以定量地表示为
dv F S dy
其中比例系数 代表 _________。 黏滞系数（或黏度）
请设计一种测量液体表面张力系数的方法。
教材P30——拉脱法，练习题1-7——液滴法
1)拉脱法
P 2γl
2)液滴法
f mg/n f πγd
mg n d
问题：若用一根细玻璃管将两个半径大小不同的肥 皂 泡连通起来，那么这两个肥皂泡的大小将如何变化？
pin pout
2 R
分析：对半径较小的肥皂泡来说，泡内的气体将 被压入到半径较大的肥皂泡中去，从而变得越来 越小，直至消失。半径较大的肥皂泡则随着气体 被压入而逐渐变大。
例：已知20℃时水的表面张力为0.0728N.m-1，如 果把水分散成小水珠，试计算当水珠半径分别为 1.00×10-3，1.00×10-4，1.00×10-5cm时，曲面下 的附加压强。
解：截取如图b所示的一半圆柱 形容器和气体作为隔离体，设 容器的长度为l。 气体对器壁的压力2pRl与器壁 的应力2σld相抗衡，按力的平 衡条件有： － 2pRl＋ 2σld＝0 ∴σ＝pR/d
习题1-1 要设计一个最大起重量为8.9×104N的起重机， 所用钢丝绳的最小直径应该是多少？（钢的弹性极限为
解：将r=1.00×10-3，1.00×10-4，1.00×10-5cm分 别代入拉普拉斯公式
2γ Δp R
可得附加压强分别为：
Δp 1.456 10 ， 1.456 10 ， 1.456 10 pa
4 5 6
思考题1-5 在自然界中经常会发现这样一种现象，在 傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。 试解释这种现象的成因。 答：根据对毛细想象的物理分析可知，由于水的表面 张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随温度的 变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。在 白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤 表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间 的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土 壤表层变得干燥。相反，在夜间，土壤表面的温度较 低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的 毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度 下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。
在重力作用下，静止液体内的压强随液体高度变 化的表达式为 。
P P0 gh
已知20℃时水的表面张力为0.0728N/m，如果把水分 散成小水珠，试计算当水珠半径分别为1.00×10-3cm 时，曲面下的附加压强为___________。
2 Δp 1.456 104 Pa R
在重力作用下，液体压强随高度增加而增加。（ ） × 对液体表面张力系数而言，温度愈高，表面张力 系数愈小。（ ）
例：横截面是4m2的水箱，下端装有一导管，水以 2m/s从导管流出，如果导管横截面是10cm2，那么 水箱里的水的下降速度是多少？
解：设 S1 4m 2 , S2 10cm2 ,V2 2m / s
由连续性原理有 S1V1 S2V2 ，代入数据，得
V1 5 104 m / s
练习题1-12 欲用内径为1cm的细水管将地面上内径 为2cm的粗水管中的水引到5m高的楼上。已知粗水 管中的水压为 4 105 Pa，流速为4m/s。若忽略水 的粘滞性，问楼上细水管出口处的流速和压强为多 少? 解：设粗水管处的流速为 v 1 ，截面积为 S1 ，内径 为 d1 ；细水管处的流速为 v2 ，截面积为 S 2，内径 为 d 2 ，由连续性原理有
质量
理想流体的伯努利方程适用条件是忽略流体的黏 滞性。
×
一个容器内水的高度为H，在水面下h处的侧壁开一 个小孔，问（1）从小孔射出的水流在池底的水平射 程R是多少？（2）在水面以下多深的地方另开一小孔 可使水流的水平射程与前者相等？（3）h 为多少时 射程最远？最远射程为多少？
解：（1）设水池表面压强为 p1、 流速为 v 1，高度为 h1，小孔处压 强为 p2 。流速为 v2 、高度为 h2 ， 由伯努利方程有
大，小
1 2 1 2 p2 p1 v1 gh1 v 2 gh2 2 2
代入已知数据解得
1000kg/m3
p2 2.3 105 Pa
一个膜厚度很薄的圆形肥皂泡，半径为R，肥皂 液的表面张力系数为 ；泡内外都是空气，则泡内 外的压强差为 。 4 Δp R 连续性原理在物理本质上体现了理想流体在流 动中 守恒。
3×108Pa）
解：若钢丝绳的半径为r ，绳内部某截面上的应力s 为
f f s 2 s r
由此解出 r
f
s
钢丝绳的最小直径为
D 2r 4f
s
4 8.9 104 1.95cm 8 3.14 3 10
例 股骨是大腿的主要骨骼，成年人股骨的截面积约为 6×10-4m2，问受压负荷多少时将发生碎裂?假定直至碎 以前，应力－应变关系还是线性，求发生碎裂时的应 变。抗压强度，s 17 107 N m 2 ，骨的杨氏模量 为 E 1 1010 N m 2 。 解：导致骨碎的作用力：
qV Sv
v 为流速
理想流体的连续性原理是不可压缩的流体作定 常流动时，在同一流管中流量为常量。即
S1v1 S2v2 常量
在物理本质上，连续性原理体现了不可压缩的 流体在流动中的质量守恒。
连续性原理和伯努利方程是根据什么原理推导的？ 它们的使用条件是什么？如果液体有黏滞性，伯 努利方程还能使用吗？ 答：连续性原理是根据质量守恒原理推导的，伯 努利方程是根据功能原理和连续性原理推导的。 它们使用的条件是只考虑液体的流动性，而忽略 液体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是 定常流动。如果液体具有黏滞性，伯努利方程不 能使用，需要加以修正。
泊肃叶公式和斯托克斯公式的使用条件是什么？ 答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的稳定流动， 并且液体具有黏滞性。斯托克斯公式适用于球形 物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。
影响液体表面张力系数大小的主要因素有二：一是温 度，二是表面活性物质。温度越低，液体表面张力系 数越__________，添加表面活性物质，液体表面张力 系数变__________。
问题：图示为一个膜厚度很薄的肥皂泡，泡内外均为 空气，则泡内外的压强差是多少？
凸形球面液膜：
pin pout
凹形球面液膜：
pin pout
2 R 2
R
p2
p3 p1
r1
r2
2 p1 p2 r1
2 p2 p3 r2
4 p1 p3 R
r1 r2 R
v1 S1 v2 S2
解出细水管出口处的流速为
v1 S1 4 (1 102 )2 v2 16m / s 2 2 S2 (0.5 10 )