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2020-2021北京市北京四中九年级数学上期末模拟试题(带答案)

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北京市第四中学2020-2021学年九年级数学第一学期期末综合测试十一试卷

北京市第四中学2020-2021学年九年级数学第一学期期末综合测试十一试卷

AE 期末综合测试十一学校班级 姓名 考号一、选择题(本题共 24 分，每小题 3 分，下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的） 1．抛物线 y = (x -1)2+ 2 的对称轴是A ． x = -1B ． x = 1C ． x = -2D ． x = 22．在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则sin A 的值为3．如图，线段 BD ，CE 相交于点 A ，DE ∥BC ．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5， 则 BC 的长为 A ．1 B ．2C ．3D ．4CD4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE ．若点 D 在线段ABC 的延长线上，则∠B 的大小为 EA ．30°B ．40°C ．50°D ．60°B C D5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC = 3:2，∠A = α，∠C = β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S 1 和 S 2 ，△OAB与△OCD 的周长分别是C 1 和C 2 ，则下列等式一定成立的是6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不．经过 A ．点 M B ．点 N C ．点 P D ．点 Q7．如果在二次函数的表达式 y = ax 2 +bx + c 中，a > 0 ，b < 0 ，c < 0 ，那么这个二次函数的图象可能是3 COD（A ） （B ） （C ） （D ）8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC = DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是AB图 1图 2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．方程 x 2- 2x = 0 的根为．10．已知∠A 为锐角，且tan A = 3 ，那么∠A 的大小是°．11．如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为 4，则弦 AB 的长为 ． 12．如图，抛物线 y = ax 2+ bx + c 的对称轴为 x = 1，点 P ，点 Q 是抛物线与 x轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点 A ，点 C ，若∠P = 60°，PA= ，则 AB 的长为 ．初三年级（数学） 第 2 页（共 6 页）yO xy O xy Ox y O xyO 1.097.49 9.6817.12xA CODB2 15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m ，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ．交通 信号灯16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 2sin 30 ° -2 cos 45 ° + 8 ．18．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3的长．A，AC = 5， sin C = 3，求 BC5BC黄 3.2m绿0.8m20m10mx m已知：平面内一点 A ． 求作：∠A ，使得∠A = 30°． 作法：如图，D（1）作射线 AB ；AO C B（2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C ；（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D ，作射线 AD ．∠DAB 即为所求的角．19．已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板， 在边 AB 上选取一点 M ，分别以 AM 和 MB 为边 截取两块相邻的正方形板料. 当 AM 的长为何值时， 截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?20．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = -x 2 + mx + n 经过点 A (-1,0) 和 B (0,3) . （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与 x 轴的正半轴交于点 C ，连接 BC ．设抛物线的顶点 P 关于直线 y = t的对称点为点 Q ，若点 Q 落在△OBC 的内部，求 t 的取值范围．A21．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC ，过点 D 作 DE ∥AB 交弦BC 于点 E ，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF = DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长．22．如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒ ，∠C = 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50°至 AD ' ，连接 BD ' ．已知 AB = 2cm ，设 BD 为 x cm ，B D '为 y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程， 请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）DOB EC F（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x / cm0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y / cm1.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD ' 的长度的最小值约为 cm ； 若 BD ' ≥ BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是．23．已知二次函数 y = ax 2- 4ax + 3a ．（1）该二次函数图象的对称轴是 x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最大值是 2，求当1 ≤ x ≤ 4 时， y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点 P (x 1，y 1 ) 合图象，直接写出t 的最大值．， Q (x 2，y 2 ) ，当t ≤ x 1 ≤ t +1， x 2 ≥ 5 时，均满足 y 1 ≥ y 2 ，请结24．对于⊙C 与⊙C 上的一点 A ，若平面内的点 P 满足：射．线．AP 与⊙C 交于点Q （点 Q 可以与点 P 重合），且 1 ≤PA≤ 2 ，则点 P 称为点 A 关于⊙C 的“生长点”．QA已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A （-1，0）．（1）若点 P 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点 P 的坐标；（2）若点 B 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且满足 tan ∠BAO = 1 ，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；2（3）直线 y = 3x + b 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是．yy5 5 4 4 3 3 2211AA–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x–3 –2 –1 O–1–2 –3 –4 –5 –612345 x25．在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC ．（1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD ，CE 交于点 Q ，请判断“ QB =2QA ”是否正确：（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA ，PB ，且PB = ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP = 30°，求∠PAB 的大小；PA ．②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC ，设∠APC = α，∠BPC = β，用等式表示 α，β 之间的数量关系， 并证明你的结论．A AABCB CB C图 1 图 2 图 3PPEQD2。

2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案

2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案

2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案一、选择题1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A ．MB ．PC ．QD ．R 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( ) A ．2 B ．1C ．0D ．﹣13．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y ＝﹣2（x +1）2+1B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣14．已知y 关于x 的函数表达式是24y ax x a =--，下列结论不正确的是（ ） A ．若1a =-，函数的最大值是5B ．若1a =，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．无论a 为何值时，函数图象一定经过点(1,4)-D ．无论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点5．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167．抛物线2y x 2=-+的对称轴为 A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0=8．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A．68°B．58°C．72°D．56°9．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．8433π-C．8233π-D．843π-10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．40°C．35°D．30°12．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为1 3D．“概率为1的事件”是必然事件二、填空题13．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．14．如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知8CD =，3OE =，则O e 的半径为______.15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.16．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．17．关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．18．一元二次方程22x 20-=的解是______．19．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．20．已知扇形的面积为12πcm 2，半径为12cm ，则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．如图，在⊙O中，点C为»AB的中点，∠ACB＝120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若CE＝4，求弦AB的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．24．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销售量y（吨）与销售价x（万元）之间的函数关系为y＝-x＋2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）当每吨销售价为多少万元时利润最大？并求出最大利润是多少？25．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．A解析：A【解析】【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论．【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1，∴k=2，故选A．【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．3．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．4．D解析：D【解析】【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.【详解】当1a =-时，()224125=--+=-++y x x x ， ∴当2x =-时，函数取得最大值5，故A 正确； 当1a =时，()224125y x x x =--=--， ∴函数图象开口向上，对称轴为2x =， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故B 正确； 当x=1时，44=--=-y a a ，∴无论a 为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C 正确；当a=0时，y=-4x ，此时函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，故D 错误； 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．A解析：A 【解析】 【分析】先画树状图求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可． 【详解】 画树状图如下：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有2种，所以同时摸到红球的概率是21 63 =．故选A．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．8．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12=（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【解析】【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【详解】连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=125°﹣90°=35°，∴∠AOD=2∠ACD=70°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠ADO=55°．∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．12．D解析：D【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C错误；D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D.二、填空题13．不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起所以明天的太阳从西方升起这个事件属于不可能事件故答案为:不可能解析：不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起,所以”明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件,故答案为:不可能.14．5【解析】【分析】连接OD根据垂径定理求出DE根据勾股定理求出OD即可【详解】解：连接OD∵CD⊥AB于点E∴DE=CE=CD=×8=4∠OED=90°由勾股定理得：OD=即⊙O的半径为5故答案为：解析：5【解析】【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【详解】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，∴DE=CE= 12CD=12×8=4，∠OED=90°，由勾股定理得：2222345OE DE+=+=,即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．15．(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差据此即可列出方程【详解】根据题意得：（x+1）2-1=24即：（x+1）2=25故答案为（x+1）2=25【点睛】本题考查了一元二解析：(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.【详解】根据题意得：（x+1）2 -1=24，即：（x+1）2 =25．故答案为（x+1）2 =25．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法.16．C【解析】分析：样本容量相同观察统计表可以看出C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小即可得出结论详解：样本容量相同C 线路上的公交车用时超过分钟的频数最小所以其频率也最小故答案为C 点睛：考查用频率估计解析：C 【解析】分析：样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.详解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故答案为C ．点睛：考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.17．且【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即可得判别式继而可求得a 的范围【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得：方程是一元二次方程的范围是：且故答案为：且【点睛】本题解析：1a 4>-且a 0≠ 【解析】 【分析】由关于x 的一元二次方程2ax x 10++=有两个不相等的实数根，即可得判别式0V >，继而可求得a 的范围． 【详解】Q 关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，()22b 4ac 14a 114a 0∴=-=-⨯⨯-=+>V ，解得：1a 4>-， Q 方程2ax 2x 10-+=是一元二次方程，a 0∴≠，a ∴的范围是：1a 4>-且a 0≠，故答案为：1a 4>-且a 0≠． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．18．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x 1＝1，x 2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．19．【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得【详解】解：所有可能的结果如下表：男1 男2 女1 女2 男1 （男1男2）（男1女1解析：2 3【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得．【详解】解：所有可能的结果如下表：的结果有8种，所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为812=23，故答案为23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30°解析：30°【解析】设圆心角为n°，由题意得：212360nπ⨯=12π，解得：n=30，故答案为30°．三、解答题21．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．22．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OA，由»»CA CB，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出=∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；（2）由题意得OC⊥AB，Rt△BCE中，由三角函数得AB的长．【详解】（1）证明：如图，连接OA，∵»»=CA CB，∴CA＝CB，又∵∠ACB＝120°，∴∠B＝30°，∴∠O＝2∠B＝60°，∵∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣（∠O+∠D）＝90°，∴AD与⊙O相切；（2）∵∠O＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACB＝2∠ACO，AC＝BC，∴OC⊥AB，AB＝2BE，∵CE＝4，∠B＝30°，∴BC＝2CE＝8，∴BE22BC CE2284-3∴AB＝2BE＝3∴弦AB的长为3．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π．【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD ﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．24．（1）当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．【解析】【分析】（1）由销售量y=-x+2.6，而每吨的利润为x-0.4，所以w=y（x-0.4）；（2）解出（2）中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法.【详解】解：（1）设销售利润为w万元，由题意可得：w=（x-0.4）y=（x-0.4）（-x+2.6）=-x2+3x-1.04，令w=0.96，则-x2+3x-1.04=0.96解得x1=1，x2=2，答：当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）w=-x2+3x-1.04=-（x-1.5）2+1.21，当x=1.5时，w最大=1.21，∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是掌握题中的数量关系，列出相应方程和函数表达式.25．1 3【解析】【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．。

2022年北京市第四中学九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析

2022年北京市第四中学九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,ABC 的三个顶点都是网格线的交点．已知(22)A -，,()12C --，,将ABC 绕着点C 顺时针旋转90︒,则点B 对应点的坐标为（ ）A ．()2,2-B ．()5,3--C ．()2,2D ．()0,0 2．若反比例函数k y x =的图象经过点（2，-3），则k 值是（ ） A ．6 B ．-6 C ．16 D ．16- 3．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）A ．3B ．2131+C ．9D ．104．如图，经过原点O 的⊙P 与x y 、轴分别交于A B 、两点，点C 是劣弧OB 上一点，则ACB ∠（ ）A ．是锐角B ．是直角C ．是钝角D ．大小无法确定5．将二次函数y ＝2x 2﹣4x +5的右边进行配方，正确的结果是（ ）A ．y ＝2（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝2（x ﹣2）2﹣3C ．y ＝2（x ﹣1）2+3D ．y ＝2（x ﹣2）2+36．以下事件属于随机事件的是（ ）A ．小明买体育彩票中了一等奖B ．2019年是中华人民共和国建国70周年C ．正方体共有四个面D ．2比1大7．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1 200牛时，汽车的速度为( )A ．180千米/时B ．144千米/时C ．50千米/时D ．40千米/时8．如图，在平面直角坐标系中，点()2,5P 、(),Q a b ()2a >在函数k y x=()0x >的图象上，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着a 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）A ．增大B ．减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小9．关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．1B ．﹣4C ．3D ．410．如图，在半径为50mm 的O 中，弦AB 长50mm ，则点O 到AB 的距离为（ ）A ．50mmB ．253mmC ．25mmD ．252mm二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在平面直角坐标系中，()()()0,00,22,0O A B ，，,P 是经过O,A,B 三点的圆上的一个动点（P 与O,B 两点不重合），则OAB ∠=__________°，OPB ∠=__________°.12．如图，Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝1．动点P 以每秒3个单位的速度从点A 开始向点C 移动，直线l 从与AC 重合的位置开始，以相同的速度沿CB 方向平行移动，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 移动到与点C 重合时，点P 和直线l 同时停止运动．在移动过程中，将PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在直线l 上，点F 的对应点记为点N ，连接BN ，当BN ∥PE 时，t 的值为_____．13．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞PB ．若AB ＝2，则AP ＝_____．14．如图，是某同学制作的一个圆锥形纸帽的示意图，则围成这个纸帽的纸的面积为______．15．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．16．如图，在菱形ABCD 中，边长为10，60A ∠=︒．顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形1111D C B A ；顺次连结四边形1111D C B A 各边中点，可得四边形2222A B C D ；顺次连结四边形2222A B C D 各边中点，可得四边形3333A B C D ；按此规律继续下去…．则四边形2019201920192019A B C D 的周长是_________．17．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．18．如图，点B ，E 分别在线段AC ，DF 上，若////AD BE CF ，3AB =，2BC =， 4.5DE =，则DF 的长为________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）20．（6分）如图，已知△ABC ，∠B =90゜，AB =3，BC =6，动点P 、Q 同时从点B 出发，动点P 沿BA 以1个单位长度/秒的速度向点A 移动，动点Q 沿BC 以2个单位长度/秒的速度向点C 移动，运动时间为t 秒．连接PQ ，将△QBP 绕点Q 顺时针旋转90°得到△QB P ''，设△QB P ''与△ABC 重合部分面积是S ．（1）求证：PQ∥AC；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．21．（6分）解方程：(1)x2﹣1x+5=0(配方法) (2)(x+1)2=1x+1．22．（8分）图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的，其转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．当AC长度为9m，张角∠CAE为112°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.1．）23．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）x2+2x＝3；（2）2x2﹣6x+3＝1．24．（8分）某化肥厂2019年生产氮肥4000吨，现准备通过改进技术提升生产效率，计划到2021年生产氮肥4840吨.现技术攻关小组按要求给出甲、乙两种技术改进方案，其中运用甲方案能使每年产量增长的百分率相同，运用乙方案能使每年增长的产量相同.问运用哪一种方案能使2020年氮肥的产量更高？高多少？25．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且32 AEEC．（1）求BFFC的值；（2）联结EF，设BC=a，AC=b，用含a、b的式子表示EF．26．（10分）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B 顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，A B '与直径AB 交于点C ，连接点与圆心O′.（1）求BC 的长；（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】由(22)A -，,()12C --，,确定坐标原点的位置，再根据题意画出图形，即可得到答案. 【详解】如图所示：∴点B 对应点的坐标为()0,0．故选：D ．【点睛】本题主要考查平面坐标系中，图形的旋转变换和坐标，根据题意，画出图形，是解题的关键.2、B【分析】直接把点()23-，代入反比例函数解析式即可得出k 的值．【详解】∵反比例函数k y x =的图象经过点()23-，， ∴32k -=， 解得：6k =-．故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3、C【解析】如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1，求出OP 1，如图当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1，交⊙O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1．∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，∴AB 2＝AC 2+BC 2，∴∠C ＝20°．∵∠OP 1B ＝20°，∴OP 1∥AC ．∵AO ＝OB ，∴P 1C ＝P 1B ，∴OP 112=AC ＝4，∴P 1Q 1最小值为OP 1﹣OQ 1＝1，如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2经过圆心，经过圆心的弦最长，P 2Q 2最大值＝5+3＝8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是2．故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ 取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．4、B【分析】根据圆周角定理的推论即可得出答案．【详解】∵ACB ∠和AOB ∠对应着同一段弧AB ，∴90ACB AOB ∠=∠=︒，∴ACB ∠是直角．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．5、C【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y ＝2（x 2﹣2x ）+5，配方得，y ＝2（x 2﹣2x+1）+5﹣2，即y ＝2（x ﹣1）2+1．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x-h)2+k ；两根式：y= ()12).a x x x x --（6、A【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据随机事件定义可以作出判断．【详解】A 、小明买体育彩票中了一等奖是随机事件，故本选项正确；B 、2019年是中华人民共和国建国70周年是确定性事件，故本选项错误；C 、正方体共有四个面是不可能事件，故本选项错误；D 、2比1大是确定性事件，故本选项错误；故选：A ．【点睛】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7、C【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点（3000,20），代入v k F=(k 0≠),即可求出反比例函数的解析式，再求出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可. 【详解】设函数为v k F=(k 0≠), 代入（3000,20），得203000k =，得k=60000，∴60000v F=， ∴牵引力为1 200牛时，汽车的速度为60000v 1200== 50千米/时,故选C. 【点睛】此题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式.8、A【分析】首先利用a 和b 表示出AC 和CQ 的长，则四边形ACQE 的面积即可利用a 、b 表示，然后根据函数的性质判断．【详解】解：AC ＝a−2，CQ ＝b ，则S 四边形ACQE ＝AC•CQ ＝（a−2）b ＝ab−2b ．∵()2,5P 、(),Q a b 在函数k y x=()0x >的图象上， ∴ab 25=⨯＝k ＝10（常数）．∴S 四边形ACQE ＝AC•CQ ＝10−2b ，∵当a ＞2时，b 随a 的增大而减小，∴S 四边形ACQE ＝10−2b 随a 的增大而增大．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用b 表示出四边形ACQE 的面积是关键.9、D【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】由题意可知：△＝16﹣4a ≥0且a ≠0，∴a ≤4且a ≠0，所以a 的最大值为4，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.10、B【分析】过点O 作OC ⊥AB 于点C ，由在半径为50cm 的⊙O 中，弦AB 的长为50cm ，可得△OAB 是等边三角形，继而求得∠AOB 的度数，然后由三角函数的性质，求得点O 到AB 的距离．【详解】解：过点O 作OC ⊥AB 于点C ，如图所示：∵OA=OB=AB=50cm ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60°，∵OC ⊥AB 3sin 6050253(cm)2OC OA ︒∴=⋅=⨯= 故选：B【点睛】 此题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角函数,熟练掌握垂径定理，证明△OAB 是等边三角形是解决问题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、45 45或135【分析】易证△OAB 是等腰直角三角形，据此即可求得∠OAB 的度数，然后分当P 在弦OB 所对的优弧上和在弦OB 所对的劣弧上，两种情况进行讨论，利用圆周角定理求解．【详解】解：∵O （0，0）、A （0，2）、B （2，0），∴OA=2，OB=2，∴△OAB 是等腰直角三角形．∴∠OAB=45°，当P 在弦OB 所对的优弧上时，∠OPB=∠OAB=45°，当P 在弦OB 所对的劣弧上时，∠OPB=180°-∠OAB=135°．故答案是：45°，45°或135°．【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解应分两种情况进行讨论是关键．12、40 21【分析】作NH⊥BC于H．首先证明∠PEC＝∠NEB＝∠NBE，推出EH＝BH，根据cos∠PEC＝cos∠NEB，推出EC PE＝EHEN，由此构建方程解决问题即可．【详解】解：作NH⊥BC于H．∵EF⊥BC，∠PEF＝∠NEF，∴∠FEC＝∠FEB＝90°，∵∠PEC+∠PEF＝90°，∠NEB+∠FEN＝90°，∴∠PEC＝∠NEB，∵PE∥BN，∴∠PEC＝∠NBE，∴∠NEB＝∠NBE，∴NE＝NB，∵HN⊥BE，∴EH＝BH，∴cos∠PEC＝cos∠NEB，∴ECPE＝EHEN，∵EF ∥AC ， ∴EF AC ＝BE BC， ∴10EF ＝16316t -， ∴EF ＝EN ＝58(1﹣3t )，＝1(163)25(163)8t t --， 整理得：63t 2﹣960t +100＝0，解得t ＝4021或403(舍弃)， 故答案为：4021． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13【详解】解：如果一点为线段的黄金分割点，那么被分割的较短的边比较大的边等于较大的边比上这一线段的长=12≈0.618. ∵AB=2，AP ﹥BP,∴×14、2300cm π【分析】根据已知得出圆锥的底面半径为10cm ，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，即可得出答案．【详解】解：底面圆的半径为10，则底面周长=10π，侧面面积=12×10π×30=300πcm 1． 故答案为：300πcm 1．【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解决问题的关键，此问题是中考中考查重点．15、30°【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD 减去∠AOB 即可.【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°， ∴∠AOD=∠BOD －∠AOB=45°－15°=30°. 故答案为30°. 16、20185532+ 【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．【详解】∵菱形ABCD 中，边长为10，∠A=60°，设菱形对角线交于点O ，∴30DAO ∠=︒，∴152OD AD ==，353AO OD ==， ∴10BD =，103AC =，顺次连结菱形ABCD 各边中点，∴△AA 1D 1是等边三角形，四边形A 2B 2C 2D 2是菱形，∴A 1D 1=A A 1=12AB =5，C 1D 1 =123，A 2B 2=C 2D 2=C 2B 2=A 2D 2=12AB=5， ∴四边形A 2B 2C 2D 2的周长是：5×4=20， 同理可得出：A 3D 3=5×12，C 3D 3=12C 1D 1=12⨯3 A 5D 5=5212⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，C 5D 5=12C 3D 3=212⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3∴四边形A 2019B 2019C 2019D 2019的周长是：20185532+ 故答案为：20185532+ 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键． 17、14【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=14cm 1， 故答案为14．18、7.1【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：////AD BE CF ，∴AB DE BC EF=，即3 4.52EF =， 解得，3EF =，7.5DF DE EF ∴=+=，故答案为：7.1．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．三、解答题(共66分)19、17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，∴30,ACB ∠=︒∴20AB BC ==米，在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD CBD BC ∠= ∴sin60,CD BC︒=,20CD =∴CD =米，∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.20、（1）见解析；（2）()22260744843661555716913555t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<≤⎪⎩ 【分析】（1）由题意可得出236BP t BQ t AB BC ===，继而可证明△BPQ ∽△BAC ，从而证明结论； （2）由题意得出QP`⊥AC ，分三种情况利用相似三角形的判定及性质讨论计算．【详解】解：（1）∵BP=t ，BQ=2t ，AB=3，BC=6 ∴236BP t BQ t AB BC === ∵∠B=∠B∴△BPQ ∽△BAC∴∠BPQ=∠A∴PQ ∥AC（2）∵BP=tBQ=2t∴P`Q=5t∵AB=3 BC=6 ∴AC=35∵PQ∥AC∴QP`⊥AC当0<t≤67时，S=t2当67<t≤1时：设QP`交AC于点M P`B`交AC于点N∴∠QMC=∠B=90°∴△QMC∽△ABC∴CQ QM AC AB=3 35QM=∴QM=52) 5t-∵5∴P`M= 6525756555555t t t -+=- 又∵∠P`=∠BPQ=∠A∴△P`NM ∽△ACB ∴'AB BC P M MN= ∴MN=2P`M∴S △P`MN =12P`M·MN=P`M 2=2756(5)55t - ∴QP`B`P`MN222S=S -S 498436t 555448436555t t t t =-+-=-+-当1<t≤3时设QB`交AC 于点H∵∠HQM=∠PQB∴△HMQ ∽△PBQ∴2MH MQ t t= ∴MH=12MQ∴()()222212141162t 4513624420169555S MH MQ MQ t t t t =⋅==⋅-=-+=-+ 综合上所述：22260744843661555716913555t t S t t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩（）（）（） 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，涉及的知识点有相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角形面积公式、旋转的性质等，需要有数形结合的能力以及较强的计算能力．21、 (2)x 2=3，x 2=2；(2)x 2=﹣2，x 2=3【分析】（2）先变形为x 2-2x=-3，再把方程两边都加上9得 x 2-2x+9=-3+9，则 （x-3）2=4，然后用直接开平方法解方程即可．（2）先移项，然后提取公因式（x+2）进行因式分解；【详解】解：(2)x 2﹣2x =﹣3，x 2﹣2x +32=﹣3+32，(x ﹣3)2=4，x =3±2，所以x 2=3，x 2=2．(2)(x +2)2﹣2(x +2)=0，(x +2)(x +2﹣2)=0，x +2=0或x +2﹣2=0，所以x 2=﹣2，x 2=3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22、CF≈6.8m ．【分析】如图，作AG ⊥CF 于点G ，易得四边形AEFG 为矩形，则FG ＝AE ＝3.5m ，∠EAG ＝90°，再计算出∠GAC ＝28°，则在Rt △ACG 中利用正弦可计算出CG ，然后计算CG+GF 即可．【详解】如图，作AG ⊥CF 于点G ，∵∠AEF ＝∠EFG ＝∠FGA ＝90°，∴四边形AEFG 为矩形，∴FG ＝AE ＝3.5m ，∠EAG ＝90°，∴∠GAC ＝∠EAC ﹣∠EAG ＝112°﹣90°＝22°，在Rt △ACG 中，sin ∠CAG ＝CG AC， ∴CG ＝AC•sin ∠CAG ＝9sin22°≈9×0.37＝3.33m ，∴CF ＝CG+GF ＝3.33+3.5≈6.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．23、（1）x 1＝﹣3，x 2＝1；（2）123333x x +-==【分析】（1）移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为1，两因式中至少有一个为1转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．【详解】解：（1）移项得：x 2+2x ﹣3＝1，分解因式得：（x +3）（x ﹣1）＝1，可得x +3＝1或x ﹣1＝1，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1； （2）方程变形得：x 2﹣3x ＝﹣32， 配方得：x 2﹣3x +94＝﹣32+94，即（x ﹣32）2＝34，解得：12x x == 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．24、乙方案能使2020年氮肥的产量更高，高20吨【分析】设甲方案的平均增长率为x ，根据题意列出方程，求出x 的值，即可求出甲方案2020年产量，再根据题意求出乙方案2020年产量，比较即可得出结论.【详解】解：设甲方案的平均增长率为x ，依题意得()2400014840x +=.解得，10.1x =，2 2.1x =-（不合题意，舍去）.甲方案2020年产量：()400010.14400⨯+=，乙方案2020年产量：()140004840400044202+⨯-=. 44004420<，4420440020-=（吨）.答：乙方案能使2020年氮肥的产量更高，高20吨.【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键.25、 (1)见解析；（2）EF =25b ﹣35a ． 【解析】（1）由32AE EC = 得25EC AC =，由DE//BC 得25BD EC AB AC ==，再由DF//AC 即可得； （2）根据已知可得35CF a =- ，25EC b = ，从而即可得. 【详解】（1）∵32AE EC = ， ∴25EC AC =， ∵DE//BC ，∴25BD EC AB AC ==， 又∵DF//AC ，∴25BF BD BC AB == ； （2）∵25BF BC =，∴35FC BC =， ∵BC a =，CF 与BC 方向相反 ， ∴35CF a =- ， 同理：25EC b = ， 又∵EF EC CF =+，∴2355EF b a =-.26、（1）203π（2）503π+【解析】试题分析：（1）连结BC ，作O′D ⊥BC 于D ，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可．试题解析：（1）连结BC,作OD⊥BC 于D,可求得∠BO′C=1200,O′D=5, BC 的长为203π（2）''503OBC O A C S S S π∆=+=+白扇形。

2020-2021北京第四中学九年级数学上期末模拟试题(含答案)

2020-2021北京第四中学九年级数学上期末模拟试题(含答案)

2020-2021北京第四中学九年级数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（ ） A ．m≥1 B ．m ＞1 C ．m≥1且m≠3 D ．m ＞1且m≠3 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．﹣13．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒4．一元二次方程的根是（ ）A ．3x =B ．1203x x ==-，C ．1203x x =，D ．1203x x ==，5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜46．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．138．抛物线2y ax bx c =++经过点(1，0)，且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a-3b+c=0；④若0m n >>，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）A ．3B ．3C ．3D ．810．以3942cx ±+=为根的一元二次方程可能是（ ） A ．230x x c --=B ．230x x c +-=C ．230-+=x x cD ．230++=x x c11．若20a ab -=（b ≠0），则aa b+=（ ） A ．0B ．12 C ．0或12D ．1或 212．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、3二、填空题13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．14．设二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点为A，B，其顶点坐标为C，则△ABC的面积为_____．15．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．16．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是_____．17．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．18．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是_____．19．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是______度．20．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．三、解答题21．某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系；（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？22．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)．()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 24．已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +2＝0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且x 12+x 22＝2，求m 的值．25．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书 本（用含x 的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可. 【详解】解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根， ∴230(4)4(3)(2)0m m -≠⎧⎨∆=---⨯->⎩ 解得：m>1且m ≠3. 故答案为D. 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.2．A解析：A 【解析】 【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论． 【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k 向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1， ∴k=2， 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数． 【详解】 ∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠ ∵AB 是圆O 的直径 ∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠ 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．4．D解析：D【解析】x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3.故选：D.5．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），∴x0＞4，∴对称轴为x=m中2＜m＜4，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．6．D解析：D【解析】【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．B解析：B 【解析】 【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得． 【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49． 【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知： a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0， 所以①错误；②∵对称轴为直线x ＝﹣1， 即﹣2ba＝﹣1，解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0，所以②错误；③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵m＞n＞0，∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴33，∴3．故选A．【点睛】本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．10．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．设x 1，x 2是一元二次方程的两个根，∵32x ±=∴x 1+x 2=3，x 1∙x 2=-c ，∴该一元二次方程为：21212()0x x x x x x -++=，即230x x c --=故选A. 【点睛】此题主要考查了根据一元二次方程的根与系数的关系列一元二次方程．11．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠， ∴a(a-b)=0， ∴a=0，b=a ． 当a=0时，原式=0； 当b=a 时，原式=12， 故选C12．A解析：A 【解析】 【分析】让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a ，b 的值． 【详解】解：∵P （-b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点， ∴-b+3=0，2+2a=0， 解得a=-1，b=3， 故选A ． 【点睛】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．二、填空题13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.14．8【解析】【分析】首先求出AB 的坐标然后根据坐标求出ABCD 的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y ＝x2﹣2x ﹣3设y ＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A 点的坐标是（﹣10解析：8 【解析】 【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0， ∴0＝x 2﹣2x ﹣3， 解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0）， ∵y ＝x 2﹣2x ﹣3， ＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标是（1，﹣4）， ∴△ABC 的面积＝12×4×4＝8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．15．不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起所以明天的太阳从西方升起这个事件属于不可能事件故答案为:不可能解析：不可能 【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起,所以”明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件,故答案为:不可能.16．（0﹣1）【解析】【分析】将x ＝0代入y ＝（x ﹣1）2﹣2计算即可求得抛物线与y 轴的交点坐标【详解】解：将x ＝0代入y ＝（x ﹣1）2﹣2得y ＝﹣1所以抛物线与y 轴的交点坐标是（0﹣1）故答案为：（0解析：（0，﹣1）【解析】【分析】将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．17．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面解析：16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．【详解】解：如图．2+2=4，恒星的面积=4×4-4π=16-4π．故答案为16-4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．18．【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解再由三角形的三边关系确定出第三边最后求周长即可【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0解得：x＝或x＝4当x＝时+2＜4解析：【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可．【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝12或x＝4，当x＝12时，12+2＜4，不能构成三角形，舍去；则三角形周长为4+4+2＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 19．30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB 的中线可得△E′CB是等边三角形从而得出∠ACE′的度数和CE′的长从而得出△CDE旋转的度数【详解】解：∵三角板是两块大小解析：30【解析】【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB的中线，可得△E′CB是等边三角形，从而得出∠ACE′的度数和CE′的长，从而得出△CDE旋转的度数．【详解】解：∵三角板是两块大小一样且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′＝BC＝BE′，∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．【点睛】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，本题关键是得到CE´是△ABC的中线．20．10【解析】【分析】设年平均增长率为x则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元建立方程2500(1+x)2=3025求解即可【详解】解：设年平均增长解析：10%【解析】【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键.三、解答题21．（1）y ＝﹣10x+700；（2）销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元【解析】【分析】（1）由一次函数的图象可知过(30，400)和(40，300)，利用待定系数法可求得y 与x 的关系式；（2）利用x 可表示出p ，再利用二次函数的性质可求得p 的最大值．【详解】（1）设一次函数解析式为y =kx +b (k ≠0)，由图象可知一次函数的过(30，400)和(40，300)，代入解析式可得3040040300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：10700k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为y =﹣10x +700；（2）设利润为p 元，由（1）可知每天的销售量为y 千克，∴p =y (x ﹣20)=(﹣10x +700)(x ﹣20)=﹣10x 2+900x ﹣14000=﹣10(x ﹣45)2+6250．∵﹣10＜0，∴p =﹣10(x ﹣45)2+6250是开口向下的抛物线，∴当x =45时，p 有最大值，最大值为6250元，即销售单价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求得每天的销售量y 与x 的函数关系式是解答本题的关键，注意二次函数最值的求法．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥， 解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．23．(1)25;(2)35. 【解析】【分析】 （1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：25． 故答案为25； （2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：123 205．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）详见解析；（2）m＝﹣3或m＝﹣1【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）利用跟与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可解答.【详解】解：（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2，∵无论m取何值，（m+1）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+2，∵x12+x22＝2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，∴代入化简可得：m2+4m+3＝0，解得：m＝﹣3或m＝﹣1【点睛】此题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．25．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．。

北京第四中学2020年数学九年级上册期末试卷及答案

北京第四中学2020年数学九年级上册期末试卷及答案

北京第四中学2020年数学九年级上册期末试卷及答案一、选择题1．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）A ．40B ．50C ．60D ．702．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin aAO β=C ．tan BC a β=D ．cos aBD β=3．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.4．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2) B ．(2,0) C ．(0,3) D ．(3,0) 5．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A ．9︰16B ．3︰4C ．9︰4D ．3︰166．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ）A ．3B ．31+C ．31-D ．237．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐8．已知52x y =，则x y y-的值是（ ） A ．12 B ．2C ．32D ．239．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1110．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A ．平均分不变，方差变大 B ．平均分不变，方差变小 C ．平均分和方差都不变 D ．平均分和方差都改变11．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣2 12．如图，在矩形中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点中，在⊙外的是( )A ．点B ．点C ．点D ．点 13．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．314．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A．12B．14C．13D．1915．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A．252-B．25-C．251-D．52-二、填空题16．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为_____．17．已知三点A（0，0），B（5，12），C（14，0），则△ABC内心的坐标为____．18．抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．19．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB=45，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________；20．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．21．如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，ADAB＝AEAC，AE＝2，EC＝6，AB＝12，则AD的长为_____．22．在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．23．某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x，则可列方程为______．24．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．25．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=，则该圆锥的母线长l 为___cm ．26．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.27．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．28．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm ．29．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A ⇒B ⇒A 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t ＜3），连接EF ，当t 为_____s 时，△BEF 是直角三角形．30．如图，AE 、BE 是△ABC 的两个内角的平分线，过点A 作AD ⊥AE ．交BE 的延长线于点D ．若AD ＝AB ，BE ：ED ＝1：2，则cos ∠ABC ＝_____．三、解答题31．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm．参考数据： sin75°="0.966," cos75°=0.259，tan75°=3.732)32．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调=-+. 查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y2x80设这种产品每天的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？33．“2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A．全程马拉松；B．半程马拉松；C．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．34．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．35．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，S的最大值是多少；（2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形P QP′C ，当四边形PQP′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．四、压轴题36．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为()5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；()1求点C 的坐标；()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．37．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．38．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 39．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．40．如图，抛物线y＝﹣(x+1)(x﹣3)与x轴分别交于点A、B(点A在B的右侧)，与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．(1)直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；(2)求⊙P的半径；(3)点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；(4)E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】解：∵ ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,∴劣弧ADC的度数是140°,∴∠AOC=140°,∵OC=OB,∴∠OCB=12∠AOC=70°,故选D.【点睛】本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．B解析：B【解析】【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO,∴∠OCD=∠ODC=β,A、BDC DCAβ∠=∠=∠,故A选项正确；B、在Rt△ADC中，cos∠ACD=DCAC, ∴cosβ=2aAO,∴AO=2cosa，故B选项错误；C、在Rt△BCD中，tan∠BDC=BCDC, ∴ tanβ=BCa∴BC=atanβ，故C选项正确；D、在Rt△BCD中，cos∠BDC=DCDB, ∴ cosβ=aBD∴cosaBDβ=，故D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.3．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．4．C解析：C【解析】【分析】令x=0，则y=3，抛物线与y 轴的交点为（0，3）． 【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y 轴的交点为（0，3）， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．5．B解析：B 【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果． 因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B. 考点：本题主要考查了相似三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方6．B解析：B 【解析】 【分析】设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形，设AB =2，则易求出CF CEF ∽△AEB ，可得EF CF BE AB ==，于是设EF ，则2BE x =，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x 的代数式表示出CF 、CD 、DE 、DG 、EG 的长，进而可得CG 的长，然后利用正切的定义计算即得答案. 【详解】解：设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形， ∴△CEF ∽△AEB ， 设AB =2，∵∠ADB =30°，∴BD =∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ，∴CF=DF=BF =12BD =，∴EF CF BE AB ==，设EF ，则2BE x =，∴()23BF CF DF x ===+， ∴()()2223226CD DF x x ==+=+，()()233223DE DF EF x x x =+=++=+， ∴()()222232622EG DG DE x x ===+=+， ∴()()226262CG CD DG x x x =-=+-+=， ∴()62tan 312x EG ACD CGx +∠===+.故选：B.【点睛】本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S 2甲=1.7，S 2乙=2.4，∴S 2甲＜S 2乙，∴甲队成员身高更整齐；故选B.【点睛】此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键8．C【解析】【分析】设x=5k（k≠0），y=2k（k≠0），代入求值即可．【详解】解：∵52 xy=∴x=5k（k≠0），y=2k（k≠0）∴52322 x y k ky k--==故选：C．【点睛】本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．9．D解析：D【解析】【分析】计算最大数19与最小数8的差即可.【详解】19-8=11，故选：D.【点睛】此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.10．B解析：B【解析】【分析】根据平均数、方差的定义计算即可.【详解】∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，∴40人的平均数是90分，∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，∴方差变小，∴平均分不变，方差变小故选B.【点睛】本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.11．D【解析】x2=4，x=±2.故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.12．C解析：C【解析】【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.【详解】解：如下图,连接AC,∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,∴由勾股定理可知对角线AC=5,∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,故选C.【点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键. 13．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．要求熟练运用此公式解题．解析：B【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，设OB ＝a ，则OA ＝2a ，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：51AP AB -= ，得514252AP -== .故选A. 二、填空题16．12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△E解析：12【解析】【分析】根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出AF AB GF GD==2，结合FG =2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB =2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解．【详解】 ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF =∠GDF ，∠BAF =∠DGF ，∴△ABF ∽△GDF ，∴AF AB GF GD==2，∴AF =2GF =4，∴AG =6． ∵CG ∥AB ，AB =2CG ，∴CG 为△EAB 的中位线，∴AE =2AG =12．故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．17．（6，4）．【解析】【分析】作BQ⊥AC 于点Q ，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC 、AB 的长，继而利用三角形面积，可得△OAB 内切圆半径，过点P 作PD⊥AC 于D ，PF⊥AB 于F ，P解析：（6，4）．【解析】【分析】作BQ ⊥AC 于点Q ，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC 、AB 的长，继而利用三角形面积，可得△OAB 内切圆半径，过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，由BF=BE 可得13-x=1+x ，解之求出x 的值，从而得出点P 的坐标，即可得出答案．【详解】解：如图，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，则AQ=5，BQ=12，∴2213AQ BQ +=，CQ=AC-AQ=9，∴2215BQ CQ +=设⊙P 的半径为r ，根据三角形的面积可得：r=14124141315⨯=++过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，∴BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解得：x=6，∴点P的坐标为（6，4），故答案为：（6，4）．【点睛】本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键．18．（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点解析：（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ．19．3或9 或或【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90，∵sin∠C解析：3或9 或23或343 【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵sin ∠CAB=45， ∴45BC AB =, ∵AB=10，∴BC=8，∴6AC ===,∵点D 为BC 的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒, ①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图 ∴1AC BC CE CD =，即1684CE =， ∴CE 1=3，∵点E 1在射线AC 上，∴AE 1=6+3=9，同理：AE 2=6-3=3.②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图∴3AC BC CD CE =，即3684CE =， ∴CE 3=163， ∴AE 3=6+163=343, 同理：AE 4=6-163=23. 故答案为：3或9 或23或343. 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.20．【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.考点：概率公式．解析：【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42=147. 考点：概率公式．21．3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】 解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.22．5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB ＝＝10，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这解析：5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB ＝10，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为5．【点睛】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.23．3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为30 00（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．【详解】解析：3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．【详解】解：设增长率为x，由题意得：3000（1+x）2=4320，故答案为：3000（1+x）2=4320．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．24．【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，解析：5【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°，∴AC ==∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ADC ，∵∠E=∠C ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AD AC =， ∴3AB =∴AB =【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．25．【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长cm ，设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．【点睛】本解析：【解析】【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【详解】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 26．7【解析】【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟解析：7【解析】【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵2430x x +-=，∴243x x +=，∴2447x x ++=，∴2(2)7x +=，∴7n =；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.27．相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离解析：相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离28．1【解析】【分析】（1）根据，求出扇形弧长，即圆锥底面周长；（2）根据，即，求圆锥底面半径．【详解】该圆锥的底面半径=故答案为：1．【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇解析：1【解析】【分析】（1）根据180n R l π=，求出扇形弧长，即圆锥底面周长； （2）根据2C r π=，即2C r π=，求圆锥底面半径． 【详解】该圆锥的底面半径=()1203=11802cm ππ⋅⋅ 故答案为：1．【点睛】 圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长．29．1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到解析：1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=34,此时点E走过的路程是214或274,则运动时间是74s或94s．故答案是t=1或74或94．考点：圆周角定理．30．【解析】【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可解析：3【解析】【分析】取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF＝EF，然后证得△BAF≌△DAE，得出AE＝AF，从而证得△AEF是等边三角形，进一步证得∠ABC＝60°，即可求得结论．【详解】取DE的中点F，连接AF，∴EF ＝DF ，∵BE ：ED ＝1：2，∴BE ＝EF ＝DF ，∴BF ＝DE ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠D ，∵AD ⊥AE ，EF ＝DF ，∴AF ＝EF ，在△BAF 和△DAE 中AB AD ABF D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF ≌△DAE （SAS ），∴AE ＝AF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AED ＝60°，∴∠D ＝30°，∵∠ABC ＝2∠ABD ，∠ABD ＝∠D ，∴∠ABC ＝60°，∴cos ∠ABC ＝cos60°＝3， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题31．（1）75cm （2）63cm【解析】解：（1）在Rt △ACD 中，AC=45，CD=60，∴AD=22456075+=，∴车架档AD 的长为75cm ．（2）过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，距离EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63．∴车座点E 到车架档AB 的距离是63cm ．（1）在Rt △ACD 中利用勾股定理求AD 即可．（2）过点E 作EF ⊥AB ，在Rt △EFA 中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．32．（1）2w 2x 120x 1600=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-.（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.33．（1）13；（2）13． 【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人被分配到同一个项目组的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为13； （2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人被分配到同一个项目组的结果数为3，所以两人被分配到同一个项目组的概率＝39＝13． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知树状图的画法.34．（1）4；（2）y=2x ＋83π－3＜34) 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB 是等边三角形，求出⊙O 的半径；（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H,先求出AH=BH=12AB=2，再利用勾股定理得出OH 的值，进而求解.【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴⊙O 的半径是4；（2）解：过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H则∠OHA ＝∠OHB ＝90°∵∠APB ＝30°∴∠AOB ＝2∠APB ＝60° ∵OA=OB ，OH ⊥AB ∴AH=BH=12AB=2 在Rt △AHO 中，∠AHO ＝90°，AO ＝4，AH ＝2∴OH 22AO AH 3∴y ＝16×16 π－123＋12×4×x =2x ＋83π－3＜34). 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．35．(1)当t 为52秒时，S 最大值为185；（2）2013； （3）52或2513或4013． 【解析】【分析】（1）过点P 作PH ⊥AC 于H ，由△APH ∽△ABC ，得出=PH AP BC AB，从而求出AB ，再根据535PH t -，得出PH=3﹣35t ，则△AQP 的面积为：12AQ•PH=12t （3﹣35t ），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，得出△APE ∽△ABC ，=AE AP AC AB ，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12t+2，再求t 即可； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出△APQ 中，分三种情况讨论：①当AQ=AP ，即t=5﹣t ，②当PQ=AQ ，③当PQ=AP ﹣t ，再分别计算即可．【详解】 解：（1）如图甲，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∵∠C=90°，∴AC ⊥BC ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ， ∴=PH AP BC AB， ∵AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ， ∴5=35PH t -， ∴PH=3﹣35t ， ∴△AQP 的面积为： S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t ）=﹣310（t ﹣52）2+185， ∴当t 为52秒时，S 最大值为185cm2． （2）如图乙，连接PP′，PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE=EC ，∴△APE ∽△ABC ， ∴=AE AP AC AB，∴AE=(5)4=5AP AC t AB ⋅-⨯=﹣45t+4 QE=AE ﹣AQ ═﹣45t+4﹣t=﹣95t+4， QE=12QC=12（4﹣t ）=﹣12t+2， ∴﹣95t+4=﹣12t+2， 解得：t=2013， ∵0＜2013＜4， ∴当四边形PQP′C 为菱形时，t 的值是2013s ； （3）由（1）知，PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=AD ﹣AQ=﹣95t+4 ∴PQ=222239=3455PD QD t t ⎛⎫⎛⎫+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=218t 18t 255-+， 在△APQ 中，①当AQ=AP ，即t=5﹣t 时，解得：t 1=52； ②当PQ=AQ ，即218t 18t 255-+=t 时，解得：t 2=2513，t 3=5； ③当PQ=AP ，即218t 18t 255-+=5﹣t 时，解得：t 4=0，t 5=4013； ∵0＜t ＜4，∴t 3=5，t 4=0不合题意，舍去，∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时，△APQ 是等腰三角形．【点睛】本题考查相似形综合题．四、压轴题36．（1）()C 8,43；（2）t=18s ；（3）t 1513=±．【解析】【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．（3）设M （﹣5+t ，33），EF 12=AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．∵A （20，0），AB =16，∴OA =20，OB =4．在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =16，∠CAB =30°，∴BC 12=AB =8，CH =BC •sin60°3BH =BC •cos60°=4，∴OH =8，∴C （8，3（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．∵MN =MH 3MN ⊥BC ，MH ⊥BA ，∴∠MBH =∠MBN =30°，∴BH 3==9，∴点M 的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M 在∠ABC 的内部且⊙M 与直线BC 相切时，t 的值为18s ．（3）∵C （8，3B （4，0），A （20，0）．∵CE =EB ，CF =FA ，∴E （6，3），F （14，3），设M （﹣5+t ，3），EF 12=AB =8． ∵∠EMF =90°，∴EM 2+MF 2=EF 2，∴（6+5﹣t ）2+32+（14+5﹣t ）2+32=82，整理得：t 2﹣30t +212=0，解得：t =1513 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 37．（1）2114y x =-；（2）点P 37(,)216-；（3）(222,222M --+ 【解析】 【分析】（1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解；（2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （21,14t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解； （3）设点21,14M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMNCNEMNESSS=+即可求解．【详解】（1）∵AB =4OC ，且C （0，-1） ∴AB=4∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =-。

北京四中2020~2021学年度九年级上期末综合测试三

北京四中2020~2021学年度九年级上期末综合测试三

3
17．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 边上任意一点（不与点 C，D 重合），作 AF⊥AE 交 CB 的延长线于点 F．
（1）求证：△ADE∽△ABF； （2）连接 EF，M 为 EF 的中点，AB＝4，AD＝2，设 DE＝x，
求点 M 到 FC 的距离（用含 x 的代数式表示）．
8．已知二次函数 y x2 2x 3 ． （1）在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图象； （2）当 0≤x≤3 时，结合函数图象，直接写出 y 的取值范围．
（2）如图 2，再将纸片分别沿 EC，BD 所在直线翻折，折痕 EC 和 BD 相交于点 O.
那么点 O 到边 AB 的距离与点 O 到边 CD 的距离的比值是
．
图1
图2
16．某游乐园的摩天轮(如图 1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中
可以俯瞰美景，图 2 是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心 O 顺时针方向转
据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为
1
x (单位：m)
0
2
4
y (单位：m)
2.25
3.45
3.05
A．1.5m
B． 2m
C． 2.5m
D． 3m
8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.
除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图 1 )，它是分别以
D．140
5．如图，抛物线 y ax2 bx c (a 0) 的对称轴为直线
x 1 ．下列结论中，正确的是 2
A．a＜0 B．当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大
2

北京市第四中学2022年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

北京市第四中学2022年数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．抛物线y ＝－x 2+3x －5与坐标轴的交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知3是方程x 2﹣23x+c ＝0的一个根，则c 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．3D ．235．如果点()2,P m -在双曲线10y x =-上，那么m 的值是（ ） A ．5 B ．5- C ．10 D ．10-6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°7．已知a 是方程22430x x --=的一个根，则代数式224a a -的值等于（ ）A ．3B ．2C ．0D ．18．下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x ，根据题意列方程为（ ）A ．()212000115000x +=B ．()120001215000x +=C ．()215000112000x -=D ．()212000115000x += 10．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，OAB ∆中，90∠=︒ABO ，点A 位于第一象限，点O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，若双曲线k y x=()0x >与OAB ∆的边AO 、AB 分别交于点C 、D ，点C 为AO 的中点，连接OD 、CD .若3OBD S ∆=，则OCD S ∆为_______________.12．如图，A 、B 两点在双曲线y ＝4x上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1+S 2＝_____．13．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米，则这个建筑物的高度是__________．14．边长为1的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF AE ⊥，交CD 边于点F ，若CF 的长为316，则CE 的长为__________．15．已知正六边形的边长为4cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm ．（结果保留π）16．计算：20202019122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭_______．1723x +x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x +2＝x 2，解得x 1＝2，x 2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x 1＝292满足题意；当x 2＝﹣11＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x ＝2．运用以上经验，则方程x 5x +＝1的解为_____．18．高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．三、解答题(共66分)19．（10分）解方程:（1） 233x x -=；（2）()2220x x --+=.20．（6分）如图所示，已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图像与x 轴的交点为点A(3，0)和点B ，与y 轴交于点C(0，3)，连接AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及△ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由.（3）在抛物线上是否存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请直接写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由.21．（6分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：125，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．23．（8分）如图，梯形ABCD中，AB CD∥，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：CDF BGF ∽；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．24．（8分）如图，已知AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图，四边形OBCD 中的三个顶点在⊙O 上，A 是优弧BD 上的一个动点（不与点B 、D 重合）． （1）当圆心O 在BAD ∠内部，∠ABO ＋∠ADO=70°时，求∠BOD 的度数；（2）当点A 在优弧BD 上运动，四边形OBCD 为平行四边形时，探究ABO ∠与ADO ∠的数量关系．26．（10分）已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P ，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ ∥AO ，PQ=2AO ，求P ，Q 的坐标；（3）动点M 在直线y=x+4上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】连接OD ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，又由直径的长求出半径OD 的长，在直角三角形ODE 中，由DE 及OD 的长，利用勾股定理即可求出OE 的长．【详解】解：如图所示，连接OD ．∵弦CD ⊥AB ，AB 为圆O 的直径，∴E 为CD 的中点，又∵CD=16，∴CE=DE=12CD=8， 又∵OD=12AB=10， ∵CD ⊥AB ，∴∠OED=90°，在Rt △ODE 中，DE=8，OD=10，根据勾股定理得：OE=22OD DE =6，则OE 的长度为6，故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键．2、B【分析】根据△=b 2-4ac 与0的大小关系即可判断出二次函数y ＝－x 2+3x －5的图象与x 轴交点的个数再加上和y 轴的一个交点即可【详解】解：对于抛物线y=－x 2+3x －5，∵△=9-20=-11＜0，∴抛物线与x 轴没有交点，与y 轴有一个交点，∴抛物线y=－x 2+3x －5与坐标轴交点个数为1个，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是记住：△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 3、C【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案．【详解】由题意得，A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似，B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B 中矩形不是相似多边形D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；故选C ．【点睛】本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例．两个条件缺一不可.4、B【分析】把x c 的方程，然后解方程即可．【详解】解：把x x 2﹣＝0，得2﹣＝0，所以c ＝6﹣1＝1．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的性质，解答关键是将方程的根代入原方程求出字母系数．5、A【分析】将点()2,P m -代入解析式中,即可求出m 的值．【详解】将点()2,P m -代入10y x =-中，得：1052m =-=- 故选A.此题考查的是根据点所在的图象求点的纵坐标，解决此题的关键是将点的坐标代入解析式即可．6、C【详解】解：连接AD,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．∵∠ABD =55°，∴∠BAD =90°﹣55°=35°，∴∠BCD =∠BAD =35°．故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．7、A【分析】根据题意，将a 代入方程得22430--=a a ，移项即可得结果.【详解】∵a 是方程22430x x --=的一个根,∴22430--=a a ,∴224=3-a a ,故选A.【点睛】本题考查一元二次方程的解，已知方程的根，只需将根代入方程即可.8、A【分析】根据圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，依次分析可得出正确的命题，即可得出答案．【详解】①不共线的三点确定一个圆，错误，假命题；②任何三角形有且只有一个内切圆，正确，真命题；③在同一个圆中,圆心角相等所对的弧也相等,错误，假命题；④正五边形、正三角形都不是中心对称图形，错误，假命题；故答案为A.本题考查了圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，解题时记牢性质和判定方法是关键．9、D【分析】根据“每年的人均收入=上一年的人均收入⨯（1+年增长率）”即可得．【详解】由题意得：2018年的人均收入为12000(1)x +元2019年的人均收入为212000(1)(1)12000(1)x x x ++=+元则212000(1)15000x +=故选：D ．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键．10、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合求解．【详解】B 既是轴对称图形，又是中心对称图形；C 只是轴对称图形；D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A 符合.故选A.二、填空题(每小题3分,共24分)11、92【分析】根据反比例函数关系式与面积的关系得S △COE ＝S △BOD ＝3，由C 是OA 的中点得S △ACD ＝S △COD ，由CE ∥AB ，可知△COE ∽△AOB ，由面积比是相似比的平方得14COE AOB S S=，求出△ABC 的面积，从而求出△AOD 的面积，得出结论．【详解】过C 作CE ⊥OB 于E ， ∵点C 、D 在双曲线k y x=（x ＞0）上， ∴S △COE ＝S △BOD ，∵S △OBD ＝3，∴S △COE ＝3，∵CE∥AB，∴△COE∽△AOB，∴22COEAOBS OCS OA=，∵C是OA的中点，∴OA＝2OC，∴14COEAOBSS=，∴S△AOB＝4×3＝12，∴S△AOD＝S△AOB−S△BOD＝12−3＝9，∵C是OA的中点，∴S△ACD＝S△COD，∴S△COD＝92，故答案为92．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数kyx=的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，所成的三角形的面积是定值12|k|，且保持不变．12、1．【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝4x的系数k，由此即可求解．【详解】∵点A、B是双曲线y＝4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S 1+S 2＝4+4﹣1×2＝1．故答案为1．【点睛】本题主要考查反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k 的几何意义求出矩形的面积．13、1米【分析】设建筑物的高度为x ，根据物高与影长的比相等，列方程求解．【详解】解：设建筑物的高度为x 米，由题意得，4366x =，解得x=1． 故答案为：1米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14、14或 34【分析】根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，从而推知△ABE ∽△ECF ，得出AB BE CE CF=，代入数值得到关于CE 的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵正方形ABCD ，∴∠B=∠C ，∠BAE+∠BEA=90°，∵EF ⊥AE ，∴∠BEA+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF ，∴△ABE ∽△ECF ，AB BE CE CF ∴=． 21,1131661630,CE CE CE CE -∴=∴-+= 解得，CE=14或34．故答案为：14或34． 【点睛】 考查了四边形综合题型，需要掌握三角形相似的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据相似三角形得出一元二次方程，难度不大．15、8π【解析】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．解：方法一：先求出正六边形的每一个内角==120°， 所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm ）； 方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，得正六边形的每一个内角120°，每条弧的度数为120°，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm ． 故答案为8π．考点：弧长的计算；正多边形和圆．16、12【分析】原式把202012⎛⎫ ⎪⎝⎭变形为20191122⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭，然后逆运用积的乘方进行运算即可得到答案． 【详解】解：20202019122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=20192⨯20191122⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭=201911222⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⨯ =2019112⨯ =112⨯=12．故答案为：12． 【点睛】 此题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键．17、x ＝﹣1【分析】根据等式的性质将x 移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x ＝1﹣x ，两边平方，得x +5＝1﹣2x +x 2，解得x 1＝4，x 2＝﹣1，检验：x ＝4时，5，左边≠右边，∴x ＝4不是原方程的解，当x ＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x ＝﹣1是原方程的解，∴原方程的解是x ＝﹣1，故答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．18、1【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成比例解答即可．【详解】解：设此建筑物的高度为x 米，根据题意得：7530x =，解得：x =1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了平行投影，属于基础题型，明确同一时刻物体的高度与影长成比例是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）12x x ==（2）122,3x x == 【分析】（1）化为一般形式后，用公式法求解即可.（2）用因式分解法提取公因式即可.【详解】（1）原方程可化为2330x x --=，3,1,3a b c ==-=-()()2241433136370b ac -=--⨯⨯-=+=>∴，x ∴=得12x x == （2）()()230x x --=，所以122,3x x ==.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，能根据方程的特点灵活的选择解方程的方法是关键.20、（1）y=-x 2+2x+1；（2）抛物线上存在点D ，使得△ACD 的面积最大，此时点D 的坐标为(32 ， 154 )且△ACD 面积的最大值 278；（1）在抛物线上存在点E ，使得△ACE 是以AC 为直角边的直角三角形 点E 的坐标是(1，4)或(-2，-5).【分析】(1)因为点A(1，0)，点C(0,1)在抛物线y=−x 2+bx+c 上，可代入确定b 、c 的值；(2)过点D 作DH ⊥x 轴，设D(t ，-t 2+2t+1)，先利用图象上点的特征表示出S △ACD =S 梯形OCDH +S △AHD -S △AOC=23327228t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，再利用顶点坐标求最值即可； (1)分两种情况讨论：①过点A 作AE 1⊥AC ，交抛物线于点E 1，交y 轴于点F ，连接E 1C ，求出点F 的坐标，再求直线AE 的解析式为y ＝x−1，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可；②过点C 作CE ⊥CA ，交抛物线于点E 2、交x 轴于点M ，连接AE 2，求出直线CM 的解析式为y ＝x ＋1，再与二次函数的解析式联立方程组求解即可.【详解】（1）解：∵二次函数y=-x 2+bx+c 与x 轴的交点为点A(1，0)与y 轴交于点C(0，1)∴930{3b c c -++== 解之得 2{3b c == ∴这个二次函数的解析式为y=-x 2+2x+1（2）解：如图，设D(t ，-t 2+2t+1)，过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为H ，则S △ACD =S 梯形OCDH +S △AHD -S △AOC = 12 (-t 2+2t+1+1)+ 12 (1-t)(-t 2+2t+1)- 12 ×1×1= 23922t t -+= 23327228t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∵ 32-<0∴当t= 32 时，△ACD 的面积有最大值 278此时-t 2+2t+1= 154∴抛物线上存在点D ，使得△ACD 的面积最大，此时点D 的坐标为( 32 ，154 )且△ACD 面积的最大值 278 （1）在抛物线上存在点E ，使得△ACE 是以AC 为直角边的直角三角形点E 的坐标是(1，4)或(-2，-5).理由如下：有两种情况：①如图，过点A 作AE 1⊥AC ，交抛物线于点E 1、交y 轴于点F ，连接E 1C ．∵CO ＝AO ＝1，∴∠CAO ＝45°，∴∠FAO ＝45°，AO ＝OF ＝1．∴点F 的坐标为（0，−1）．设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，将（0，−1），（1，0）代入y ＝kx ＋b 得：3{30b k b =-+=解得1{3k b ==-∴直线AE 的解析式为y ＝x −1，由23{23y x y x x =-=-++ 解得2{5x y =-=-或3{0x y ==∴点E 1的坐标为（−2，−5）．②如图，过点C 作CE ⊥CA ，交抛物线于点E 2、交x 轴于点M ，连接AE 2 ．∵∠CAO ＝45°，∴∠CMA ＝45°，OM ＝OC ＝1．∴点M 的坐标为（−1，0）,设直线CM 的解析式为y ＝kx ＋b ，将（0，1），（-1，0）代入y ＝kx ＋b 得：3{30b k b =-+=解得1{3k b ==∴直线CM 的解析式为y ＝x ＋1．由23{23y x y x x =+=-++ 解得：0{3x y ==或1{4x y ==∴点E 2的坐标为（1，4）．综上，在抛物线上存在点E 1（−2，−5）、E 2（1，4），使△ACE 1、△ACE 2是以AC 为直角边的直角三角形．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值问题，二次函数中的直角三角形问题.观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键．21、（1）斜坡CD 的高度DE 是5米；（2）大楼AB 的高度是34米．【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=13米，坡度为1：125，高为DE ，可以求得DE 的高度；（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB 的高度．试题解析：（1）∵在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=13米，坡度为1：125， ∴1512125DE EC ==，设DE=5x 米，则EC=12x 米，∴（5x ）2+（12x ）2=132，解得：x=1，∴5x=5，12x=12，即DE=5米，EC=12米，故斜坡CD 的高度DE 是5米；（2）过点D 作AB 的垂线，垂足为H ，设DH 的长为x ，由题意可知∠BDH=45°， ∴BH=DH=x ，DE=5，在直角三角形CDE 中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，∵tan64°=AB AC，∴2=AB AC， 解得，x=29，AB=x+5=34，即大楼AB 的高度是34米．22、（1）证明见解析；（2）DE=65． 【分析】（1）由DE ⊥AC ，∠B ＝90°可得出∠CDE ＝∠B ，再结合公共角相等，即可证出△CDE ∽△CBA ；（2）在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出BC 的长，结合点E 为线段BC 的中点可求出CE 的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE 的长．【详解】（1）∵DE ⊥AC ，∠B ＝90°，∴∠CDE ＝90°＝∠B ．又∵∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CBA ．（2）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，∴BC ＝＝1．∵E 是BC 中点，∴CE ＝12BC ＝2． ∵△CDE ∽△CBA ， ∴DE BA ＝CE CA ，即3DE ＝25， ∴DE ＝235⨯＝65． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE 的长．23、（1）证明见解析；（2）2cm【分析】（1）根据梯形的性质，利用平行线的性质得到CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，然后由相似三角形的判定得到结论；（2）根据点F 是BC 的中点，可得△CDF≌△BGF，进而根据全等三角形的性质得到CD=BG ，然后由中位线的性质求解即可.【详解】（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ，∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF ∽．（2） 由（1）CDF BGF ∽，又F 是BC 的中点，BF FC =∴CDF BGF ≌，∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ，AB CD ，∴EF AG ，得2EF BG AB BG ==+．∴22462BG EF AB =-=⨯-=，∴2cm CD BG ==．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及中位线的性质，比较复杂，关键是灵活利用平行线的性质解题.24、（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为43π-【解析】（1）连接OC ，易证∠BCD=∠OCA ，由于AB 是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为r ，AB=2r ，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出阴影部分面积.【详解】（1）如图，连接OC ，∵OA=OC ，∴∠BAC=∠OCA ，∵∠BCD=∠BAC ，∴∠BCD=∠OCA ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线（2）设⊙O 的半径为r ，∴AB=2r ，∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴OD=2r ，∠COB=60°∴r+2=2r ，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=23， 易求S △AOC =12×23×1=3 S 扇形OAC =120443603ππ⨯=， ∴阴影部分面积为433π-.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.25、（1）140°；（2）当点A 在优弧BD 上运动，四边形OBCD 为平行四边形时，点O 在∠BAD 内部时，ABO ∠+ADO ∠=60°；点O 在∠BAD 外部时，|ABO ∠-ADO ∠|=60°． 【解析】（1）连接OA ，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO ，∠OAD=∠ADO ，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=140°；（2）分点O 在∠BAD 内部和外部两种情形分类讨论：①当点O 在∠BAD 内部时，首先根据四边形OBCD 为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD ，∠OBC=∠ODC ；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD ＝12∠BOD ，求出∠BOD 的度数，进而求出∠BAD 的度数；最后根据平行四边形的性质，求出∠OBC 、∠ODC 的度数，再根据∠ABC+∠ADC=180°，求出∠OBA+∠ODA 等于多少即可．②当点O 在∠BAD 外部时：Ⅰ、首先根据四边形OBCD 为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD ，∠OBC=∠ODC ；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD ＝12∠BOD ，求出∠BOD 的度数，进而求出∠BAD 的度数；最后根据OA=OD ，OA=OB ，判断出∠OAD=∠ODA ，∠OAB=∠OBA ，进而判断出∠OBA=∠ODA+60°即可．Ⅱ、首先根据四边形OBCD 为平行四边形，可得∠BOD=∠BCD ，∠OBC=∠ODC ；然后根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝12∠BOD，求出∠BOD的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据OA=OD，OA=OB，判断出∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，进而判断出∠ODA=∠OBA+60°即可．【详解】（1）连接OA，如图1，∵OA=OB，OA=OD，∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=70°，即∠BAD=70°，∴∠BOD=2∠BAD=140°；（2）①如图2，，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝12∠BOD，∴12∠BOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OBC=∠ODC=180°-120°=60°，又∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠OBA+∠ODA=180°-（∠OBC+∠ODC）=180°-（60°+60°）=180°-120°=60°②Ⅰ、如图3，，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝12∠BOD，∴12∠BOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠OAD+60°，∵OA=OD，OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠OBA-∠ODA=60°．Ⅱ、如图4，，∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD，∠OBC=∠ODC，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD＝12∠BOD，∴12∠BOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=120°，∠BAD=120°÷2=60°，∴∠OAB=∠OAD-∠BAD=∠OAD-60°，∵OA=OD，OA=OB，∴∠OAD=∠ODA ，∠OAB=∠OBA ，∴∠OBA=∠ODA-60°，即∠ODA-∠OBA=60°．所以，当点A 在优弧BD 上运动，四边形OBCD 为平行四边形时，点O 在∠BAD 内部时，ABO ∠+ADO ∠=60°；点O 在∠BAD 外部时，|ABO ∠-ADO ∠|=60°．【点睛】（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（2）此题还考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．（3）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（4）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．26、（1）2142y x x =-+（2）P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）（3）M 点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）【解析】试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A 、C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于x 轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P 、Q 关于直线x=﹣1对称，根据PQ 的长，可得P 点的横坐标，Q 点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM 的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH 的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．试题解析：（1）当x=0时，y=4，即C （0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A （﹣4，0），将A 、C 点坐标代入函数解析式，得 ()214440{24b c ⨯--+==，解得1{4b c =-=， 抛物线的表达式为2142y x x =-+； （2）PQ=2AO=8，又PQ ∥AO ，即P 、Q 关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=12×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣72）；﹣1+4=3，即Q（3，﹣72）；P点坐标（﹣5，﹣72），Q点坐标（3，﹣72）；（3）∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO∽△CAB时，OC CMBA AM=，即4642CM=，CM=823．如图1，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=22CM=83，当x=﹣83时，y=﹣83+4=43，∴M（﹣83，43）；当△OCM∽△CAB时，OC CMCA AB=，即4642CM=，解得CM=32，如图2，过M作MH⊥y轴于H，CM=3，当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，∴M（﹣3，1），综上所述：M点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）．考点：二次函数综合题。

精品解析：北京四中2020-2021学年九年级上学期数学试题(解析版)

精品解析：北京四中2020-2021学年九年级上学期数学试题(解析版)
8. 如图，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 DEC ，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，点 B 的对应点 为 E ，连接 BE ，下列四个结论：① AC AD ；② AB EB ；③ BC EC ；④ A EBC ，其中一定
正确的是（ ）
A. ③
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
6. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 C. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
【答案】C
【解析】 【分析】 利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等， 互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选 C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
4. 方程 x(x x 的解是（ ）
A. x 1 C. x1 0 ， x2 1
B. x 2
D. x1 0 ， x2 2
【答案】D 【解析】 【分析】 首先移项，然后提取公因式 x，即可得到 x（x-1-1）=0，则可得到两个一次方程：x=0 或 x-2=0，继而求得 答案． 【详解】解：∵x（x-1）=x， ∴x（x-1）-x=0， ∴x（x-1-1）=0， 即 x=0 或 x-2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式 x，利用提取公 因式法求解．

北京市北京四中九年级上册期末数学试题(含答案)

北京市北京四中九年级上册期末数学试题(含答案)
3．若将二次函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得图象对应函数的表达式为（）
A． B．
C． D．
4．如图，已知 的内接正方形边长为2，则 的半径是（）
A．1B．2C． D．
5．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴
C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径.
32．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明．
25．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．
26．方程 的根是________．
27．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm．
28．一元二次方程x2﹣3x+2＝0
18． 的半径为4，圆心 到直线 的距离为2，则直线 与 的位置关系是______.
19．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．
20．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
21．如图，用一张半径为10 cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm，那么这张扇形纸板的弧长是________cm．
22．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则tanA等于．

京改版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷B卷(附答案)

京改版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷B卷(附答案)

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 京改版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷B 卷（附答案） 一、单选题 1．在△ABC 中，∠C＝90°，3sin 5A =，D 是AB 的中点，则tan tan BCD ACD ∠+∠=( ) A ．2512 B ．2 C ．43 D ．83 2．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论： ①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ． 其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列生活现象中，属于平移的是（ ） A ．足球在草地上滚动 B ．拉开抽屉 C ．电风扇风叶工作 D ．钟摆的摆动 4．如图，矩形ABOC 的面积为2，反比例函数k y x =的图象过点A ，则k 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．2 D ．2- 5．定义新运算：a ⊕b=例如：4⊕5=，4⊕（﹣5）=．则函数y=2⊕x （x≠0）的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 6．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 7．已知一条抛物线经过()0,10E ，()2,2F ，()4,2G ，()3,1H 四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）A ．E ，FB ．E ，GC ．E ，HD ．F ，G 8．如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，DE ∥BC 交AC 于E 点，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4 9．如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为12x =-．下列结论中，正确的是( )A ．0abc <B ．0a b +=C ．20a c +<D ．24b ac >○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 二、填空题 11．如图，若2sin 5α=，则cos β=________． 12．在一个袋子中装入大小、形状完全相同的若干个小球，要使得摸到红球的概率是20%，请你设计一个实验方案：________．13．如图，小圆O 的半径为1，111A B C ∆，222A B C ∆，333A B C ∆，…，n n n A B C ∆依次为同心圆O 的内接正三角形和外切正三角形，由弦11A C 和弧11A C 围成的弓形面积记为1S ，由弦22A C 和弧22A C 围成的弓形面积记为2S ，…，以此下去，由弦n n A C 和弧n n A C 围成的弓形面积记为n S ，其中2020S 的面积为__________． 14．已知直线23y x =+与抛物线2231y x x =-+交于A 11x y （，），B 22x y （，）两点，则121111x x +=++_______． 15．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，E 为BD 中点，且AD ＝BD ，AB ＝2，∠BAC ＝30°，则DC ＝_____． 16．如图，⊙A 与x 轴相切，与y 轴相交于点B （0，1）、C （0，3），那么扇形BAC 的面积是_____．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 17．已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y 是反比例函数k y x =图象上的一列点，其中121,2,,,n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=，，若1A a =（a 是非零常数），则A 1·A 2·…·A n 的值是___________（用含a 和n 的代数式表示）．18．从1~5这五个整数中随机抽取两个连续整数，恰好抽中数字4的概率是________．19．如图，四边形ABCD 中，90,.35,3,ABC D AB BC CD AC ∠=∠=︒===是对角线，以CD 为边向四边形内部作正方形CDEF ，连接BF ，则BF 的长为________．20．三张完全相同的卡片上分别写有函数x y 3=，x y 4=，2x y =，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y 随x 的增大而增大的概率是 ．三、解答题21．如图，函数y kx =与my x =的图像在第一象限内交于点A ，在求点A 坐标时，小明由于看错了k ，解得A （1 , 3）；小华由于看错了m ，解得A （1, 13）．（1）求这两个函数的关系式及点A 的坐标；（2）根据函数图象回答：若0mkx x ->，请直接写出x 的取值范围．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 22．某校为了了解学生的体能状况，决定抽取部分同学进行体育测试参加测试的每名学生从“1000米跑步”、“立定跳远”，“1分钟跳绳”、“坐位体前屈”四个项目中随机抽取两项作为测试项目． （1）求：小明同学恰好抽到“立定跳远”，“坐位体前屈”两项的概率． （2）据统计，初二三班共10名学生参加了测试，两项的平均成绩如下： 94 100 90 84 92 50 89 64 71 92 ①该表是这10名同学平均成绩的一些统计数据，请将表格中缺少的数据补充完整． 平均数 中位数 众数82.6 ②为了调动学生参与体育锻炼的积极性，该班决定对参与测试的同学进行奖励，决定制定一个奖励标准，成绩凡达到或超过这个标准的学生将受到奖励，如果要使参与测试的学生半数左右能获奖，根据上面的计算结果，这个标准应定为多少？并简述理由． 23．（本题满分6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°． （1）根据要求用尺规作图：过点C 作斜边AB 边上的高CD ，垂足为D （不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，请写出图中所有与△ABC 相似的三角形． 24．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A （-2，6），B （-3，2），C （0，3），将△ABC 先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF ． （1）分别写出△DEF 各顶点的坐标； （2）如果将△DEF 看成是由△ABC 经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 25．如图，花丛中有一路灯杆AB ，在灯光下，大华在D 点处的影长DE ＝3 m ，沿BD 方向行走到达G 点，DG ＝5 m ，这时大华的影长GH ＝4 m 如果大华的身高为2 m ，求路灯杆AB 的高度． 26．如图，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体． ()1请画出这个几何体的三视图；()2现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，那么在这个几何体上最多可以再添加________个小正方体．27．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上的一点，CD ＝3，AD ＝BD ＝5．求∠A 的三个三角函数值．28．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，OC=3OE ，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．（1）请依题意补全图形；（2）求证：∠AOC=∠DBC ；（3）求的值．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 29．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、BC 是弦，D 是的中点，DE ⊥AB 于E ，交BC 于F. 已知AC=6，⊙O 的半径是5.(1)求证：BC=2DE (2)求tan ∠CBD 的值 30．（8分）如图，反比例函数y=（k ＜0）的图象与矩形ABCD 的边相交于E 、F 两点，且BE=2AE ，E （﹣1，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接EF ，求△BEF 的面积．参考答案1．A【解析】首先在△ABC 中，由sinA=BC AB =35，可设BC=5k ，利用勾股定理求出，那么tan∠B=AC BC =43k k =43，再根据直角三角形边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=12AB ，由等边对等角得到∠BCD=∠B，∠ACD=∠A，所以tan∠BCD+tan∠ACD=tan∠B+tan∠A=43+34=2512.解：当1-2k=0时，（1-2k ）2变形为-1=0，此时方程有实数根；当1-2k≠0时，由题意知，△=4（k+1）+4（1-2k ）≥0，且k+1≥0，∴-1≤k≤2.∴当-1≤k≤2时，关于x 的方程（1-2k ）x 2有实数根.故选C.2．C【解析】【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】 由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b a ＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确；②已知x=﹣2b a＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a-＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．3．B【解析】【分析】利用平移的定义判断即可．【详解】解：A ．足球在草地上滚动，是旋转；B ．拉开抽屉是平移现象；C ．电风扇风叶工作是绕轴转动，是旋转；D ．不沿直线运动，不是平移，故选B ．【点睛】本题考查平移和旋转，掌握定义是解题关键．4．B【解析】【分析】由于点A 是反比例函数k y x=上一点,矩形ABOC 的面积=k ABOC S =矩形,再结合图象经过第二象限,则k 的值可求出.【详解】由题意得: =k ABOC S =矩形又双曲线位于第二象限,则k =所以B 选项是正确的.【点睛】本题主要考查反比例函数y=kx中k几何意义,这里体现了数形结合的数形，关键在于理解k 的几何意义.5．D【解析】试题分析：此题是新定义．主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线．根据题意可得y=2⊕x=，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案．解：由题意得：y=2⊕x=，当x＞0时，反比例函数y=在第一象限，当x＜0时，反比例函数y=﹣在第二象限，又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．故选D．考点：反比例函数的图象．6．C【解析】此题比较综合，要多方面考虑：①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组ABtan ACB=CB{ABtan ADB=CD+CB∠∠求出AB；③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例EF FDAB BD=，求出AB；④无法求出A，B间距离．因此共有3组可以求出A，B间距离．故选C．7．C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，则可判断H（3，1）点为抛物线的顶点，于是可设顶点式y=a（x-3）2+1，然后把E点或F点或G点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式．【详解】∵F（2，2），G（4，2），∴F和G点为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∴H（3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+1，把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x-3）2+1．故选C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．D【解析】【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，又由D是边AB的中点，可得AD：AB=1：2，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积与△ABC的面积之比．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是边AB的中点，∴AD：AB ＝1：2，∴ADEABC SS ＝（AD AB）2＝14． 故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．9．B【解析】【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【详解】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是故选：B ．【点睛】考核知识点：三视图.理解三视图的定义是关键.10．D【解析】【分析】由二次函数的性质，即可确定a ，b ，c 的符号，即可判定A 是错误的；又由对称轴为x ＝−12，即可求得a ＝b ＜0，即可判定B 是错误的；由当x ＝1时，a ＋b ＋c ＞0，即可判定C 错误；然后由抛物线与x 轴交点个数，判定D 正确．【详解】解：①∵开口向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∵对称轴在y 轴左侧，∴x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故A 错误；②∵对称轴：x ＝2b a -＝−12， ∴a ＝b ＜0，∴a ＋b ＜0，故B 错误；③当x ＝1时，a ＋b ＋c ＝2a ＋c ＞0，故C 错误；④∵抛物线与x 轴有2个交点∴b 2-4ac ＞0，即24b ac >，故D 正确．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．11．25【解析】【分析】根据互为余角的三角函数关系即可解答．【详解】∵α+β=90°， ∴2cos sin 5βα==. 故答案为25. 【点睛】本题考查了互余的两个角的三角函数关系，熟记互余两角的三角函数关系是解答本题的关键．12．在一个袋子中装入大小，形状完全相同的4只白球和1只红球；从中随机摸出一只球是【解析】【分析】根据题目要求中最重要的条件即模拟实验的答案是摸到红球的概率是20%，列出相应的条件即可．【详解】解：在一个袋子中装入大小，形状完全相同的4只白球和1只红球；从中随机摸出一只球是红球的概率.检证：摸到小球是红球的概率为：1÷5=20%. 【点睛】本题考查了关于概率的模拟实验，解题的关键是根据题意中的概率给出合理的方案. 13．40364233π⎛⎫- ⎪⎝⎭； 【解析】【分析】根据正三角形和圆的关系可依次求出弓形面积，再根据弓形面积寻找规律即可得结论，【详解】解：如图所示，连接1OA ，1OC ，作OD ⊥11A C 于点D ，则1=90ODA ∠︒，∵111A B C ∆是等边三角形，∴111=60A B C ∠︒，∵11AOC ∠是圆心角，∴11111=2=260=120AOC A B C ∠∠⨯︒︒，∵11=1OA OC =， ∴111111180180120=3022AOC OAC OC A ︒-∠︒-︒∠∠===︒， ∴11111222OD OA ==⨯=，∴12A D ===， ∵OD ⊥11A C 于点D ，11OA OC =，∴112DA DC ==∴1111++22A C DA DC ==∴21111112011136022A OC A OC S S S π⨯=-=-扇形，221202113602S π⨯=-⨯，231204123602S π⨯=-⨯， ，()212222424n 12021422=22360233n n n n n n S πππ------⨯⎛=-⨯⨯-- ⎝，∴22020440362020442=233S ππ⨯-⎛⎛=⨯ ⎝⎝；故答案为：4036423π⎛- ⎝； 【点睛】 本题考查了正多边形和圆、垂径定理、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算、规律型, 解决本题的关键是通过计算性质规律.14．95【解析】 【分析】 将一次函数解析式代入二次函数解析式中,得出关于x 的一元二次方程,根据根与系数的关系得出“x1 +x2 =-b a =52 ,x 1x 2=c a=-1”,将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论.【详解】将23y x =+代入到2231y x x =-+中得，223231x x x +=-+，整理得，22520x x --=，∴1252x x +=，121x x =-， ∴211212()1111()1111x x x x x x ++++==++++121212()(52292515112)x x x x x x +++==⋅+++-++. 【点睛】此题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题关键在于将一次函数解析式代入二次函数解析式15．233【解析】【分析】如图，在EA 上取一点K ，使得EK ＝CE ，连接DK ，BK ，延长DK 交AB 于H ．首先证明四边形BCDK 是平行四边形，再证明DH ⊥AB ，由DA ＝DB ，推出AH ＝HB ，AK ＝BK ＝CD 即可解决问题；【详解】如图，在EA 上取一点K ，使得EK ＝CE ，连接DK ，BK ，延长DK 交AB 于H ．∵DE ＝EB ，CE ＝EK ，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，∠BAC＝30°，AK＝AH÷cos30°，∴CD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质．平行四边形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．16．2 3π【解析】【分析】利用垂径定理的内容得出BF=CF，进而得出AD与半径的关系，从而得出△ABC为等边三角形，利用扇形面积公式求出即可.【详解】做AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，做BD⊥AE，假设AE＝x，图象与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），∴OB＝DE＝1，AD＝x﹣1，∵AC＝AB，AF⊥BC，∴BF＝CF＝1，∴AD＝BF＝1＝x﹣1，解得：x＝2，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∴扇形BAC 的面积是：260223603ππ⨯⨯=． 故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出AD ＝BF 是解决问题的关键.17．(2)1na n + 【解析】【分析】【详解】解：∵x 1=1，x 2=2，x 3=3，x 4=4，………，x n =n ，………，而k y x= ∴y 1=k ，y 2=2k ，y 3=3k ，y 4=4k ，………，y n =k n ，……… ∵112A x y =，223A x y =，………，1n n n A x y +=，，………∴223A x y ==2×3k ，A 3=x 3y 4=3×4k ，………，1n n n A x y +=，，=n×k 1n +，……… ∵1A a =（a 是非零常数） ∴A 1=1×2k=α即k=2α， ∴A 1·A 2·…·A n =2k ·2×3k ·3×4k ·………·n×k (2)111n nk n n n α==+++18．12【解析】【分析】先画出树状图确定所有等可能的情况数和找出恰好抽中数字4的情况数，然后运用概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画树状图如下：则所有等可能的情况有4种，其中恰好抽中数字4的情况有2种所以恰好抽中数字4的概率是2142=． 故答案为12． 【点睛】本题题考查了运用树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解答本题的关键． 19．2． 【解析】【分析】连接CE ，由等腰直角三角形的性质得出AC 2BC ＝10，∠ACB ＝45°，由勾股定理得出AD 229AC CD -=，由正方形的性质得出DE ＝CD ＝3，∠DCF ＝90°，∠ECF ＝45°，CE 2CF ，求出AE ＝AD ﹣DE ＝6，证明△BCF ∽△ACE ，得出2BF BC AE AC ==即可得出结果．【详解】连接CE ，如图所示：∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝5∴AC 2BC ＝10，∠ACB ＝45°，∵∠D ＝90°，CD ＝3，∴AD 2222(310)39AC CD -=-=，∵四边形CDEF 是正方形，∴DE ＝CD ＝3，∠DCF ＝90°，∠ECF ＝45°，CE 2CF ，∴AE ＝AD ﹣DE ＝6，∴∠ACB ＝∠ECF ，∴∠BCF ＝∠ACE ， ∵2AC CE BC CF==， ∴△BCF ∽△ACE ， ∴2BF BC AE AC ==， ∴3222BF ===； 故答案为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 20．23． 【解析】 试题解析：函数y=3x 、y=3x 、y=x 2的图象的草图如图所示，由图可知，图象在第一象限内y 随x 的增大而增大的函数是 y=2x 、y=x 2，故P=23． 考点：1．二次函数的性质；2．一次函数的性质；3．反比例函数的性质；4．概率公式．21．（1）13y x =，3y x=，点A 的坐标（3，1）；（2）-3<x<0或x>3． 【解析】【分析】（1）把（1 , 3）代入m y x =、把（1, 13）代入y kx =计算即可； （2）0m kx x->在图像上应该是一次函数在反比例函数上方． 【详解】 （1）把x =1,y =3代入m y x=，m =1×3=3,∴3y x =; 把x =1,y =13代入y kx =，k =13;∴13y x =. 由133x x =，解得：x =±3, ∵点A 在第一象限，∴x =3，当x =3时，1313y =⨯=， ∴点A 的坐标（3,1） （2）由（1）得y kx =与m y x =的交点坐标B （-3，-1）A （3,1）， 则根据图像解不等式0m kx x->得-3<x <0或x >3 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合，针对看错题的题目代入没看错的解析式计算即可，利用反比例函数和一次函数解不等式时先确定交点再结合图像分析即可解出不等式．22．；90.5、92；90.5【解析】试题分析：(1)、列表得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到“立定跳远”，“坐位体前屈”两项的情况数，即可求出所求的概率；(2)、①根据已知数据确定出众数与中位数即可；②励标准可以定位此组数据的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．试题解析：（1）列表如下：1表示“1000米跑”，2表示“立定跳远”，3表示“1分钟跳绳”，4表示“坐位体前屈”1 ﹣﹣﹣（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）﹣﹣﹣（3，2）（4，2）3 （1，3）（2，3）﹣﹣﹣（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）﹣﹣﹣所有等可能的情况数为12种，其中恰好抽到“立定跳远”，“坐位体前屈”两项的情况有2种，则P==；（2）①根据数据得：众数为92；中位数为90.5；②奖励标准应定为90.5．中位数是一个位置代表值，它处于这组数据的中间位置，因此大于或等于中位数的数据至少有一半．所以奖励标准应定为90.5．考点：列表法与树状图法；中位数；众数23．（1）见解析；（2）△ACD、△CBD【解析】试题分析：根据高线的作法作出图形，根据三角形相似的判定定理得出三角形相似试题解析：（1）如图，线段CD为所求．（2）与△ABC相似的三角形有△ACD和△CBD．考点：高线的作法、三角形相似.24．（1）D（2，9），E（1，5），F（4，6）；（2）由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．【解析】【分析】（1）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标；（2）连接AD，根据勾股定理求出AD的长，进而可得出结论．【详解】（1）∵A（-2，6），B（-3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF．∴D（2，9），E（1，5），F（4，6）；（2）连接AD，∵由图可知，AD=2234=5，∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离是5个单位长度．【点睛】此题考查作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．25．12m【解析】【分析】设路灯杆AB的高度是x m，由CD∥AB，FG∥AB，得△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH，可得＝，＝，又CD＝FG，所以＝，即＝，解方程可得BD.再由＝，得＝，可求AB.【详解】解：设路灯杆AB的高度是x m，∵CD∥AB，FG∥AB，∴△CDE∽△ABE，△FGH∽△ABH＝，＝，∵CD＝FG，∴＝，∴＝，解得BD＝15，经检验，BD＝15是原方程的解．又∵＝，∴＝，解得x＝12，经检验，x＝12是原方程的解．答：路灯杆AB 的高度是12 m.【点睛】本题考核知识点：投影综合应用. 解题关键点：利用相似三角形性质得出方程.26．4【解析】【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1，据此可画出图形．（2）可在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，相加即可求解．【详解】（1）如图所示：；（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，2+1+1=4（个）．故最多可再添加4个小正方体．故答案为4．【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由立体图形，可知主视图、左视图、俯视图，并能得出有几列即每一列上的数字．27．5sin 5A =，25cos 5A =，1tan 2A = 【解析】试题分析：由已知条件得出.AC 由勾股定理可以算出,BC AB .用三角函数的定义算出A ∠的三个三角函数值即可. 试题解析：在Rt ABC △中,90C ，︒∠= 3, 5.CD AD BD ===358.AC AD CD ∴=+=+=222353 4.BC BD CD =-=-= 2223484 5.AB BC AC =+=+=5sin .545BC A AB === 25cos .45AC A AB === 41tan .82BC A AC === 28．（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据题意补全图形；（2）由弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，得到 ∠DBC=2∠ABC ，又由于∠AOC=2∠ABC ，故有∠AOC=∠DBC ；（3）由同弧所对圆周角相等，得到∠A=∠D ，从而有△AOE ∽△DBM ，故，由OC=3OE ，OA =OC ，得到，由于 BC=BD ，故可得出的值． 试题解析：（1）补全图形如图．（2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴∠DBC=2∠ABC ，又∵∠AOC=2∠ABC ，∴∠AOC=∠DBC ；（3）解：∵，∴∠A=∠D ，又∵∠AOC=∠DBC ，∴△AOE ∽△DBM ，∴，∵OC=3OE，OA =OC，∴，∵弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴BC=BD，∴．考点：1．圆的认识；2．相似三角形的判定与性质．29．（1）见解析（2）tan∠CBD=【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，由全等三角形的判定定理得出△OBH≌△ODE，故∠OHB=∠C=90°，OH是△ABC的中位线，由中位线的性质即可得出结论；（2）由（1）可知OH为△ABC的中位线，故OH=AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，由勾股定理求出DE的长，根据锐角三角函数的定义即可求得.【详解】（1）连接OD交BC于H，∵D是的中点，∴∠CBD=∠ABC,在△OBH与△ODE中,∴△OBH≌△ODE∴∠OHB=∠C=90°，∴OH是△ABC的中位线，∴DE=BH=BC,∴BC=2DE（2）由（1）可知OH为△ABC的中位线，∴OH=AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，∴BH==4，∴tan∠CBD=30．（1）y=﹣；（2）．【解析】试题分析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法可以求出反比例函数的解析式，利用矩形的性质、三角形的面积等知识点，正确求出BF的值是解决第（2）小题的关键．（1）将E（﹣1，2）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）由矩形的性质及已知条件可求得B（﹣3，2），再将x=﹣3代入反比例函数的解析式y=﹣，求出y的值，得到CF=，那么BF=2﹣=，然后根据△BEF的面积=BE•BF，将数值代入计算即可求出．试题解析：解：（1）∵反比例函数y=（k＜0）的图象过点E（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2）∵E（﹣1，2），∴AE=1，OA=2，∴BE=2AE=2，∴AB=AE+BE=1+2=3，∴B（﹣3，2）．将x=﹣3代入y=﹣，得y=，∴CF=，∴BF=2﹣=，∴△BEF的面积=BE•BF=×2×=．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．。

2020-2021学年北京市第四中学九年级第一学期期末数学综合测试卷(十一)

2020-2021学年北京市第四中学九年级第一学期期末数学综合测试卷(十一)

轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为
．
C
A
B
O
y x=1
O
Px
13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为
．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，若∠P 60°，PA
3 ，则 AB 的长为
．
初三年级（数学） 第 2 页（共 6 页）
17．计算： 2sin 30 °2 cos 45 ° 8 ．
A
18．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB 3 2 ，AC 5， sin C 3 ，求 BC 5
的长．
B
C
初三年级（数学） 第 3 页（共 6 页）
19．已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板， 在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 MB 为边 截取两块相邻的正方形板料. 当 AM 的长为何值时， 截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?
BC 的延长线上，则 B 的大小为
A．30°
B．40°
A E
C．50°
D．60°
B
C
D
5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC 3:2，∠A α，∠C β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 S1 和 S2 ，△OAB
与△OCD 的周长分别是 C1 和 C2 ，则下列等式一定成立的是
A． OB 3
A
线如图 1 所示，其中 AC DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏
C
结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x（单位：秒）的对应关系如图 2 所
O
D
示．则下列说法正确的是

北京四中2020-2021学年第一学期初三开学测试数学试题及答案

北京四中2020-2021学年第一学期初三开学测试数学试题及答案

数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为100分）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各式中，化简后能与75合并的是（）A. V r B. 78 C.寿 D.应2.用配方法解方程r-4x-l=0,方程应变形为（）A. （x+2）2=3 B・（x + 2）2=53.卜面的图形是用数学家名字命名的.的是（）C. （x-2）・=3 D・（x-2），=5其中既是轴对称图形又是中心对称图形A.科克曲线 B.笛卡尔心形线4,方程x （x-l ）=x 的解是（ ）A jt =1 B. x=2 C. xi=O. C.赵爽弦图 D.斐波那契螺旋线X2=ID. X|=0» X2 =25. 如图,在婆形A BCD 中，E.「分别是AB. AC 的中点.若£?' = 2,则菱形48CD 的周长为（ ）A.4B.8C. 16D. 206, 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等R.对角线互相垂直C.对角线互相平分 D .对角线平分对角7. •狙数据中，改动•个数据，下列统计鼠一定变化的是（）A .平均数B 众数 C.中位数 D.方差8.如图，将&4BC 绕点。

顺时针旋转得到△DEC,使点,4的对应点。

恰好落在边Alik ,点8的对应点为EL 连接BE,下列四个结论：①AC=AD ②ABLEB ③BC=EC。

ZAYEBC 其中一定正确的是（）A .③ H .②③ C .③④D.②③④9.将4张长为〃、宽为bBb ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为51,阴影部分的面积之和为S2.若A. 2a = 5bB. 2a = 3bC. a=3bD. a=2bS = ：，，则 a ，/?满足（10.生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段.为『解2019年某市第:季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该rfj 2019年第:季度的机天数据，整理后绘制成统计表进彳r 分析.廿均可回收物回收量（千吨）]<x<22<x<33<x<44<x<55<x<6合计频数12b 3m 频率0.050.10a0.151表中3<r<4组的频率〃满足0.20 <^<0.30.下面有四个推断：①表中m 的值为20：②表中b 的值可以为7：③ 这m 大的LI 均可I 可收物I 可收量的中位数在4<x<5组;④ 这m 大的日均可回收物回收用的平均数不低于3.所有合理推断的序号是（ ）A.①®BCD® C.®@®D j 二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y = \Jx + 3中，自变量x 的取值范围是.12. 如图，正方形ABCD 的边长为2,点尸为对角线4C 上任意一点.PE LAD,PF LCD ，垂足分别是& F .则PE + PF =________. 牙、、12题图 13题图15题图13.如图，菱形4BCD中,48=10,AC.8。

2020-2021北京第四中学九年级数学上期中模拟试题(含答案)

2020-2021北京第四中学九年级数学上期中模拟试题(含答案)

2020-2021北京第四中学九年级数学上期中模拟试题(含答案)一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=32．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°4．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣45．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 6．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 7．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（ ）A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h 8．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是()A．16B．14C．13D．7129．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（）A．13B．14C．15D．1610．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（）．A．摸出的4个球中至少有一个球是白球B．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D．摸出的4个球中至少有两个球是白球11．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm212．如果反比例函数2ayx-=（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a<0B．a>0C．a<2D．a>2二、填空题13．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=_______度．14．新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．15．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．16．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．17．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________18．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．19．已知点C在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB＝10，BC：AC＝3：4，阴影部分的面积为_____．20．已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为_____ cm ²（结果保留π）．三、解答题21．解方程：2411231x x x -=+-- 22．如图，在中，，是的外接圆，点P 在直径BD 的延长线上，且． 求证：PA 是的切线； 若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号23．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？24．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？25．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s）频数（人数）A90＜s≤1004B80＜s≤90xC70＜s≤8016D s≤706根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n=，C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，4．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．5．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质．6．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．故选D ．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.8．B解析：B【解析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：用1，2，3三个数字组成一个三位数的所有组合是：123，132，213，231，312，321，是偶数只有2个，所以组成的三位数是偶数的概率是13；故选A．10．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．11．C解析：C【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．12．D解析：D【解析】【分析】反比例函数kyx=图象在一、三象限，可得>0k．【详解】解：Q反比例函数2ayx-=（a是常数）的图象在第一、三象限，20 a∴->，2a∴>．故选：D．【点睛】本题运用了反比例函数kyx=图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．二、填空题13．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD是⊙O切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考解析：【解析】试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．14．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根解析：3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．135°【解析】分析：如图连接EC首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E是△ADC的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC和△AEB中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.详解：如图，连接EC．∵E是△ADC的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°，在△AEC 和△AEB 中，AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为OC ＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C 的位置然后求出翻转B 前进的距离连接CE 过点D 作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C 的横坐标为12OC ＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C 的位置，然后求出翻转B 前进的距离，连接CE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，则CE ⊥EF ，∠CDH ＝∠EDH ＝60°，CH ＝EH ，求出CE ＝2CH ＝2×CDsin60°＝C 的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠AOC ＝120°，∴∠DOC ＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C 的横坐标为：12OC ＝12×2＝1， ∵正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4， ∴为第336循环组的第4次翻转，点C 在开始时点E 的位置，如图所示：∵A （﹣2，0），∴AB ＝2，∴翻转B 前进的距离＝2×2020＝4040， ∴翻转后点C 的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE ，过点D 作DH ⊥CE 于H ，则CE ⊥EF ，∠CDH ＝∠EDH ＝60°，CH ＝EH ，∴CE ＝2CH ＝2×CDsin60°＝2×2×33， ∴点C 的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C 所在的位置是解题的关键．17．【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a0c=3即可设出解析式【详解】解：根据题意可知a0c=3故二次函数解析式可以是【点睛】本题考查了二次函数的性质属于简单题熟悉概念是解题关键解析：223,y x =-+【解析】【分析】根据二次函数图像和性质得a <0,c=3,即可设出解析式.【详解】解：根据题意可知a <0,c=3,故二次函数解析式可以是2y 2x 3,=-+【点睛】本题考查了二次函数的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 18．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠Q OP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°19．π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积根据AB＝10BC：AC＝3：4可以求得ACBC的长再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算【详解】∵AB为直径解析：252π﹣24【解析】【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB＝10，BC：AC＝3：4，可以求得AC，BC的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．【详解】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BC：AC＝3：4，∴sin∠BAC＝35，又∵sin∠BAC＝BCAB，AB＝10，∴BC＝35×10＝6，AC＝43×BC＝43×6＝8，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝12×π×52﹣12×8×6＝252π﹣24．故答案为：252π﹣24．【点睛】本题考查求阴影部分的面积，解题关键在于能找到阴影部分的面积与半圆的面积、直角三角形的面积，三者的关系.20．15π【解析】【分析】【详解】解：由图可知圆锥的高是4cm母线长5cm 根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm²故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥的计算解析：15π．【解析】【分析】【详解】解：由图可知，圆锥的高是4cm，母线长5cm，根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，所以圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm ²．故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥的计算．三、解答题21．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0， 解得：x 1＝－4，x 2＝1． 经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．22．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA ；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB 、扇形AOB 的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA ；，；而， ；而， ；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.23．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．24．（1）6;（2）40或400【解析】【分析】（1）设通道的宽x 米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x ，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a 值即可.【详解】（1）设通道的宽x 米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28， 整理得：x 2-40x+204=0，解得：x 1=6，x 2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位， 根据题意得：(200+a)(64-10a )=14400， 整理得：a 2-440a+16000=0，解得：a 1=40，a 2=400.答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.25．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a 1和b 1的概率为16． 【解析】【分析】（1）根据D 组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x 的值；（2）用A 、C 人数分别除以总人数求得A 、C 的百分比即可得m 、n 的值，再用360°乘以C 等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a 1和b 1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人， ∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14； （2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%， ∴m=10、n=40，C 等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144； （3）列表如下：a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．。

2020-2021北京市九年级数学上期末第一次模拟试卷(含答案)

2020-2021北京市九年级数学上期末第一次模拟试卷(含答案)

2020-2021北京市九年级数学上期末第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒2．一元二次方程的根是（ ）A ．3x =B ．1203x x ==-，C ．1203x x ==，D ．1203x x ==，3．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞44．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A ．黄河入海流 B ．锄禾日当午 C ．大漠孤烟直 D ．手可摘星辰5．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A ．AC BCAB AC= B ．2·BC AB BC = C ．51AC AB -=D ．0.618≈BCAC6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( ) A ．x(x －1)＝2070 B ．x(x ＋1)＝2070 C ．2x(x ＋1)＝2070D ．(1)2x x -＝2070 7．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89π C ．8－49π D ．8－89π 9．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4510．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根11．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ，AE ，FG 分别交射线CD 于点 PH ，连结 AH ，若 P 是 CH 的中点，则△APH 的周长为（ ）A ．15B ．18C ．20D ．2412．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A ．y=1+12x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2二、填空题13．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____． 14．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOE ＝78°，点C 、D 是弧BE 的三等分点，则∠COE ＝_____．16．一个等边三角形边长的数值是方程x 2﹣3x ﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为_____．17．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是23602s t t =-，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．18．已知二次函数y ＝kx 2﹣6x ﹣9的图象与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围_____．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．20．函数 2y 24x x =-- 的最小值为_____.三、解答题21．某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26． （1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．22．为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元． （1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠5a元()0a >，十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠2%5a ．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了1%2a ，十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了%a ．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求a 的值．23．如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，AC=FC ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF 的长．24．如图，等腰Rt△ABC 中，BA=BC ，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE （1）求∠DCE 的度数；（2）若AB=4，CD=3AD ，求DE 的长．25．在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个是红球的概率为0.75. （1）根据题意，袋中有 个蓝球.（2）若第一次随机摸出一球，不放回，再随机摸出第二个球.请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件A ）”的概率P （A ）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数． 【详解】 ∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠ ∵AB 是圆O 的直径 ∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠ 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．2．D解析：D 【解析】 x 2−3x=0， x(x−3)=0， ∴x 1=0，x 2=3. 故选：D.3．D解析：D 【解析】 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，从而得到当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围． 【详解】∵当x=0时，y 1=y 2=0；当x=4时，y 1=y 2=5； ∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5）， 而-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，∴当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是x ＜-1或x ＞4． 故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．4．D解析：D 【解析】 【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 【详解】A 、是必然事件，故选项错误；B 、是随机事件，故选项错误；C 、是随机事件，故选项错误；D 、是不可能事件，故选项正确． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．B解析：B 【解析】 【详解】 ∵AC ＞BC ， ∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AC BC AB AC =≈0.618， 故A 、C 、D 正确，不符合题意； AC 2=AB •BC ，故B 错误，符合题意； 故选B ．6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x ﹣1）张相片，有x 个人， ∴全班共送：（x ﹣1）x=2070， 故选A ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．7．A解析：A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．B解析：B【解析】试题解析：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S扇形AEF=280?28 3609ππ=，S△ABC=12AD•BC=12×2×4=4，∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-89π．9．B解析：B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是2 5 .故选B.考点：概率.10．C解析：C 【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2ba-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2ba-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2ba-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．11．C解析：C 【解析】 【分析】连结AC ，先由△AGH ≌△ADH 得到∠GHA ＝∠AHD ，进而得到∠AHD ＝∠HAP ，所以△AHP 是等腰三角形，所以PH ＝PA ＝PC ，所以∠HAC 是直角，再在Rt △ABC 中由勾股定理求出AC 的长，然后由△HAC ∽△ADC ，根据＝求出AH 的长，再根据△HAC ∽△HDA 求出DH 的长，进而求得HP 和AP 的长，最后得到△APH 的周长. 【详解】∵P 是CH 的中点，PH ＝PC ，∵AH ＝AH ，AG ＝AD ，且AGH 与ADH 都是直角，∴△AGH ≌△ADH ，∴∠GHA ＝∠AHD ，又∵GHA ＝HAP ，∴∠AHD ＝∠HAP ，∴△AHP 是等腰三角形，∴PH ＝PA ＝PC ，∴∠HAC 是直角，在Rt △ABC 中，AC ＝＝10，∵△HAC ∽△ADC ，∴＝，∴AH ＝＝＝7.5，又∵△HAC ∽△HAD ，＝，∴DH ＝4.5，∴HP ＝＝6.25，AP ＝HP ＝6.25，∴△APH 的周长＝AP ＋PH ＋AH ＝6.25＋6.25＋7.5＝20.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.12．D解析：D【解析】【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．【详解】y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选D．【点睛】本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．二、填空题13．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴根据二次函数的性质即可求解【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣∴函数的对称轴为x＝﹣∴当﹣1≤x≤0时函数有最小值﹣当x＝﹣1时有最大解析：﹣13≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，∴函数的对称轴为x＝﹣13，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，故答案为﹣13≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．14．(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差据此即可列出方程【详解】根据题意得：（x+1）2-1=24即：（x+1）2=25故答案为（x+1）2=25【点睛】本题考查了一元二解析：(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.【详解】根据题意得：（x+1）2 -1=24，即：（x+1）2 =25．故答案为（x+1）2 =25．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法.15．68°【解析】【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧的度数得到劣弧的度数根据圆心角弧弦的关系定理解答即可【详解】∵∠AOE=78°∴劣弧的度数为78°∵A B是⊙O的直径∴劣弧的度数为180°﹣78°=1解析：68°【解析】【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧¶AE的度数，得到劣弧¶BE的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．【详解】∵∠AOE=78°，∴劣弧¶AE的度数为78°．∵AB是⊙O的直径，∴劣弧¶BE的度数为180°﹣78°=102°．∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE23=⨯102°=68°．故答案为：68°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．16．15【解析】【分析】先解方程求出方程的根再确定等边三角形的边长然后求等边三角形的周长【详解】解：x2﹣3x﹣10＝0（x﹣5）（x+2）＝0即x﹣5＝0或x+2＝0∴x1＝5x2＝﹣2因为方程x2﹣解析：15【解析】【分析】先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．【详解】解：x 2﹣3x ﹣10＝0，（x ﹣5）（x +2）＝0，即x ﹣5＝0或x +2＝0，∴x 1＝5，x 2＝﹣2．因为方程x 2﹣3x ﹣10＝0的根是等边三角形的边长，所以等边三角形的边长为5．所以该三角形的周长为：5×3＝15．故答案为：15．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．17．【解析】【分析】把解析式化为顶点式再根据二次函数的性质得出答案即可【详解】解：∴当t=20时s 取得最大值此时s=600故答案为20考点：二次函数的应用；最值问题；二次函数的最值解析：【解析】【分析】把解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质得出答案即可。

京改版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷C卷(附答案)

京改版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷C卷(附答案)

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 京改版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷C 卷（附答案） 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．如图，A ，B 两点在反比例函数y =1k x的图象上，C ，D 两点在反比例函数y =2k x 的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC =2，BD =1，EF =3，则k 1﹣k 2的值是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2 3．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，BC CD =，E 为梯形内一点，90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕C 点旋转90︒，使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接EF 交CD 于点M ．给出以下5个命题： ①::DM MC MF ME =；②BE DF ⊥；③若1sin 2EBC ∠=，则(33BCE EMC S S ∆∆=+；④若1an 3t EBC =∠，10BC =则点D 到直线CE 的距离为1；⑤若M 为EF 中点，则点B 、E 、D 三点在同一直线上． 则正确命题的个数（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 5．如图，在Rt ADB 中，90D ∠=，C 为AD 上一点，若CBD BAD ∽，则x 的可能值是（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 6．以矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y=x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ） A ．2814y x x =++ B ．2814y x x =-+C ．243y x x =++D ．243y x x =-+7．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，则下列结论中错误的是（ ）A ．abc ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．b 2﹣4ac ＞0D ．3a+c ＞08．如图，在四边形ABCD 中,AB ∥CD ，∠A=90°，AB=1，AD=3，DC=5.点S 沿A→B→C 运动到C 点停止，以S 为圆心，SD 为半径作弧交射线DC 于T 点，设S 点运动的路径长为x ，等腰△DST 的面积为y ，则y 与x 的函数图象应为( )A ．B ．C ．D ．9．平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)A -、(3,0)B 、(0,1)C -三点，(1,)D m 是一个动点，当ACD △周长最小时，ABD △的面积为（ ）A ．13 B ．23 C ．43 D ．83…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 10．小蓉从格致楼底楼点A 处沿立人大礼堂旁的台阶AB 拾阶而上，步行20米后到达万象楼楼底点B ，再从点B 直线行进15米到达直通博雅楼的台阶底端C ，然后沿台阶CD 步行至博雅楼底楼的小平台D ．在D 点处测得竖立于百汇园旁的万象楼BE 的楼顶点E 的仰角为30°．如图所示，已知台阶AB 与水平地面夹角为45°，台阶CD 与水平地面夹角为60°，CD ＝12米，点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面．则格致楼楼底点A 到万象楼楼顶点E 的垂直高度约为（ ）（参考数据：7≈1.7，2≈1.4）A ．22.1米B ．35.2米C ．27.3米D ．36.1米 二、填空题 11．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，cos 45B =，BC=8，点D 在边BC 上，将△ABC 沿着过点D 的一条直线翻折，使点B 落在AB 边上的点E 处，联结CE 、DE ，当∠BDE =∠AEC 时，则BE 的长是 . 12．如图，A 点是y 轴正半轴上一点，过点A 作x 轴的平行线交反比例函数 4y x =- 的图象于点B ，交反比例函数 y= k x 的图象于点C ，若AB ：AC=3：2，则k 的值是________． 13．如图，把矩形ABCD 沿EF ，GH 折叠，使点B ，C 落在AD 上同一点P 处，∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积是82，△D′PH 的面积是42，则矩形ABCD 的面积等于_____． 14．如图①的长方形ABCD 中， E 在AD 上，沿BE 将A 点往右折成如图②所示，再作AF ⊥CD 于点F ，如图③所示，若AB ＝2，BC ＝3，∠BEA ＝60°，则图③中AF 的长度为_______．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 15．如图，在正方形ABCD 中，AB =6，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，点E 为弧BD 上一点，作EH ⊥BC 于点H ，则BE －EH 的最大值为______．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC BC ==，在DCE 中，90DCE ∠=︒，6DC EC ==，点D 在线段AC 上，点E 在线段BC 的延长线上．将DCE 绕点C 顺时针方向旋转60°得到D CE ''△（点D 的对应点为D ，点E 的对应点为点E '），连接AD '、BE '，过点C 作CN BE '⊥，垂足为N ，直线CN 交线段AD '于M ，则MN 的长为__________．17．如图，在O 中，AB 是直径，点D 是O 上一点，点C 是AD 的中点，CE AB ⊥于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE CB 、于点P Q 、，连接AC ，交于下列结论：①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ ∆的外心，④//BC GD其中正确结论是_________________（只需填写序号）．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 18．如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与边AD 所在直线垂直于点M ，若∠ABC ＝65°，则∠ACD ＝_____°． 19．如图：已知锐角∠AOC ，依次按照以下顺序操作画图： （1）在射线OA 上取一点B ，以点O 为圆心，OB 长为半径作PQ ，交射线OC 于点D ，连接BD ； （2）分别以点B ，D 为圆心，BD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ； （3）连接ON ，MN ． 根据以上作图过程及所作图形可知下列结论：①OC 平分∠AON ；②MN ∥BD ；③MN ＝3BD ；④若∠AOC ＝30°，则MN ＝2ON ．其中正确结论的序号是_____． 20．如图，在菱形ABCD 中，AB BD =，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且CE DF =，BF 与DE 交于点G ．若2BG =，3DG =，则四边形ABGD 的面积为________． 三、解答题 21．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时： (1)求三辆车全部同向而行的概率； (2)求至少有两辆车向左转的概率．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 22．如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ． （1）求证：AF ⊥EF ． （2）探究线段AF 、CF 、AB 之间的数量关系，并证明． 23．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．求这棵大树没有折断前的高度．(结果精确到个位，参考数据：2=1．4，3=1．7，6=2．4)．24．定义：如图，在△ABC 中，∠C ＝30°，我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦，记作thi A ，即thi A ＝A C ∠∠的对边的对边＝BCAB ．请解答下列问题：已知：在△ABC 中，∠C ＝30°．（1）若∠A ＝45°，求thi A 的值；（2）若thi A ＝3，则∠A ＝ °；（3）若∠A 是锐角，探究thi A 与sin A 的数量关系．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 25．将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC ，将三角板CDE 绕点C 按顺时针方向旋转，其中45A ∠=︒，30D ∠=︒，设旋转角为α，(080)a <<︒︒ ()1当//DE AC 时(如图2)，求α的值； ()2当//DE AB 时(如图3).AB 与CE 相交于点F ，求α的值； ()3当090α︒<<︒时，连结(AE 如图4)，直线AB 与DE 相交于点F ，试探究123∠+∠+∠的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由． 26．如图，抛物线24y x x =-+与x 轴的正半轴交于点A ，其顶点为M ，点P 在该抛物线上且位于A 、M 两点之间，过点P 作PB x ⊥轴于点B ，PC y ⊥轴于点C ，PC 与抛物线的另一交点为D ，连接BD ． （1）求该抛物线的对称轴及点A 的坐标． （2）当点P 关于BD 的对称点恰好落在x 轴上时，求点P 的坐标．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 27．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表： 第x 天 1 2 3 4 5 销售价格p （元/只） 2 3 4 5 6 销量q （只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只． （1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______． 28．如图，()A 4,3是反比例函数k y x =在第一象限图象上一点，连接OA ，过A 作AB//x 轴，截取AB OA(B =在A 右侧)，连接OB ，交反比例函数k y x =的图象于点P ． （1）求反比例函数k y x =的表达式； （2）求点B 的坐标及OB 所在直线解析式； （3）求OAP 的面积．…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 29．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点． （Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标； （Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值． 30．已知∠MON ＝120°，点A ，B 分别在ON ，OM 边上，且OA ＝OB ，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），连接CA ．将射线CA 绕点C 逆时针旋转120°得到射线CA ′，将射线BO 绕点B 逆时针旋转150°与射线CA ′交于点D ． （1）根据题意补全图1； （2）求证： ①∠OAC ＝∠DCB ； ②CD ＝CA （提示：可以在OA 上截取OE ＝OC ，连接CE ）； （3）点H 在线段AO 的延长线上，当线段OH ，OC ，OA 满足什么等量关系时，对于任意的点C 都有∠DCH ＝2∠DAH ，写出你的猜想并证明．参考答案1．D【解析】试题解析：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．如图②，AO ∥BC ，BA ⊥2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90︒，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；如图④，∠AOB =∠4BAC =90︒，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ．故选D ．2．D【解析】【分析】【详解】【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=﹣k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值．【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2，∵S△AOC=S△AOE+S△COE，∴AC•OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…①，∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，∴BD•OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…②，由①②两式解得OE=1，则k1﹣k2=2．故选D．3．B【解析】【分析】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．设BM=x，由切割线定理表示出MN，可证明△BNM∽△AOM，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△AOM面积．【详解】解：当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．连接AB、BN，在Rt△AOB和Rt△ANB中∴Rt△AOB≌Rt△ANB，∴AN=AO=2，设BM=x，∴MN2=（BM-1）（BM+1），∴MN=，∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，∴△BNM∽△AOM，∴，即，解得x=，S △AOM=．故选B．【点睛】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．4．D【解析】【分析】①根据旋转的性质即可得：△BCE ≌△DCF ，又由同角的余角相等易证：∠ECM=∠EBC=∠FDC ，则可证得：EC ∥DF ，即可得DM ：MC=MF ：ME ；②由BE ⊥EC ，EC ∥DF ，易证得：BE ⊥DF ；③由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案；④由三角函数与勾股定理即可求得点D 到直线CE 的距离；⑤根据题意易证得：四边形DECF 是矩形，即可得∠BED 是平角，则问题得证．【详解】①根据题意得：△BCE ≌△DCF ，∴∠EBC=∠FDC ，∵AD ∥BC ，∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠BCD=∠BEC=90°，∴∠BCE+∠ECM=∠BCE+∠EBC=90°，∴∠ECM=∠EBC=∠FDC ，∴EC ∥DF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴DM ：MC=MF ：ME ；故①正确；②∵∠BEC=90°，∴BE ⊥EC ，∵EC ∥DF ，∴BE ⊥DF ，故②正确；③∵△BCE ≌△DCF ，∴BCE DCF S S =，且EC=CF ，BC=DC ，∠EBC=∠CDF ，∵sin ∠EBC=12，则sin ∠CDF=12， ∴12CF CD =，则CF DF =∴3EC DF =， ∵△ECM ∽△FDM ， ∴EMC FMD 13S S =，∴3DM DF MC EC ==，即313DM DC =+， ∴FMD DCF BCE 331313S S S ==++， ∴()EMC FMD BCE 133313SS S ==+， ∴BCE S =(3+3)EMCS ， 故③正确；④过点D 作DN ⊥EC 交CE 的延长线于点N ，∵tan ∠EBC=13，10， 由①得：∠ECM=∠EBC ， ∴tan ∠DCN=13，10， ∵222DN CN CD +=，即()222310DN DN +=， ∴DN=1，则点D 到直线CE 的距离为1，∴④正确；⑤∵M 为EF 中点，∴EM=FM ，∵CE=CF，且EC∥DF，∴△CEF与△DEF是等腰直角三角形，∴DM=CM，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠DEC=90°，∵∠BEC=90°，∴∠BED=180°，∴点B、E、D三点在同一直线上．故⑤正确．∴正确命题的个数是5个．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用．5．B【解析】【分析】三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可以得到x与∠CBD的关系，根据∠CBD是锐角，就可以得到一个关于x的不等式组，就可以求出x的范围．【详解】∵△CBD∽△BAD，∴∠DBC=∠A，∵∠ACB=∠DBC+∠D，∴6x°=90°+∠A ， ∵∠A<45°， ∴6x°<45°+90°， 解得：x<22.5°， ∵6x>90°， ∴x>15°∴x 的可能值是20°， 故选B.【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．A【解析】∵矩形的两条对称轴相交于对角线的交点处，即坐标原点是对角线的交点，∴点C 和点A 关于原点对称，∴点C 的坐标为（-2，1），要把抛物线上的一点由点A 移到点C ，就需要将抛物线向左移动4个单位，再向下移动2个单位，∴移动后，抛物线的解析式为：2(4)2y x =--，即2814y x x =++. 故选A.7．D【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，由a 与0的关系并结合抛物线的对称轴判断b 与0的关系，即可得出abc ＜0，故A 正确，不符合题意；由二次函数的图象可知当x=﹣1时y ＜0，则a ﹣b+c ＜0，故B 正确，不符合题意；利用抛物线与x 轴的交点的个数：有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞0，故C 正确，不符合题意；由对称轴x=﹣2b a=1，可得b=﹣2a ，又由B 知a ﹣b +c ＜0，可得3a +c ＜0，故D 错误，符合题意．故选：D 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是熟记二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定． 8．A【解析】【分析】分别讨论S 在AB 边时和BC 边时，y 与x 的函数关系式，结合选项得出结论.【详解】如图：①当S 在AB 边时，即0≤x≤1时，则AS=x ，过S 作SE ⊥DT 于E ，∵∠A=90°，AB//CD∴四边形ADES 是矩形，∴S △ADS =S △ESD ，∵SD=ST ，SE ⊥DT∴S △ESD =S △EST∴y=S △DST =2S △ESD =2S △ADS =2××3x=3x ， ∴0≤x≤1时，y 与x 是正比例函数关系，图像是过原点的直线，且x=1时，y=3，②如图：当S 在BC 边时，即1<x≤6时，则BS=x-1过B 作BF ⊥CD ，过S 作SN ⊥CD ，延长NS 交AB 延长线于M ，∵AB=1，CD=5，∴CF=4，∴BC==5，∵AM//CD ，∴∠MBC=∠BCF ，∵∠BFC=∠BMS=90°，∠MBC=∠BCF ， ∴△BMS ∽△BFC ，∴， 解得：MS=(x-1)，BM=(x-1)， ∴NS=MN-MS=3-(x-1)=，DN=AB+BM=1+(x-1)=，∴y=S △DST =×2×DN NS=（）（）=-x 2+x+， ∴1<x≤6时，y 与x 是二次函数关系，图像是抛物线，综上所述，只有A 选项符合题意，故选A.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质及二次函数解析式和图像的综合，熟练掌握相关的判定定理及图像特点是解题关键9．C【解析】【分析】【详解】D 为直线1x =上一动点，点A 、B 关于直线1x =对称，连接BC直线BC 方程为：113y x =-，右图为ACD ∆周长最小，2(1,)3D -此时 ABD ∆的面积为1244233⨯⨯=，选C10．D【解析】【分析】作DH⊥BC交BC的延长线于H，作DG⊥BE于G，作AF⊥BE交BE的延长线于F，根据正弦的定义BF，根据正弦和余弦的定义分别求出CH、DH，根据正切的定义求出EG，结合图形计算，得到答案．【详解】作DH⊥BC交BC的延长线于H，作DG⊥BE于G，作AF⊥BE交BE的延长线于F，则四边形BGDH为矩形，∴DH＝BG，DG＝BH，在Rt△ABF中，sin A＝BF AB，则BF＝AB•sin A＝102，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin∠DCH＝63，CH＝12CD＝6，∴BH＝BC+CH＝15+6＝21，在Rt△DEG中，tan∠EDG＝EG DG，则EG＝DG•tan∠EDG＝73,∴EF＝73+63+102≈36.1（米）故选：D．【点睛】此题考查三角函数解决实际问题，根据题中给出的特殊角度，将其放在直角三角形中，利用三角函数求出对应的边长，这是解题的关键 .11．39 5【解析】【详解】解：如图；作CH⊥AB于H.在Rt△ABC中，∵BC=8，4 cosB5，∴AB=10，AC=8，CH=245,BH=325,由题意EF=BF,设EF=BF=a,则BD=54 a,∵∠BDE=∠AEC,∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B, ∴∠CED =∠B,∵∠ECD=∠BCE,∴△ECD∽△BCE,∴EC2=CD·CB,∴(245)2+(2a-325)2=(8-54a)×8,解得a=5910或0，（舍）BE=2a=59 5故答案为59 5.点睛：此题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.12．8 3【解析】∵BC∥x轴，∴设B（x，y），C（a，y），∵B在反比例函数4yx=-的图象上，∴xy=-4，∵AB：AC=3：2，∴|x|=32 a，∵x＜0，∴x=-32 a，∴-32a y=-4，ay=83，∵C在反比例函数y= kx的图象上，∴k=83，故答案为：83．13．8（【解析】【分析】由翻折可得∠A′＝∠FPG，所以得A′E∥PF，可以证明△AE′P∽△D′PH，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求得A′E D′P，再根据△A′EP的面积是可求A′P＝D′P＝4，从而AE＝A′E＝，再根据勾股定理求得PE的长，进而求得D′H、PH，所以得AD＝AE+EP+PH+DH，最后求得矩形ABCD的面积．【详解】解：由翻折可知：∠A＝∠A′＝90°，∠D＝∠D′＝90°，∵∠FPG＝90°，∴∠A′＝∠FPG ，∴A′E ∥PF ，∴∠A′EP ＝∠D′PH ，∴△AE′P ∽△D′PH ， ∴''''A E A P EP D P D H PH==， ∵AB ＝CD ，AB ＝A′P ，CD ＝D′P ，∴A′P ＝D′P ，∵''2A EPD PHS S ==， ∴A′E ，∴S △A′EP ＝12A′E•A′P ＝12D′P•D′P ＝， 解得D′P ＝4（负值舍去），∴A′P＝D′P ＝4，∴AE ＝A′E ＝，∴EP=，∴PH=DH ＝D′H'=， ∴AD ＝AE+EP+PH+DH＝＝．AB ＝A′P ＝4，∴S 矩形ABCD ＝AB•AD＝4（）＝8（）．故答案为：8（32+23+6）．【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求得A′E ＝2D′P 是解此题的关键．14．3－3【解析】【分析】作AH ⊥BC 于H ．证明四边形AFCH 是矩形，得出AF=CH ，在Rt △ABH 中，求得∠ABH=30°，则根据勾股定理可求出BH=3，可求出HC 的长度即为AF 的长度.【详解】解：如下图，作AH ⊥BC 于H ．则∠AHC=90°，∵四边形形ABCD 为长方形，∴∠B=∠C=∠EAB=90°，∵AF ⊥CD ，∴∠AFC=90°，∴四边形AFCH 是矩形，,AF CH =∵∠BEA ＝60°，∴∠EAB=30°，∴根据折叠的性质可知∠AEH=90°-2∠EAB=30°，∵在Rt△ABH 中， AB=2,∴112AH AB ==, 根据勾股定理2222213BH AB AH =--=∵BC=3,∴33AF HC BC BH ==-=-.故填：3－3.【点睛】本题考查矩形的性质和判定，折叠变化，勾股定理，含30°角的直角三角形.能作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键.15．3【解析】【分析】 【详解】过点A 作AF BE ⊥于F ，则090FAB FBA ∠+∠=， 设BF =x ，由垂径定理得BE =2BF =2x ，∵090EBH FBA ∠+∠=，∴FAB EBH ∠=∠，又∵090AFB BHE ∠=∠=，∴△ABF ∽△BEH ，∴BF AB EH BE =，即：62x EH x =，∴213EH x =， ∴BE －EH=22112(3)333x x x -=--+， 当x =3时，BE －EH 的最大值为3.故答案为：3.16．7+ 153. 【解析】【分析】先画出图形，过点B 作E′C 的垂线交其延长线于F 点，过点D′作CM 的垂线交CM 于H 点，过A 点作CM 的垂线交其延长线于G 点．在Rt △BFC 求出BF ，再在△BE′F 用“面积法”求CN，证明△ACG≌△BCN，△CD′H≌△CE′N，将有关线段转化，可求CM，从而可求MN．【详解】解：如图，若将△DCE绕点C顺时针旋转60°得到△D′CE′，过点B作E′C的垂线交其延长线于F点，过点D′作CM的垂线交CM于H点，过A点作CM 的垂线交其延长线于G点．∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，∴∠BCE′=360°-∠ACD′-∠ACB-∠D′CE′=120°．∴∠BCF=180°-∠BCE′=60°，∴∠FBC=30°，∴FC=5，∴BF= 2210553-=∴S△BCE′=12BF•CE′=16531532⨯⨯=∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACG=∠CBN，又∵AC=BC，∴Rt△ACG≌Rt△CBN，∴AG=CN，CG=BN．同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．∴AG=D′H，在△AMG和△D′MH中，90AGM D HMAMG D MHAG D H︒⎧∠=∠=⎪∠=∠''⎨='⎪⎩，∴△AMG≌△D′MH，∴HM=MG ，∴M 为GH 中点，CM= ()111()222CG CH NB NE BE ''+=+=，又∵BF= BCF=60°，∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，∴14==，∴CM=12BE′=7． 又∵S △BCE′=12CN•BE′，∴CN=2S △BCE′÷BE′= 7∴MN=CM+CN=7+7.故答案是：7+7. 【点睛】 本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理的运用，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．②③【解析】【分析】①利用圆周角定理的推论和弧之间的关系即可判断；②连接OD ，利用等腰三角形的性质得出OAD ODA ∠=∠，再根据90,90ODA GDP EPA EAP GPD EAP ∠+∠=︒∠+∠=∠+∠=︒即可得出GPD GDP ∠=∠，由此可判断②的正误；③首先利用垂径定理证明AF CD =，则有AP CP =，进而利用圆周角定理的推论和等量代换得出PC PQ =，则AP PQ =，P 点为Rt ACQ 斜边AQ 中点，则可判断③的正误；④利用同位角CQP ∠与GDA ∠是否相等即可判断两直线是否平行．【详解】①∵点C 是AD 的中点，AC CD ∴= ，ABC CAD ∴∠=∠ ．∵AC 与BD 不一定相等，∴BAD ∠与ABC ∠不一定相等，故①错误；②如图，连接OD ，则OD GD ⊥OA OD = ，OAD ODA ∠=∠∴ ．90,90ODA GDP EPA EAP GPD EAP ∠+∠=︒∠+∠=∠+∠=︒，GPD GDP ∴∠=∠，GP GD ∴=，故②正确；③CF AB ⊥于点E ，∴F 为CE 中点，∴AC AF = ．∵点C 是AD 的中点，AC CD ∴= ，AF CD ∴=，CAD ACF ∴∠=∠，AP CP ∴=．∵AB 为圆的直径，90ACQ ∴∠=︒ ，9090ACP CAP ∴︒-∠=︒-∠，PCQ PQC ∴∠=∠，PC PQ ∴=，AP PQ ∴=，∴P 点为Rt ACQ 斜边AQ 中点，∴点P 是ACQ ∆的外心，故③正确；④90CQP CAP ∠=︒-∠，9090GDA ADO DAO ∠=︒-∠=︒-∠，又CAD ∠与DAO ∠不一定相等，∴CQP ∠与GDA ∠不一定相等，∴BC 与GD 不一定平行；所以正确的有：②③，故答案为：②③．【点睛】本题是圆的综合题，其中涉及切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外接圆等，数练掌握性质及定理是解题的关键．18．40【解析】【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°-∠ABC=115°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=25°，由过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，可得∠MCA＝∠ABC ＝65°，∠AMC＝90°，继而根据三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC-∠AMC=25°，即可求出∠ACD的度数．【详解】∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝25°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA＝∠ABC＝65°，∠AMC＝90°，∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM，∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝25°，∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝65°﹣25°＝40°，故答案为40．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．19．①②④【解析】【分析】①正确．根据BD DN=可以推出结论．②正确．连接DM，证明∠BDM＝∠DMN即可．③错误．首先证明BD＝BM＝DN，再根据BM+BD+DN＞MN，可得MN＜3BD，即可判断．④正确．证明△MON是等腰直角三角形即可判断．【详解】解：由作图可知：BD DN=，∴∠AOC＝∠DON，即OC平分∠AON，故①正确．连接DM，∵BM DN=，∴∠BDM＝∠DMN，∴BD∥MN，故②正确，∵BD DN BM==，∴BM＝BD＝DN，∵BM+BD+DN＞MN，∴MN＜3BD，故③错误，若∠AOC＝30°，则∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形，∴MN＝2ON，故④正确．故答案为①②④．【点睛】本题考查作图-复杂作图，弧，圆心角，弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25320【解析】【分析】首先利用菱形的性质得出AB=AD，又由AB=BD得出△ABD是等边三角形，进一步证明△CDE≌△DBF，得出∠BGE=∠DGF=60°，证得四边形ABGD是圆内接四边形，过点A 再分别作AM⊥DE，AN⊥BF，证明△ABN≌△ADM，把四边形ABGD的面积转化为四边形AMGN的面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=∠ABD=60°∴∠DBC=∠BDF=∠C=60°在△CDE和△DBF中，CD BDC BDFCE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE≌△DBF（SAS）∴∠CDE=∠DBF∴∠GBE=∠BDE∴∠DBF+∠GBE=∠DBF+∠BDE=∠BGE=∠DGF=60°=∠BAD ∴四边形ABGD是圆内接四边形，∴∠BGD=120°如图，过点A分别作AM⊥DE，AN⊥BF，垂足分别为M、N∵AG是角平分线，∴AN=AM，在Rt△ABN和Rt△ADM中，AN AMAB AD=⎧⎨=⎩,∴Rt△ABN≌Rt△ADM（HL）∴GN+GM=BG+DG=2+3=5连接AG ，在Rt △AGN 和Rt △AGM 中AN AM AG AG =⎧⎨=⎩,∴Rt △AGN ≌Rt △AGM （HL ）∴NG=MG=12（BG+DG ）=52，∠AGN=12∠BGD=60°∴AN=NG•tan ∠∴S 四边形ABGD =S 四边形ANGM ．S 四边形ABGD =2S △AGN =2×12×NG×AN=52【点睛】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定与性质，圆内接四边形的判定与性质等知识点．21．（1）19（2）727【解析】试题分析：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏． 试题解析：(1)画树状图如下：总共有27种结果，每种结果出现的可能性相同．其中，三辆车全部同向而行的结果有3种，(7分)∴P(三辆车全部同向而行)＝31= 279；(2)由(1)中树状图可知至少有两辆车向左转的结果有7种，∴P(至少有两辆车向左转)＝7 27.22．（1）证明见解析；（2）AF+CF=AB．证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF；（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB．【详解】（1）连接OD，∴OD⊥EF，∵AD平分∠BAC，∴CD BD，由垂径定理知OD⊥BC，又AB是直径，∴∠ACB=90°，即AF⊥BC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF；（2）AF+CF=AB，证明如下：过D 作DH ⊥AB 于H ，则DH=DF ，AH=AF ，∵CD BD =，∴DC=DB ，在 Rt △CFD 与 Rt △BHD 中，DF DH DC DB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFD ≌Rt △BHD （HL ），∴BH=CF ，∴AB=AH+HB=AF+CF ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理是解题的关键.注意数形结合思想的应用． 23．10米【解析】【分析】把ACD ∆通过作高分割为两个有特殊角的直角三角形，所以先求CAD ∠的大小，延长BA 与EF 相交，可得BA ⊥EF ，从而可求CAD ∠，过A 作CD 上的高后可得到答案．【详解】解：如下图，延长BA 交EF 于N ，过A 作AF ⊥CD 于F ，由题意得：BA ⊥EF ，又因为：23AEF ∠=︒，所以67EAN ∠=︒，又因为38BAC ∠=︒，所以75CAD ∠=︒．因为AF ⊥CD ，60ADC ∠=︒ ，所以30,45,DAF CAF ∠=︒∠=︒所以AF ＝CF因为AD ＝4，30DAF ∠=︒所以DF ＝2，AF ＝CF ＝23，所以AC ＝22(23)(23)26+=所以大树的高度为AC ＋CD ＝26232++≈10（米）即大树没有折断前大约10米．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数的应用，是解直角三角形章节中的典型练习，考查学生的锐角三角函数基础，同时考查学生对一般图形转化为已熟练的直角三角形的能力，是学生难以突破的．24．（1）thiA 2；（2）60或120；（3）thiA ＝2sinA【解析】试题分析：(1) 根据已知找到BC 和AB 的关系，依据定义计算出答案即可；(2) 过点B 向AC 所在直线作垂线，根据thi A ＝A BC C AB∠∠=的对边的对边3，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A 为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°. (3) 根据题意，由thiA ＝BC AB , sinA ＝BH AB, sinC ＝BH BC ＝12易得BC ＝2BH ，进而可得答案．试题解析：解：（1）如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ．在Rt △BHC 中，sinC ＝BH BC ＝12，即BC ＝2BH ． 在Rt △BHA 中，sinA ＝BH AB ＝22 ，即AB 2BH ． ∴thiA ＝BC AB2． （2）60或120． （3）在Rt △ABC 中，thiA ＝BC AB ． 在Rt △BHA 中，sinA ＝BH AB． 在Rt △BHC 中，sinC ＝BH BC＝12，即BC ＝2BH ． ∴thiA ＝2sinA ．25．(1)60°;(2)105°;(3)不改变，105°.【解析】【分析】()1由//DE AC 可得30DCA D ∠=∠=︒，则可求60DCB α∠=∠=︒；()2由//DE AB 可得60E AFC ∠=∠=︒，根据三角形内角和可求75FCA ∠=︒即可求15ACD =︒∠，由此即可求得α∠；()3根据三角形内角和和外角等于不相邻的两个内角和，列出1∠，2∠，3∠关系式可求123∠+∠+∠的值【详解】() 1//DE AC ，30D ACD ∴∠=∠=︒，又90BCA ∠=︒，60BCD BCA ACD ∴∠=∠-∠=︒，即60α=︒()2//DE AB ，60E CFA ∴∠=∠=︒，∵45A ∠=︒，∴75FCA ∠=︒，∴15ACD =︒∠，105BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=︒，即105α=︒；() 3大小不变，其值为105︒．ACD CAB D AFD ∠+∠=∠+∠，45CAB ∠=︒，30D ∠=︒，15AFD ACD ∴∠-∠=︒，又12AFD ∠+∠=∠，390ACD ∠=-∠︒，123909015105AFD ACD ∴∠+∠+∠=∠+-+︒︒∠==︒︒.【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质是解决问题的关键．26．（1）对称轴：直线2x =，顶点坐标()4,0A ；（2）1,2)P -【解析】【分析】（1）函数的对称轴为：x ＝4222b a -=-=-，令y ＝−x ²＋4x ＝0，解得x ＝0或4，即可求解；（2）当点P 关于BD 的对称点恰好落在x 轴上时，作点P 关于BD 的对称点H ，证明PD ＝PB ，即可求解．【详解】（1）∵224(2)4y x x x =-+=--+， ∴对称轴：直线2x =，()4,0A ；（2）当点P 关于BD 的对称点恰好落在x 轴上时，作点P 关于BD 的对称点H ，由对称可知1245∠=∠=°，//PC x 轴，345∴∠=︒PD PB ∴=，设点D 的横坐标为a ，则AB CD a ==，4OB a =-，24PD a =-又24PB a a =-+，2424a a a ∴-+=- 解得：151a =，251a =（舍）(5152)P ∴，．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 27．（1）1p x =+，15x ≤≤且x 为整数，565q x =+，15x ≤≤且x 为整数；（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数，第5天时利润最大；（3）85m ． 【解析】【分析】（1）根据表格数据，p 是x 的一次函数，q 是x 的一次函数，分别求出解析式即可；（2）根据题意，求出利润w 与x 的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m 的取值范围．【详解】（1）观察表格发现p 是x 的一次函数，q 是x 的一次函数，设p=k 1x+b 1，将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1111k b =⎧⎨=⎩， 所以1p x =+，经验证p=x+1符合题意，所以1p x =+，15x ≤≤且x 为整数；设q=k 2x+b 2，将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：22565k b =⎧⎨=⎩， 所以565q x =+，经验证565q x =+符合题意，所以565q x =+，15x ≤≤且x 为整数；（2）当15x ≤≤且x 为整数时，(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++； 当630x ≤≤且x 为整数时，()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-； 即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数；当15x ≤≤且x 为整数时，售价，销量均随x 的增大而增大，故当5x =时，495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时，2240100(20)300W x x x =-+-=--+故当20x 时，300W =最大（元）； 由495300>，可知第5天时利润最大．（3）根据题意，前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只），∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元）， ∴12502000m ≥， ∴85m ； ∴m 的取值范围为85m． 【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．28．（1）12y x =（2）（9，3）；13y x = （3）5 【解析】【分析】（1）直接代入A 点坐标课的k 的值，进而可得函数解析式；（2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，利用勾股定理计算出AO 的长，进而可得AB 长，然后可得B 点坐标．设OB 所在直线解析式为y=mx （m≠0）利用待定系数法可求出BO 的解析式；（3）首先联立两个函数解析式，求出P 点坐标，过点P 作PD ⊥x 轴，延长DP 交AB 于点E ，连接AP ，再确定E 点坐标，最后求面积即可．【详解】解：()1将点()A 4,3代入()k y k 0x=≠，。

2020-2021北京良乡第四中学初三数学上期末模拟试题(及答案)

2020-2021北京良乡第四中学初三数学上期末模拟试题(及答案)

2020-2021北京良乡第四中学初三数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若50C ∠=︒，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒2．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．4 4．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定 5．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( )A ．59B ．49C ．56D ．13 6．抛物线2y x 2=-+的对称轴为A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0=7．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°8．二次函数2y (x 3)2=-++图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )A ．向下，直线x 3=，()3,2B ．向下，直线x 3=-，()3,2C ．向上，直线x 3=-，()3,2D ．向下，直线x 3=-，()3,2- 9．方程x 2＝4x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x 1＝4，x 2＝0C ．x ＝4D ．x ＝210．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．8C ．5D ．3 12．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）A ．正三角形B ．矩形C ．正八边形D ．正六边形二、填空题13．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．14．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．16．函数y ＝x 2﹣4x +3的图象与y 轴交点的坐标为_____．17．一元二次方程22x 20-=的解是______．18．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P=20°，则∠A=___________°．19．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B 出发，沿表面爬到母线AC 的中点D 处，则最短路线长为_____．20．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于_____．三、解答题21．一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．22．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．23．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克）50 60 70 销售量y （千克） 100 80 60（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W （元），则当售价x 定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．24．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．25．已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由AC 是⊙O 的切线可得∠CAB=90︒,又由50C ∠=︒，可得∠ABC=40︒;再由OD=OB ，则∠BDO=40︒最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD 计算即可.【详解】解：∵AC 是⊙O 的切线∴∠CAB=90︒,又∵50C ∠=︒∴∠ABC=90︒-50︒=40︒又∵OD=OB∴∠BDO=∠ABC=40︒又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD∴∠AOD=40︒+40︒=80︒故答案为C.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.2．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，B 、图形是轴对称图形，C 、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，D 、图形是轴对称图形.故选C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．B解析：B【解析】【分析】取EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF=x ，则OM=4-x ，MF=2，然后在Rt △MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．5．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49．【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．6．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．7．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．D解析：D【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据二次项系数可判断开口方向，根据解析式可知顶点坐标及对称轴．【详解】解：由二次函数y=-（x+3）2+2，可知a=-1＜0，故抛物线开口向下；顶点坐标为（-3，2），对称轴为x=-3．故选：D．【点睛】顶点式可判断抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，函数的增减性．9．B解析：B【解析】【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x2＝4x，x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x﹣4＝0，x＝0，x1＝4，x2＝0，故选B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．10．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．故选B．11．A解析：A【解析】【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=12CD=12×8=4，在Rt△OCP中，设OC=x，则OA=x，∵PC=4，OP=AP-OA=8-x，∴OC2=PC2+OP2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5，∴⊙O的直径为10．故选A．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．C解析：C【解析】因为正八边形的每个内角为135 ，不能整除360度，故选C.二、填空题13．6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0解得a＝4∴原方程化为x2－4x－12＝0∵x1＋（－2）＝4∴x1＝6故答案为6点睛：本题考查了一元二解析：6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1，把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0，解得a＝4，∴原方程化为x2－4x－12＝0，∵x1＋（－2）＝4，∴x1＝6．故答案为6．点睛：本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋ x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．也考查了一元二次方程的解． 14．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x ﹣2）（x ﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x 2﹣7x +10＝0（x ﹣2）（x ﹣5）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 15．（0）【解析】∵抛物线的对称轴为点P 点Q 是抛物线与x 轴的两个交点∴点P 和点Q 关于直线对称又∵点P 的坐标为（40）∴点Q 的坐标为（-20）故答案为（-20）解析：（2-，0）【解析】∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点， ∴点P 和点Q 关于直线1x =对称，又∵点P 的坐标为（4，0），∴点Q 的坐标为（-2，0）.故答案为（-2，0）. 16．（03）【解析】【分析】令x ＝0求出y 的值然后写出与y 轴的交点坐标即可【详解】解：x ＝0时y ＝3所以图象与y 轴交点的坐标是（03）故答案为（03）【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标掌握二次解析：（0，3）．【解析】【分析】令x ＝0，求出y 的值，然后写出与y 轴的交点坐标即可．【详解】解：x ＝0时，y ＝3，所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.17．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x1＝1，x2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．18．35【解析】【分析】【详解】解：∵PC与⊙O相切∴∠OCP=90°∴∠COP=90°-∠P=90°-20°=70°∵OA=OC∴∠A=∠ACO∵∠A+∠ACO=∠COP∴∠A=35°故答案为35解析：35【解析】【分析】【详解】解：∵PC与⊙O相切，∴∠OCP=90°，∴∠COP=90°-∠P=90°-20°=70°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠A+∠ACO=∠COP，∴∠A=35°，故答案为35.19．【解析】【分析】将圆锥侧面展开根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得蚂蚁的最短路线长【详解】如图将圆锥侧面展开得到扇形ABB′则线段BF为所求的最短路线设∠BAB′＝n°∵∴n＝120即∠BAB′＝【解析】【分析】将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长.【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路线．设∠BAB ′＝n °． ∵64180n ππ⋅=， ∴n ＝120，即∠BAB ′＝120°． ∵E 为弧BB ′中点，∴∠AFB ＝90°，∠BAF ＝60°，Rt △AFB 中，∠ABF ＝30°，AB ＝6∴AF ＝3，BF ＝2263-＝33，∴最短路线长为33．故答案为：33．【点睛】本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.20．-1【解析】由题意得ABBC 于DBC 于EBC 交BC 于FAB=勾股定理得AE=AD=1DB=-1解析：2-1【解析】由题意得， AB ⊥B’C’于D ，BC 'AC ⊥于E ,BC 交B’C’于F .Q AB =2,勾股定理得∴AE =AD=1，∴DB =2-122112122ABE DBF S S S AE BD =-=-=-V V 阴影.三、解答题21．(1)见解析;(2)13. 【解析】【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，∴摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=．【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.22．(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.23．（1）y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元；（3）55≤x ≤80，理由见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．（3）求得W ＝1350时x 的值，再根据二次函数的性质求得W ≥1350时x 的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．【详解】（1）设y ＝kx +b ，将（50，100）、（60，80）代入，得：501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）W ＝（x ﹣40）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+280x ﹣8000＝﹣2（x ﹣70）2+1800，∴当x ＝70时，W 取得最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．（3）当W ＝1350时，得：﹣2x 2+280x ﹣8000＝1350，解得：x ＝55或x ＝85，∵该抛物线的开口向下，所以当55≤x ≤85时，W ≥1350，又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x ≤80，∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x ≤80．【点睛】考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，列出相应的函数解析式，再利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．24．13【解析】【分析】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：C（C，A）（C，B）（C，C）的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．25．（1）证明见解析；（2）37．【解析】【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=33，最后根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果．【详解】解：（1）连接FO易证OF∥AB∵AC⊙O的直径∴CE⊥AE∵OF∥AB∴OF⊥CE∴OF所在直线垂直平分CE∴FC＝FE，OE＝OC∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠OCE∵Rt△ABC∴∠ACB＝90°即：∠OCE＋∠FCE＝90°∴∠OEC＋∠FEC＝90°即：∠FEO＝90°∴FE为⊙O的切线（2）∵⊙O的半径为3∴AO＝CO＝EO＝3∵∠EAC＝60°，OA＝OE∴∠EOA＝60°∴∠COD＝∠EOA＝60°∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3∴CD＝33∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6∴AD＝37【点睛】本题考查切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理．。

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22．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
A．x(x－1)＝2070B．x(x＋1)＝2070
C．2x(x＋1)＝2070D． ＝2070
8．若关于x的一元二次方程 有实数根，则整数a的最大值是（）
A．4B．5C．6D．7
9．下列判断中正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
15．直线y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为_____________．
16．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
17．若实数a、b满足a+b2=2，则a2+5b2的最小值为_____．
18．已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
25．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可．
【详解】
设扩大后的正方形绿地边长为xm，
根据题意得x（x-20）=300，
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理得到AB= ，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．
(10，4)
∴一共有30种情况，点数和为偶数的有14个，
∴点数和是偶数的概率是 ；
故答案为 .
【点睛】
本题考查概率的概念和求法.解题的关键是找到所求情况数与总情况数，根据：概率=所求情况数与总情况数之比.
14．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率
【解析】
【分析】
列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：
【详解】
列表如下：
红
红
红
绿
绿
红
﹣﹣﹣
（红，红）
（红，红）
（绿，红）
（绿，绿）
红
（红，红）
﹣﹣﹣
（红，红）
（绿，红）
（绿，红）
红
（红，红）
（红，红）
﹣﹣﹣
（绿，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（红，绿）
（红，绿）
A． B． 或 C．2或 D．2或 或
12．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正三角形B．矩形C．正八边形D．正六边形
二、填空题
13．如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是_____．
14．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红球约为________个．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM．
①求二次函数解析式；
②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；
③若直线x=4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P（含C，E两点），将图象P沿直线x=4翻折，得到图象Q，又过点（10，﹣4）的直线y=kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．C
解析：C
【解析】
试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选C．
6．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：
2020-2021北京市北京四中九年级数学上期末模拟试题(带答案)
一、选择题
1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的()
A．MB．PC．QD．R
2．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是( )
解得m= ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣ ，m= （舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1 ．
故选C．
12．C
解析：C
【解析】
因为正八边形的每个内角为 ，不能整除360度，故选C.
A．x(x-20)=300B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300D．60(x-20)=300
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． - D．
4．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
二、填空题
13．【解析】【分析】列举出所有情况再找出点数和是偶数的情况根据概率公式求解即可【详解】解：从6张牌中任意抽两张可能的情况有：(410)(510)(610)(810)(910)(109)(4
解析： ．
【解析】
【分析】
列举出所有情况，再找出点数和是偶数的情况，根据概率公式求解即可.
【详解】
解：从6张牌中任意抽两张可能的情况有：
解得a≤ 且a≠6，
所以整数a的最大值为5.
故选B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等弧概念对A进行判断,根据垂径定理对B、C、D选项进行逐一判断即可．
本题解析.
【详解】
A.能够互相重合的弧,叫等弧,不但长度相等而且半径相等.故本选项错误.
【详解】
∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB= ，
∴S扇形ABD= ，
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD= ，
故选A.
【点睛】
本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键.
∴全班共送：（x﹣1）x=2070，
故选A．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤ 且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．
【详解】
根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，
解析：25
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷ =35个，所以袋中红球约为35-10=25个.
（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
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