第二章定解问题

l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给 出具体问题的定解。
例 长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记 为u0 ，试写出该过程的初始条件。 解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
f (x, y)
齐次： f (x, y) 0
发展史:
(1)十八世纪初：Taylor: utt a2uxx f
(2)十九世纪中期，三类数理方程：
波动方程
utt a2u f
输运方程（热传导和扩散） ut Du f
稳定场方程（势场分布、平衡 温度场分布）
u h
以上这三类方程，从方程本身来看，其特点是二阶线性偏微分方程。可以看出， 方程中它们都是关于空间的二阶偏导数，关于时间分别是二阶，一阶偏导数和与 时间无关。因此，这三类方程在数学上又是三类不同的方程，依次分别可以称为 双曲型、抛物型和椭圆型方程。
（3）化简、整理，取相应的极限过程，得到 数学物理方程。
作业 1
题1：在弦的横振动问题中，若弦受到一个与速度成正比的阻尼， 试导出弦的阻力振动方程为：utt cut a2uxx , 其中，c是常数。又考虑回复力与弦的位移成正比时的情形，证 明这时所得到的数理方程为：utt cut bu a2uxx ,其中b是常数， 此方程称为电报方程。 题2： 设扩散物质的源强为F (x, y, z,t)(单位体积内，在单位时间
r H
1 c
r Et
方程：Ett Htt
c2E c2H
.
题4：导出理想传输线的电报方程
Vtt Itt
a 2Vxx a2 I xx
,
其中，V 和I分别是理想传输线上的电压和电流，
a2 1 ,C和L分别是单位长度上的电容和电感。 CL
§2.3 定解条件
一、引入定解条件的必要性： 1、从物理角度看：物理方程仅能表示一般 性，要个性化物体的规律需要附加条件。 2、从数学角度看：微分方程的解的任意性 需要附加定解条件来具体化。 3、定解条件包括：初始条件和边界条件。
对x受力分析，由牛顿第二定律 得
T2 cos 2 T1 cos
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x, t) ( 2 1)
注意到
sin
tan tan2
ux 1 ux2
ux
sin 1 ux (x, t)
sin 2 ux (x x,t)
2 2 2 2 x2 y2 z2
三维拉普拉斯算符
补例：电磁场方程（三维波动方程）
已知：电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式是
D
(1)
Ε Bt
(2)
B 0
(3)
H j Dt (4)
D E B H j E
求解：电磁场所满足的三维波动方程 。
由（4）式，并注意本构关系1、3：
给出弦上各点的初始速度：
ut (x, y, z;t) t0 (x, y, z)
2、注意：
u(x)
（1）初始条件应该给出整个系统
的初始状态，而不仅是系统中个 别地点的初始状态：
0
例如：两端固定的弦振动，
h
x
l 2
xl x
初始条件为：
u(x,
t)
t 0
2h l 2h l
x, (l
0 x),
l
2 l
三、边界条件
1、定义：
由于泛定方程中的未知函数均是空间位置的函数，必须考虑 研究对象所处的特定环境和边界的物理状况。这是因为所研 究的物理量在某一位置与其相邻位置的取值之间的关系，将 会延伸到被研究的区域的边界，与边界状况发生联系。
我们称这个物理过程的边界状况的数学表达 式为边界条件。
2、三类边界条件： （1）第一类边界条件： 又称狄利克莱（利，Dirichlet）条件， 它直接给出了未知函数在边界上的值，即
若 f 0
称为弦的自由振动，振动过程中不受外力。
utt a2uxx
齐次波动方程
事实上，除了以上一维波动方程，像薄膜振动（二维），电 磁场方程（三维）等，均属于波动方程：
utt a2u f (x, y, t)
uxx
uyy
2u x2
2u y 2
utt a22u a2 (uxx uyy uzz )
中的静电场的分布特性。
2、分析：
因为静电场是有势场，势函数V满足 所以，研究电场分布特性只需确定 势函数的规律即可。
E V
所以，确定研究对象为 V(x,y,z)
已知：稳定场不随时间变化，
0r , D E, (x, y, z)
3、建立方程：
在研究的区域中，任作一封闭曲面S，其所包围的空 间区域为τ，则由介质中静电场中的高斯定理，得
（k为热导率，与介质材料有关 ）
（3）热源强度（ 单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程： （1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。
题3：真空中电磁场的Maxwell方程组微分形式
r E 0
r E r
1 c
Βιβλιοθήκη Baidu
r Ht
,
试由该方程导出电磁波
H 0
cut
k[ux (x, x x) ux (x,t)] x
F
令， x 0 取极限
ut
k
c
uxx
F
c
ut Duxx f (x, t)
一维的热传导方程，类似可得三维扩散、热传导方程：
ut a2u f
三、稳定场方程（泊松公式）
1、定解问题：在充满介电常数ε的介质区域中，
有体密度为ρ(x,y,z)的电荷分布，试研究这个区域
cos 1 1 sin2 1 1 cos 2 1 sin2 2 1
得：
T1 T2 T
T2 cos 2 T1 cos
(x)utt (x 2x,t) F(x 1x,t)x T ux(x x,t) ux(x,t)
T2 sin 2 T1 sin 1 F(x 1x,t)x (x)utt (x 2x,t)
ut a2u 0 与t无关 a2u 0 （无源，拉普拉斯方程）
建立数理方程一般的三个步骤：
（1）对所研究的问题做数学抽象表述，从所 研究的系统中划出一小部分，即微元作为研究 对象，分析相邻部分与这一小微元的相互作用；
（2）根据相关领域中的物理学的规律（如前 面所用的牛顿第二定律、能量守恒定律、高斯 定律等），以数学表达对微元的这种作用关系；
Y
Y
F(x,t)
T2
M2
2
M1
1
2、分析：
A x x x
B
X
T1
x
xx
X
（1）确定研究对象：设 u(x,t) 为弦位移，则u满足规律所 求。为了研究u，在x位置处取x小段弦为研究对象。
（2）物理问题的数学抽象：
1）由于弦是“细长”的，所以 (x,t) t
忽略重力
2）由于弦“绷紧”于AB两点，这说明弦中各相邻部分之间有 拉力即“张力”作用；由于弦是“柔软”的，所以相邻小段张 力总是弦线的切线方向；
（2）定解问题的求解: 行波法；分离变量法；积分变换法；格林函数
法；保角变换法。
（3）解的适定性。 适定性：即存在性、唯一性和稳定性。
§2.2 三类数理方程的导出
一、弦的横振动方程（波动方程的建立）
1、物理模型：
设有一根细长柔软的弦线，绷紧于A，B两点之间，在平衡 位置AB附近产生振幅极为微小的横振动，求这弦上各点的 运动规律。
（3）十九世纪末到二十世纪初，其他方程：
高阶方程：
utt
a
u2 xxxx
f
( x, t )
非线性方程： 浅水沟
KDV
: ut
uux
uxxx
0
等离子体
薛定谔方程： ih h2 U (r) h 2
二、数学物理方程的一般性问题:
（利用数理方程求解问题的一般步骤）
（1）确定定解问题。 泛定方程+定解条件=定解问题
H
Ett
1
2E
1
E
电磁场所满足的三维波动方程
二、热传导方程
1.定解问题：设有一根横截面积为的均匀细杆，沿杆长方向 有温度差，其侧面绝热，求杆中温度的分布变化规律 ？
因为热量只会沿着杆长方向传导，所以，这是一个一维问题。 可以用 u(x,t) 表示杆上 x 点处在 t 时刻的温度。
n
n
x
x
x x
不妨取x轴与杆重合，根据问题的物理叙述，利用热传导的相 关定律，可以做以下的数学表述：
相关定义： Q—热量；T—温度；t—时间；V—体积；S—面积；ρ—密度。 （1）比热容（单位物质升高单位温度所需热量）
c Q
VT
（2）热流强度（单位时间内垂直通过单位面积的热量）
q Q k u nˆ tS n
二、初始条件
从数学角度看，对于一个含有时间变量的微分方程，其 未知函数将随时间的不同而不同。所以必须考虑到研究对象 的某个所谓“初始”时刻的状态，我们把这个物理过程的初 始状态的数学表达式称为初始条件。 例如：波动方程的初始条件： 给出弦上各点在开始振动时刻的初始位移：
u(x, y, z;t)t0 (x, y, z)
Y
F(x,t)
M2
M1
1
T2
2
T1
x
xx
X
F (x 1x, t)x F为单位长度所受的外力
1
注意到在振动过程中
xx
xx
M¼1M2
1 (ux )2 dx dx x
x
x
即这一小段的长度在振动过程中可以看作是不变的。因此， 由胡克(Hooke)定律知张力和线度都不随 t 而变，即
T (x,t) T (x) (t)
( H ) E Ε t
由（2）式，并注意本构关系2：
( H ) H Ht
又由矢量公式
( H ) ( H ) 2H
H 1B 0
得H所满足的方程为： 2 H Htt Ht
同理得E所满足的方程为：
2 E Ett Et
如果介质不导电
H tt
1 2H
1
3）由于弦作“微小”的横向振动，故相邻点沿振动方向位移的 差别很小，即
u | ux || x |= 1 无穷小量
Y
F(x,t)
M2
T2
2
ux2
M1
1
有了以上对问题的数学描述，下边我们 来具体推导方程
T1
x
xx
X
3、研究建立方程：
（1）任意段x受力：
x轴方向:
T1 cos 1 T2 cos 2
Y轴方向： T1 sin 1 T2 sin 2
（3）在t时间内沿x轴由x +x处正向流出截面的热量为
Q2 (x x) kux (x x,t) At
（4）在t内，杆内热源在x段产生的热量为
Q3 F (x,t)( Ax) At
根据能量守恒定律
Q Q1 Q2 Q3
c Autxt
kux (x,t)At kux (x x,t)At FAxt
Ñs E
dS
1
d
Ñ 把面积分化为体积分：
E dS Ed
s
因此
E 1
由E/V关系和矢量场运算得
V 1
这就是介质中的静电场满足的泊松方程。
4、几点说明：
V 0 （1）如果我们所讨论的区域中无电荷，
得拉普拉斯方程 ：
（2）稳定的浓度分布和温度场方程：可由
ut a2u f 与t无关 a2u f （有源，泊松方程）
第二章 定解问题
主要内容：
1、掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步 骤。 2、掌握三类典型数理方程的推导过程和建立 （导出）数理方程的一般方法，步骤。 3、正确写出一些典型物理问题的定解问题和定 解条件。
§2.1 引言
一、数学物理方程简介：
数学物理方程是指从物理问题中导 出的反映客观物理量在各个空间、时刻 之间相互制约关系的一些偏微分方程。 方程可以分为线性和非线性方程。
偏微分方程的基本概念：
u u u
mu
F(x1, x2,L
, xn,u, x1
, x2
,L
, xn
,L
, x1m1x2m2
L
xnmn
)
0
注意： （1）方程的阶数 （2）线性和非线性 （3）齐次和非齐次
m m1 m2 L mn
例如：
A(
x,
y)
2u x2
B(
x,
y
)
2u y 2
C(x, y)u
整理得
utt
(x
2 x, t )
T
ux
(x
x, t ) x
ux
( x, t )
F(x
1x,t)
对上式两边取x0 时的极限
utt a2uxx f (x, t)
即：弦的微小横振动方程是一维的波动方程
其中： a2 T
表示振动在弦上的传播速度
f (x,t) F (x,t) 表示力密度，表示时刻t，作用于x处 的单位质量上的横向外力。