大一高等数学第四章不定积分习题(课堂PPT)
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高数—不定积分讲解和例题-PPT(1)共64页文档
—— 积分学的任务
一、原函数与不定积分的概念
定义1：
已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有
F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。
第四章 不定积分
§1. 不定积分的概念与性质
已知物体运动的位置函数 s = s(t)， 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。
—— 微分学解决的问题
已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。
—— 积分学解决的问题
一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。
例3. (ex3six n )dxex dx3six d n x
ex3co x sC .
例4.
42x 3x 2x dx
423xdx
4x (3 2)x C.
ln(3 2)
axdxax C. lna
sixn dx co x C s,
f ( x ) g ( x ) d f x ( x ) d x g ( x ) d x .
性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。
k f(x )d x k f(x )d x .(k 0 为)常
利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点：
定义2：函数 f (x) 的全体原函数就称为
f (x) 的不定积分。 记作 f(x)dx. 其中 — 积分号 f (x) — 被积函数
f (x) d x — 被积表 x — 积分变量 达式
一、原函数与不定积分的概念
定义1：
已知 f (x)是一个定义在区间I上的函数， 如果存在函数F (x), 使在 I 内的任一点都有
F ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。
第四章 不定积分
§1. 不定积分的概念与性质
已知物体运动的位置函数 s = s(t)， 求时刻 t 的瞬时速度 v = v(t)。
—— 微分学解决的问题
已知物体运动的速度函数 v = v(t) 求运动的位置函数 s = s(t)。
—— 积分学解决的问题
一般，已知函数 f(x), 要找另一 个函数F(x), 使 F ’(x) = f (x)。
例3. (ex3six n )dxex dx3six d n x
ex3co x sC .
例4.
42x 3x 2x dx
423xdx
4x (3 2)x C.
ln(3 2)
axdxax C. lna
sixn dx co x C s,
f ( x ) g ( x ) d f x ( x ) d x g ( x ) d x .
性质2. 被积函数中不为零的常 数因子可提到积分号外。
k f(x )d x k f(x )d x .(k 0 为)常
利用基本积分表和不定积分性质，可计算 一些简单函数的不定积分。注意3点：
定义2：函数 f (x) 的全体原函数就称为
f (x) 的不定积分。 记作 f(x)dx. 其中 — 积分号 f (x) — 被积函数
f (x) d x — 被积表 x — 积分变量 达式
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
解法一 sin3xcosxdx sin3xdsinx 1 sin4x C 4
解法二
sin3xcosxdx sin2xcosxdcosx cos3x cosx dcosx
1 cos4x 1 cos2x C
4
2
例4.2.12 求 cos4xdx 。
解
cos4
x
1
ln 1
x'
1 ，于是有 1 x
1
1
x
dx
ln
1
x'
dx
ln
1
x
C
思考：当x 1 时，结果如何呢？
例4.1.5 求 x2 dx
1 x
x 1 。
解
x2
1 x
dx
x2 11 1 x
dx
x
1
1 1
x
dx
1 x2 x ln 1 x C 2
例4.1.6 求
1 dx 。 x
解
1 x
解
tanx
dx
sinx cosx
dx
d cosx
cosx
ln
cosx
C
类似地可得
cotxdx ln sinx C
以上这两个结果是常用的积分公式，请读者熟记。
例4.2.6 求
1
1 e
x
dx
。
解法一 利用 ex ' ex 的特点，在被积函数的分子中增、减项，即
1
1 e
x
dx
1 ex ex 1 ex dx
由于 x2 ' x2 2 ' x2 35 ' 2x ，所以 x2、x2 2、x2 35
都为2x的原函数。那么2x 的原函数有多少个呢？
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高等数学不定积分的计算教学ppt
dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
应用高等数学第4章4-1不定积分27页PPT
一、运算法则 二、进一步的练习
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
高等数学课件--D4_1不定积分
x (1 x )
2
2
dx
arctan x ln x C
2012-10-12
例8. 求
1 x 2 dx .
( x 1) 1
2 4
x
4
解: 原式 =
1 x 2 2 ( x 1)( x 1) 1
1 x
2
2
dx
dx
( x 1) dx
1 x2 ) x2 ( x (1 x )
2
2 2
2
1 x
2
1 1 x
2
(2)
sin x cos x
sin x cos x
2 2
sec x csc x
2012-10-12 同济高等数学课件
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2
2
6. 求不定积分 解：
(e
2x
e 1)
csc xdx cot x C
2
同济高等数学课件
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2012-10-12
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
e dx e C
x
(12)
(13)
x
a
x
2
2012-10-12
1 3
x C
3
C 称为积分常数, 不可丢 !
sin xdx
cos x C
同济高等数学课件
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
第4章-不定积分 高等数学教学课件
考察不定积分 cos 3xdx.
显然cos 3x的原函数不能由基本积分公式直接求出,
但cos3x是基本初等函数f (u) = cosu与 u=3x的复合函数.
sin 3x' 3cos3x,1 sin 3x就是cos3x的一个原函数.
3
cos 3x的原函数与cos u的原函数关系密切,前者可通过后者求得.
表达式.
定义2 若F(x)是函数f (x) 在区间I上的一个原函数,
则f (x)的原函数的一般表达式F(x)+C称为f (x)的不定积
分，记作 f (x)dx,即
f (x)dx F(x) C,
其中 称为积分号，f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式,
x称为积分变量, C称为积分常数.
(3)如果f (x)有多个原函数，那么这些原函数之 间有什么关系？
对此有如下三个定理:
定理1(原函数存在定理)
如果f (x)在某一区间连续，那么它在该区 间的原函数一定存在. 注 (1)由于初等函数在其定义域内都是连续的，故 初等函数在其定义域内都有原函数.
(2)一个函数的原函数不是唯一的.
定理2
证明 G 'x F 'x f x, x I, G x F x ' G '(x) F '(x) f (x) f (x) 0, x I.
由Lagrange中值定理，知
Gx F x C0, xI，
其中 C0是常数.
证毕
由定理2和3知,若F(x) 是f (x)的一个原函数,则 f (x) 的所有原函数全体就是形如F(x)+C的函数构成的集, 其中C为任意常数. 因此,F(x)+C是f (x)的原函数的一般
《高数不定积分》课件
对求解结果进行检查，确认计算结果是否正确。
总结与复习
通过本课件的学习，您已经了解了不定积分的基本概念、公式和常见函数的积分方法，以及常见题型的解决步骤。 现在可以进行总结和复习，巩固所学内容。
部分特殊函数的不定积分需要 使用特定的公式和技巧进行求 解，如指数函数和对数函数。
解决不定积分例题的步骤与方法
1 分析与拆解
2 选择合适的方法
仔细阅读题目，分析函数的特征，并拆解成基本 的函数表达式。
根据不同的函数类型，选择换元法、分部积分法 等适合的方法进行计算。
3 化简与推导
4 检查答案
根据所选方法，化简积分表达式，并推导出结果。
基本不定积分公式
常数函数
∫kdx = kx + C
幂函数
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1
指数函数
∫e^x dx = e^x + C
三角函数
∫sinx dx = -cosx + C
常见初等函数的不定积分
指数函数
求解e^x的不定积分时，结果是e^x 本身。
三角函数
不定积分涉及正弦、余弦等三角函 数时，需要根据具体的公式进行求 解。
对数函数
∫1/x dx = ln|x| + C，对数函数的 不定积分需要使用特定的公式。
换元法与分部积分法
1
分部积分法
2
将不定积分中的乘积表达式应用分部积分
公式，化简积分运算。
3
换元法
将不定积分中的自变量进行变换，通过代 换简化积分的计算。
技巧与窍门
熟练掌握换元法和分部积分法的常用技巧， 能够灵活运用于不定积分的求解。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
大一高等数学第四章不定积分习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
2
[ln(1
x2)
1
x2 x2
]dx
1 arctan x[(`1 x2 )ln(1 x2 ) x2 3] 2
x ln(1 x2 ) x C .
2
2
例7
求
dx
x(2
x
10
. )
解
原式
x9dx 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
ln
C.
2(ln 3 ln 2) 3x 2x
例2
求
e
x (1 sin x) 1 cos x
dx.
e x (1 2 sin x cos x )
解 原式
2 2 dx 2 cos2 x
2
(e x 1 e x tan x )dx
2 cos2 x
2
2
[(e xd(tan x ) tan x de x ]
d dx
f
( x)dx
f
(x)
d[ f ( x)dx] f ( x)dx
F ( x)dx F ( x) C dF ( x) F ( x) C
(3) 不定积分旳性质
10 [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx 20 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x)在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F ( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的积分曲线.
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
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f (1)
4.
x x2
dx;
6. f (a x )a xdx;
7. f (tan x)sec2 xdx; 8. f (arctan x) dx; 1 x2
6、第二类换元法
定理 设 x (t )是单调的、可导的函数，并 且 (t ) 0 ，又设 f [ (t )] (t ) 具有原函数，则Βιβλιοθήκη 换元公式d dxf
( x)dx
f
(x)
d[ f (x)dx] f (x)dx
F( x)dx F( x) C dF( x) F( x) C
(3) 不定积分的性质
10 [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx 20 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
f ( x)dx f [ (t)] (t)dt t ( x ) 第二类换元公式
其中 ( x)是x (t)的反函数.
常用代换:
1.x (at b) , R.
2.三角函数代换 如f ( x) a2 x2 , 令x a sin t. 3.双曲函数代换 如f ( x) a2 x2 , 令x asht. 4.倒置代换 令x 1.
5、第一类换元法
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
2. f ( x ) dx; x
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
1、原函数
定义 如果在区间I 内，可导函数F ( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x I ， 都 有 F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx ，那么函数F ( x) 就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数. 原函数存在定理 如果函数 f ( x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F ( x) ，使x I ，都有 F ( x) f ( x).
(2x p)dx ( x2 px q)n
(
N x2
Mp 2
px
q)n
dx
此两积分都可积,后者有递推公式
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
2u sin x 1 u2
x 2arctan u
(23)
(18) sec xdx ln(sec x tan x) C
(24)
(19) csc xdx ln(csc x cot x) C
1
x
dx arcsin C
a2 x2
a
1 dx
x2 a2
ln( x x 2 a 2 ) C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
cos
x
1 1
u2 u2
dx
1
2 u2
du
R(sin
x,cos
x)dx
R
1
2u u2
,1 1
u2 u2
1
2 u2
du
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
解决方法：作代换去掉根号．
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(5)
1
1
dx x2
arcsin
x
C
(11) csc x cot xdx csc x C
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(14) shxdx chx C
t
7、分部积分法
uvdx uv uvdx
udv uv vdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
3、基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数) (7) sin xdx cos x C
(2)
x dx
x 1
1
C
( 1) (8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C
(3)
dx x
ln
x
C
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(4)
1
1 x
2
dx
arctan x
四种类型分式的不定积分
1.
Adx Aln x a C; 2. xa
Adx (x a)n
A (1 n)( x a)n1
C;
3.
Mx N x2 px
dx q
M 2
ln
x2
px
q
N
Mp 2
arctan
x
p 2
C;
q
p2 4
q
p2 4
Mx N
M
4. ( x2 px q)n dx 2
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
P(x) Q( x)
a0 x n a1 x n1 b0 x m b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
(22)
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17) cot xdx lnsin x C