高等数学作业及答案 精品

微分方程作业11．设L 是一条平面曲线，其上任意一点(,)(0)P x y x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点(1,0).求曲线L 所满足的微分方程.y xy '=-，1|0x y ==]2．利用代换cos u y x=将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简.[4xu u e ''+=] 3．验证由方程ln()y xy =所确定的函数为微分方程2()20xy x y xy yy y '''''-++-=的解.微分方程作业21．求下列微分方程的通解或特解：（1）2cos 0y y x '-=；[1(sin )y x C -=-+]（2）2(1)x y xy '+=，0|1x y ==；[y =（3）cos d (1)sin d 0xy x e y y -++=，0|4x y π==.[cos 1)4xy e =+] 2．一曲线上任意一点处的法线都过原点，且点(2,2)在该曲线上，求这一曲线的方程. [228x y +=]3．假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差. 若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .[60分钟]微分方程作业31．求下列微分方程的通解或特解： （1）sin cos xy y x e'-=；[sin ()xy ex C =+]（2）3(2)2(2)x y y x '-=+-；[3(2)(2)y x C x =-+-]（3）d sin d y y x x x x +=，|1x y π==. [1(1cos )y x xπ=--] 2．已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. [(1ln )y x x =-]3．设可导函数()f x 满足0()cos 2()sin d 1x f x x f t t t x +=+⎰，求()f x .[()sin cos f x x x =+]微分方程作业41．求下列微分方程的通解或特解： （1）40y y '''-=；[412xy C C e =+] （2）6130y y y ''''++=；[312(cos 2sin 2)xy eC x C x -=+]（3）20y y y ''''-+=，0|2x y ==，0|3x y ='=. [2xxy e xe =+]2．设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.[约195kg]微分方程作业51．求下列微分方程的通解或特解：（1）22364y y y x x '''-+=-+；[/2212x x y C e C ex =++]（2）452xy y y e '''-+=；[212(cos sin )xx y e C x C x e =++] （3）369(64)xy y y x e '''-+=-；[32312(2)xy e C C x x x =+-+] （4）4xy y xe ''-=,(0)0y =,(0)1y '=.[2(1)xxy x x e e -=-+-]2．设函数()f x 连续，且满足0()2()d ()d x xx f x e tf t t x f t t =+-⎰⎰，求()f x .[()cos sin xf x x x e =++]3．已知21x x y xe e =+，2x xy xe e -=+，23xxx y xe ee -=+-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程.[2y y y '''--(12)xx e =-]无穷级数作业11．判别下列级数的收敛性：（1）111()22n n n ∞=+∑；（2）1(n ∞=∑；（3）211(1cos )n n n ∞=-∑；（4）13(1)n nn n n ∞=+∑. 2．设级数1n n u ∞=∑的部分和为111n s n n n =++++ ，求级数的一般项n u 及和s . [11212n u n n=--；ln 2s =] 3．已知lim 0n n nu →∞=，级数11(1)()n n n n uu ∞+=+-∑收敛，证明级数1n n u ∞=∑也收敛.无穷级数作业21．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：（1）21223n n n ∞=++∑；（2）221cos n n n ∞=∑；（3）1sin 2nn π∞=∑；（4）1sin 2n n π∞=∑； （5）11)n n ∞=+；（6）11(0)1nn a a∞=>+∑. 2．若级数21nn a∞=∑及21nn b∞=∑都收敛，证明级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛.3．设n n n a b c ≤≤，若级数1nn a∞=∑及1nn c∞=∑都收敛，证明级数1nn b∞=∑也收敛.4．判别下列级数的收敛性：（1）312n n n ∞=∑；（2）1!n n n n ∞=∑；（3）12!()nn n n ∞=∑；（4）2212123()32n n n n ∞-=++∑；（5）2111()3n n n n n ∞=+∑；（6）11()(0)nn a a n ∞=+>∑. 5．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ （1）1(1)n n ∞-=-∑（2）21(1)ln n n n n ∞=-∑；（3）21(2)n n n ∞=-∑；（4）11(1)ln n n n n -∞=--∑. 无穷级数作业31．求下列幂级数的收敛域：（1）20214nnn n x ∞=+∑；（2）210(1)21n n n x n ∞+=-+∑；（3）1n n ∞=. [（1）(2,2)-；（2）[1,1]-；（3）[4,6)]2．求下列幂级数的和函数： （1）1(1)n n n x ∞=-∑；[21()(2)x s x x -=-，(0,2)x ∈]（2）21(1)21n n n xn ∞+=-+∑；[()arctan s x x =，[1,1]x ∈-] （3）1(1)n n n n x ∞=+∑. [32()(1)xs x x =-，(1,1)x ∈-] 无穷级数作业41．将下列函数展开成x 的幂级数： （1）ln()(0)a x a +>；[11(1)ln n nnn a x na-∞=-+∑，a x a -<<] （2）2x；[ln 2!n nn x n ∞=∑，x -∞<<+∞] （3）(1)ln(1)x x ++.[2(1)(1)n nn x x n n ∞=-+-∑，11x -<≤] 2．将下列函数()f x 展开成(1)x -的幂级数：(1) 21()56f x x x =-+；[101(1)(1)2nn n x ∞+=--∑，02x <<](2) 21()(3)f x x =-.[111(1)2n n n n x ∞-+=-∑，13x -<<]空间解析几何作业11．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为1D 、2D . 试以向量AB c = 、AC b =表示向量1AD 和2AD .[21133AD c b =+ ，12233AD c b =+]2．在y 轴上求与点(1,3,7)A -和点(5,7,5)B -等距离的点.[(0,2,0)]3．已知模为26的向径OA 与向量(3,4,12)a =同向，求点A 的坐标.[(6,8,24)]4．已知两点A 和(3,0,2)B ，求与向量AB 平行的单位向量及向量AB的方向角.[单位向量：11(,)222±-；方向角：23π、34π、3π] 空间解析几何作业21．已知(1,1,0)AB = ，(1,0,1)AC = ，求BAC ∠、AB AC ⨯和ABC ∆的面积.[/3π；(1,1,1)--2]2．设(2,3,1)a =- ，(1,2,3)b =-，(2,1,2)c = ，向量r满足r a ⊥ ，r b ⊥ ，Prj 14cr = ，求r.[(14,10,2)]3．设ABC ∆的三边长分别为2,3,4，求AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.[-14.5]4．设||4a = ，||3b = ，(,)6a b π= ，求以2a b + 和3a b - 为边的平行四边形的面积.[30]5．设375a b a b +⊥- ，472a b a b -⊥- ，求(,)a b .[/3π]空间解析几何作业31．已知三点(1,1,1)A -、(2,2,2)B --和(1,1,2)C -，求过ABC ∆的重心且与ABC ∆垂直的直线方程.[321192x y z +-==-] 2．用参数方程表示直线4320x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩.[1,23,x t y t z t =-=-+=]3．求过点(1,2,3)且与直线2403520x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩垂直的平面方程.[161411450x y z --+=]4．求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z-+==的平面方程.[8922590x y z ---=]5．求过点(1,0,4)-，且平行于平面3410x y z -+=，又与直线13112x y z+-==相交的直线方程.[14161928x y z +-==] 空间解析几何作业41．求与坐标原点O 及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？[曲面方程：222333468290x y z x y z +++++-=；它表示一球面，球心为点24(,1,)33---2．设有xOy 平面上的一条双曲线224936x y -=. 若将这一双曲线绕x 轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 ；若将这一双曲线绕y 轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 . 3．下列方程表示什么曲面？画出其图形：（1）22442z x y =--；（2）22244x y z -+=；（3）2z y =；（4）(0,0)z xy x y =≥≥.空间解析几何作业51．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线222222216x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程. 2．画出下列各曲面所围立体的图形，并求立体在xOy 面上的投影区域：（1）226z z x y ==--；[224x y +≤]（2）2222,2z x z x y =-=+；[221x y +≤]（3）21,0,0,1x z y z x y =-==+=；[11x -≤≤，01y x ≤≤-]（4）20,0,0,1,24,4x y z x x y z x ====+==-.[01x ≤≤，042y x ≤≤-.]多元函数微分学作业11．求下列函数的定义域，并画出其图形：（1）2ln()z y x =-（2）22arcsin()z x y =+；（3）ln(arccos(1)z x x =+-.2．计算下列极限：（1）(,)(0,2)limx y →[1/8]（2）2(,)(0,4)1cos lim ln(1)x y xyx y →-+；[2]（3）(,)limx y →多元函数微分学作业21．求下列函数的偏导数：（1）siny z x x=；（2）z =；（3）(1)y z xy =+. 2．求下列函数的二阶偏导数：（1）arctany z x=；（2）z =3．设2(,)(1)f x y x y =+-(,1)x f x '.4．设函数()u f r =二阶可导，且满足方程22224u u x y∂∂+=∂∂，其中r =()f r .[212()ln f r r C r C =++]多元函数微分学作业31．求下列函数的全微分： （1）x z xyy=+；（2）z =；（3）yz x =.2．求函数yz x=当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分. [0.119z ∆=-，d 0.125z =-]3.[2.95]4．已知22zy x x∂=+∂，23z xy y ∂=+∂，且(0,0)0z =，求(,)z f x y =的表达式.[223z xy x y =++]多元函数微分学作业41．设vz u =，23u x y =+，v xy =，求z x∂∂. 2．求2(,23)z f xy x y =+的一、二阶偏导数.3．已知243(,)2f x x x x x =++，221(,)221f x x x x '=-+，求22(,)f x x '.[2221x x ++]4．设变换2u x y v x ay =-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x y x y ∂∂∂-+=∂∂∂∂简化为20zu v ∂=∂∂，求常数a .[3] 5．设(,)z f x y =具有二阶连续偏导数，cos ux e v =，sin u y e v =，试证：222222222()u z z z z e u v x y∂∂∂∂+=+∂∂∂∂. 多元函数微分学作业51．设ln x z z y =，求z x ∂∂、zy∂∂.2．设20x y z ++-=，求d z .3．设333z xyz a -=，求2z x y∂∂∂.4．设(,)z f x y z xyz =++，求zx ∂∂.[12121f yzf f xyf ''+''--]5．设(,)F u v 具有连续偏导数，证明由方程(,)0z zF x y y x++=所确定的函数(,)z f x y =满足z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 多元函数微分学作业61．在曲线23,,x t y t z t ===上求一点，使曲线在此点的切线平行于平面21x y z ++=. [(1,1,1)--或(1/3,1/9,1/27)--]2．求曲线22222264x y z z y x ⎧++=⎨+-=⎩在点(1,1,2)处的切线及法平面方程.[切向量平行于(0,2,1)-] 3．求曲面2221ax by cz ++=在点000(,,)x y z 处的切平面方程.[0001axx byy czz ++=]4．求曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.[2230x y z +--=]5．试证曲面(,)0f x az y bz --=上任一点处的切平面与直线:x yL z a b==平行，其中f 可微，,a b 为常数.多元函数微分学作业71．求函数322(,)333f x y x x y xy x =-+-的极值.[极小值(2,1)4f =-，极大值(2,1)4f --=]2．某厂家生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品Ⅰ与生产y 单位的产品Ⅱ的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？[120x =，80y =] 3．要造一个容积等于k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.[/2时，表面积最小]4．在第一卦限内作椭球面222444x y z ++=的切平面，使它在三个坐标轴上的截距平方和最小，求该切平面的方程.[224x y ++=]重积分作业11．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）sin d Dxx σ⎰⎰，D 由y x =，2y x =及2x =所围；[1cos 2-] （2）4d x Dσ，D 由2y x =，2x =及x 轴所围；[161(1)6e -]（3）22()d Dx y x σ+-⎰⎰，D 由y x =，2y x =及2y =所围；[136]（4）sin d Dy x σ⎰⎰，D 由2x y =，1y =及y 轴所围；[1(1sin1)2-]（5）d x yDe σ⎰⎰，D 由y x =，3x y =及2y =所围.[41(4)2e e -] 2．画出积分区域，并交换积分次序： （1）tan 40d (,)d x x f x y y π⎰⎰；（2）212d (,)d xx f x y y -⎰⎰；（3）2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；（4）220d (,)d y yy f x y x ⎰⎰.3．计算22d xI x y =⎰⎰.[43]4．计算112111224d d d d y y xxy I y e x y e x =+⎰⎰⎰⎰.[38e ]5．求由平面1x y +=，曲面22z x y =+及三坐标面所围立体的体积.[16] 重积分作业21．化下列积分为极坐标形式的二次积分：（1）1d (,)d xx f x y y ⎰⎰；（2）120d (,)d y y f x y x -⎰.2．利用极坐标计算下列二重积分： （1）22d xy De σ+⎰⎰，D 由圆周224x y +=所围；[4(1)e π-]（2）arctand Dyxσ⎰⎰，D 由圆周221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域；[23/64π]（3）1222()d Dx y σ-+⎰⎰，D 由2y x =，y x =所围；1]（4）22()d Dx y σ+⎰⎰，D 由y =，0y =所围.[12π]3．求由曲面224z x y =--与0z =所围立体的体积.[8π]重积分作业3 1．化积分(,,)d I f x y z v Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中Ω分别是：（1）由222z x y =+及2232z x y =--所围； （2）由2y x =，0z =及4z y =-所围. 2．计算三重积分3d d d (1)x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰，其中Ω由1x y z ++=及三坐标面所围. [15(ln 2)28-] 3．求由曲面22z x =-与222z x y =+所围立体的体积.[32π]4．计算三重积分4d z v Ω，其中Ω由y x =，2y x =，2z π=及z x =所围.[41(1cos )1816π-] 重积分作业41．计算三重积分2d ze v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由222x y z +=与2z =所围区域.[4(1)e π-]2．计算三重积分v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由z =与2222x y z ++=所围立体区域在第一卦限部分.[1/12]3．计算三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由z =与0z =所围区域. [128/15π]4．求由曲面226z x y =--与z =所围立体的体积.[32/3π]5．求由曲面z =z =所围立体的体积.[41)/3π]重积分作业51．计算曲面面积（1）双曲抛物面22z x y =-被圆柱面221x y +=和224x y +=截出的部分；[/6π]（2）上半球面z =222x y x +=内部的部分；[4(2)π-]（3）曲面2232z x y =-+，(,)x y D ∈，其中D 是xOy 面的三角形，其顶点分别为(0,0)，(0,1)和(2,1).[/12]2．设一薄板所占的区域为2222:1,0x y D y a b +≤≥，且密度均匀，求此薄板的质心.[4(0,)3bπ]3．设Ω是由曲面2222z x y =+和平面4z =所围区域.一物体占有区域Ω，且密度均匀，求此物体的质心.[(0,0,8/3)]曲线积分作业11．计算下列对弧长的曲线积分：（1）32d L x y s ⎰，其中L 为半圆周x =；[256/15]（2）2d Ly s ⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-的一拱；[3256/15a ] （3）d Ly s ⎰，其中L 为由直线y x =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界；[1)/12]（4）d Ls ⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围扇形的整个边界.[(2/4)2ae a π+-]2．设L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，求2d LI y s =⎰.[32/3a π]曲线积分作业21．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；[34/3] （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；[11]（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；[14] （4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.[32/3]2．设一个质点在(,)M x y 处受到力F 的作用，F的大小与M 到原点O 的距离平方成反比，F 的方向恒指向原点.此质点由点(,0)A a 沿椭圆22221x y a b+=按逆时针方向移动到点(0,)B b ，求力F所作的功W .[11()k b a ---]曲线积分作业31. 计算曲线积分22(2)d d Lxy y x x y -+⎰，其中L 是由曲线y =x 轴所围区域D 的正向边界曲线.[4/3]2．计算曲线积分22()d ()d Ly x y x x xy y -++⎰，其中L 是沿上半圆周y =从原点到点(2,0)的弧段.[3/4π-] 3．证明曲线积分(1,1)22(0,0)(3)d (4sin )d x y x y x y -+-⎰与路径无关，并计算积分值.[2sin 2-]4．设2d (23)d (2)d z y x x y ax y =--++，且(0,0)1z =，求常数a 及(,)z x y 的表达式. [1a =-，3221z x xy x y =--++]5．计算曲线积分22d d L x y y x I x y -=+⎰ ，其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周（1R >），取逆时针方向.[2π]。