(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案,推荐文档

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是
2
三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方 程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
解： y2 (x2 xy) dy 0 dx
dy
y2
y 2 x
dx xy x2 y 1
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 六、二阶常系数非齐次线性方程 方程： y py qy f x 其中 p, q 为常数
C
1
y4
Cy
3
三、伯努力方程 xy' y x3 y 6
2. 2 y''( y')2 y，y(0) 2, y'(0) 1
解：令 y' p，则y' ' p dp ，得到 2 p dp p2 y
dy
dy
令
p2
u,
du
得到
u
y 为关于 y 的一阶线性方程.
dy
u
p2 (0) [ y' (0)]2 1，解得 u y 1 ce y
4
( 1)(2 1)2 0 ， 1 1, 2,3 i, 4,5 i
解：特征方程为 2 2 0 ，特征根为 1 2,2 1 ，
于是得解 y c1ex (c2 c3x) sin x (c4 c5 x) cos x
因此齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e x
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 2. y(4) 5y''10y'6y 0 ， y(0) 1, y'(0) 0, y''(0) 6, y'''(0) 14
设其解为
p
g y, C1
,
即
dy dx
g y, C1
，则原方程的通解为
y 我eP去xdx 人 Qx也eP就xdx有dx 人C！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙gyd课,yC1反 x倒 C是2 。龙卷风前一天
1
y pxy qxy f1x f2 x的特解。
四．线性微分方程解的性质与结构
解得 u x5 (c 5 x 2 ) ， 于是 2
四、可降阶的高价微分方程
y 5 cx5 5 x3 2
dy dx , y 1
2 y 1 x c1 ,
y 1 x c1 22
1.求 (1 x) y y ln(x 1) 的通解
y(0) 2 , 得到 c1 1 , 得解 2
2.
1
x
ey
dx
x
ey
1
x y
dy
0
解：
dx dy
x
ey
x y
1
x
，令
x y
u,
x
yu
.(将
y
看成自变量)
1 ey
dx u y du ,
dy
dy
所以
u
y
du dy
eu (u 1) 1 eu
2． f x Pn xex sin x 或 f x Pn xex cos x 其中 Pn x为 n 次多项式，, 皆为实常数 （1）若 i 不是特征根，则令 y ex Rn xcos x Tn xsin x
dx
令 y p ，把 p 看作 y 的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy
数） 2．一阶线性非齐次方程
dy Pxy Qx 用常数变易法可求出通解公式
dx
把 y ， y 的表达式代入原方程，得 dp 1 f y, p—一阶方程，
y f y, y
dy p
令 y C x e Pxdx 代入方程求出 Cx则得
p
e
1 dx
x1
ln(x 1) e
x 1
1 dx
x1
dx
C1
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x y(c ln y) .
1 x 1
ln(x 1)dx C1
ln(x 1) 1
C1 x 1
x(1) 0 , c 0 . 所以得解 x y ln y .
y
ln(x
由 y(0) 1, y' (0) 0, y' ' (0) 6, y' ' ' (0) 14
得到
c1
1 2
,
c2
1 2
,
c3 1 ,
c4 1
得特解 y 1 e x 1 e3x e x (cos x sin x) 22
六、二阶常系数非齐次线形微分方程
1.求 y 2 y 3y 2ex 的通解
y 1 x 1 2
解：令 y p,则y p ,原方程化为 (x 1) p p ln(x 1)
五、二阶常系数齐次线形微分方程
p 我x11去p 人ln(x也x11就) 属有于一人阶！线性为方程UR扼腕入站内信不存1解.在：y(5特)向征y方你(4程) 偶25y'同' '42意y'2'调y3 ' y2剖2 0沙 龙1 课0 反倒是龙卷风前一天
x xdx
N2 N1
y y dy
C
M 2 x 0, N1y 0
2．变量可分离方程的推广形式
dy
（1）齐次方程
f
y
dx x
三、可降阶的高阶微分方程 方程类型
解法及解的表达式
yn f x
通解
y
f
xdxn
C1 x n1
C2 xn2
Cn1 x
Cn
n次
令 y p ，则 y p ，原方程
2x
3. y' ' y x 3sin 2x 2 cos x
解：特征根为 i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y'' y x ， y c1 c2 x c1 0, c2 1 y x
令 y u, 则u x du u 2
x
dx u 1
x udx x(1 u)du 0
通解： y y C1 y1x C2 y2 x
其中 C1 y1 x C2 y2 x为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。
y
1
u
u
du
dx x
C1
， ln
|
xu
|
u
C1
， xu
eC1u
ceu ,
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶
1．二阶常系数齐次线性方程
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
y pxy qxy 0
（1）
y py qy 0 其中 p ， q 为常数， 特征方程 2 p q 0
C1 y1 x C2 y2 x（ C1 ， C2 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当 y1 x y2 x（ 为常数），也即 y1 x与 y2 x线性无关时，则方程的通解 为 y C1 y1x C2 y2 x
（3）特征方程有共轭复根 i ， 则方程的通解为 y ex C1 cos x C2 sin x
第七章 常微分方程
3．伯努利方程
一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程
dy Pxy Qxy 0,1
dx
建议收藏下载本文，以便随时学习！ （1）方程形式： dy PxQy dx
Qy
0
通解
dy
Qy
Pxdx
C
令 z y1 把原方程化为 dz 1 Pxz 1 Qx
dx
非齐次方程求解。
再按照一阶线性
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任 意常数另外再加）
（2）方程形式： M1xN1ydx M 2 xN2 ydy 0
4．方程：
dy dx
1
Qy Pyx
可化为
dx dy
Pyx
Qy
以 y 为自变量，
x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
通解
M M
1 2
二阶齐次线性方程的通解（ C1 ， C2 为独立的任意常数）则
（2）若 0 为特征方程的 k 重实根 k n则方程通解中含有 y=
C1 C2 x Ck x k1 e0x
y yx C1 y1 x C2 y2 x是此二阶非齐次线性方程的通解。
（3）若 i 为特征方程的 k 重共轭复根 2k n，则方程通解中含有
2． n 阶常系数齐次线性方程
y n p1 y n1 p2 y n2 pn1 y pn y 0 其中 pi i 1,2,, n 为常数。
2．若 y1 x， y2 x为二阶非齐次线性方程的两个特解，则 y1 x y2 x为
对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若 yx为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 yx为对应的二阶齐次线
令y u， x
则 dy u x du f u
dx
dx
f
du
u u
dx x
c
ln
|
x
|
c
二．一阶线性方程及其推广
y f x, y p f x, p——一阶方程，设其解为 p gx,C1 ，
即 y gx,C1 ，则原方程的通解为 y gx,C1 dx C2 。
1．一阶线性齐次方程
dy Pxy 0 它也是变量可分离方程，通解 y Ce Pxdx ，（ c 为任意常
设非齐次方程的特解为 y ,由于题目中 0, 2, i 2i 不是特征根，
解：特征方程 4 52 10 6 0 , ( 1)( 3)(2 2 2) 0
因此设 y Acos 2x B sin 2x ，代入原方程可得
1 1 , 2 3 , 3,4 1 i
得通解为 y c1e x c2e3x e x (c3 cos x c4 sin x)
5．设 y1x与 y2 x分别是 y pxy qxy f1x与
ex C1 C2 x Ck xk1 cos x D1 D2 x Dk xk1 sin x
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天
y pxy qxy f2 x的特解，则 y1x y2 x是
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
二阶非齐次线性方程 y pxy qxy f x （2）
（1）特征方程有两个不同的实根 1 ， 2 则方程的通解为 y C1e1x C2e2x
1．若 y1 x， y2 x为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
（2）特征方程有二重根 1 2 则方程的通解为 y C1 C2 x e1x
y
c u eu
x
c
x
ey
,
y
x
ye
x y
c
.
1.求 我y2 去x2 dd人yx 也xy dd就yx 的有通解人！为UR扼腕入站内信不存二在、一1向. 阶yd线x你形(微y偶分x方同)d程y意 0,调y(0)剖 1沙. 龙课反倒是龙卷风前一天
3
dx
解：可得
dy
x y
1
.
这是以 y 为自变量的一阶线性方程解得
1)
1
C1 x 1
dx
C2
(x C1) ln(x 1) 2x C2
2.求微分方程
dy dx
y x y4
的通解
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程 dy y dy y
P(y) 1 ,Q(y) y3 y
1
dy
xe y
y3e
1 dy
y dy
相应的特征方程 n p1 n1 p2 n2 pn1 pn 0
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（1）若特征方程有 n 个不同的实根 1, 2 ,, n 则方程通解
性方程的任意特解，则 yx yx为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
y C1e1x C2e2x Cnenx
4．若 y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 C1 y1 x C2 y2 x为对应的
y
ce x
所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解 y 如何求？
1． f x Pn xex 其中 Pn x为 n 次多项式， 为实常数， （1）若 不是特征根，则令 y Rn xex （2）若 是特征方程单根，则令 y xRn xex （3）若 是特征方程的重根，则令 y x 2 Rn xex
y
du dy
ueu eu 1 eu
u
u eu 1 eu
1 eu u eu
du
dy y
,
d (u eu ) u eu
dy y
,
ln
u
eu c
ln
y
ln
1 y
（2）若 i 是特征根，则令 y xex Rn xcos x Tn xsin x
例题：
一、齐次方程
1 u eu , yc
|x0
解： xy 6 y' y 5 x3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
x
所以 1 u
y(0) 1 cey(0) 2 1 ce2 , c 0 .
|x0
令 y 5 u, 5y 6 y' u' , u u x 2 ， u' 5 u 5x2 .
5x
x
于是 u y 1 , p y 1
(2A 2B 4A)cos 2x (2B 2A 4B)sin 2x 2cos 2x
6A 2B 2， 6B 2A 0
解联立方程得 A
3
,B
1
__
，因此 y
3
cos 2x
1
sin 2x
10 10
10
10
故原方程的通解为
y
C1e 2x
C2ex
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3 10
cos 2x
1 10
sin