大学数学经典求极限方法(最全)

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限1

1

lim 41--→x x x

【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1

)

1)(1)(1(lim

2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限

例2：求极限1

3lim 32

3+-∞→x x x x

【说明】

∞

∞

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3

11323=

+-=+-∞→∞→x x

x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

=<∞>=++++++----∞→n

m b a n m n m b x b x b a x a x a n n

m m m m n n n n x 0lim 01101

1 3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限)13(lim 22+-++∞

→x x x

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1

3)

13)(13(lim

)13(lim 2

2

22222

2

+++++++-+=+-++∞

→+∞

→x x x x x x x x x x

例4：求极限3

sin 1tan 1lim

x x

x x +-+→

【解】x

x x x

x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim

3030

+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键

4．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sin lim 0=→x

x

x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1

0)1(lim )11(lim )11(lim ，第

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5：求极限x

x x x ⎪⎭

⎫

⎝⎛-++∞→11lim

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X

1

+，最后凑指数部分。

【解】22

212

12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x

x x x =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→211lim ；(2)已知82lim =⎪⎭⎫

⎝⎛-++∞→x

x a x a x ，求a 。

5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x

-,

()abx ax x x b

~11,2

1~

cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．

； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．

。 例7：求极限0ln(1)

lim

1cos x x x x →+=-

【解】 002

ln(1)lim lim 211cos 2

x x x x x x

x x →→+⋅==-.

例8：求极限x x

x x 30tan sin lim -→

【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 2

2

2102030-=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x

6．用罗必塔法则求极限

例9：求极限220)

sin 1ln(2cos ln lim x

x x x +-→

【说明】

∞∞或0

型的极限,可通过罗必塔法则来求。 【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→x

x x

x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim

20+--=→ 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim

⎰⎰--→x x

x dt

t x f x dt

t f t x

【解】 由于

⎰

⎰⎰

=-=

-=-0

)())(()(x

x

x

u t x du u f du u f dt t x f ,于是

⎰⎰⎰⎰⎰

-=--→→x

x

x

x x x

x du

u f x dt

t tf dt t f x dt

t x f x dt

t f t x 00

)()()(lim

)()()(lim

=⎰

⎰+-+→x

x

x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

)

()()

()()(lim

=⎰

⎰+→x x

x x xf du u f dt

t f 0

)

()()(lim

=)

()()(lim

x f x du

u f x dt

t f x

x

x +⎰

⎰

→=

.2

1)0()0()0(=+f f f

7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限

例11：极限x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→

【解】 x

x x 20

)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2

lim x x

x e

++→=.2)

1ln(2lim

)]

1ln(1ln[2lim

e e

e

x

x x

x x x ==+++→→

【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式

)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -

因为

例12：求极限3

01

2cos lim 13x x x x

→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

.

【解1】 原式2cos ln 33

1lim

x x x e

x +⎛⎫

⎪⎝⎭

→-=2

02cos ln 3lim x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=