高考数学二轮复习等差数列等比数列复习题及答案解析

专题限时集训(三) 等差数列、等比数列
[专题通关练] (建议用时：30分钟)
1．[一题多解]已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( )
A ．1 B.5
3
C ．2
D ．3
C [法一：(基本量法)由题设得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝a 1＋2d ＝6，
S 3＝3a 1＋3d ＝12，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
d ＝2.故选C.
法二：(性质法)因为S 3＝
3
a 1＋a 3
2
＝12，所以a 1＋a 3＝8，所以2a 2＝8，即a 2＝4.又a 3
＝6，故公差d ＝a 3－a 2＝6－4＝2.故选C.]
2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7＝( ) A ．28 B ．14 C ．7
D ．2
B [∵{a n }是等差数列，∴a 3＋a 6＝a 4＋a 5＝a 5＋2， ∴a 4＝2.
∴S 7＝7a 4＝7×2＝14.故选B.]
3．[易错题]在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2
－6x ＋8＝0的两根，则a 1a 17
a 9
的值为( ) A ．2 2 B ．4 C ．±2 2
D ．±4
A [∵a 3，a 15是方程x 2
－6x ＋8＝0的根，
∴a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，易知a 3，a 15均为正，∴a 9＝a 3q 6
＞0.由等比数列的性质知，a 1a 17
＝a 2
9＝a 3a 15＝8，∴a 9＝22，
a 1a 17
a 9
＝22，故选A.] 4．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1
等于( )
A ．－2
B ．－1 C.12 D.2
3
B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2
＝0 ，即2q 2
－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝3
2
时，代入S 2＝3a 2＋2，
得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B.]
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自
然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0, a 1
＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]
6．[易错题]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝32，S 3＝9
2，则公比q ＝________.
1 [(1)当公比q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 2＝9
2
，满足题意．
(2)当公比q ≠1时，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，可知a 1＋a 3＝3，∴32q ＋3q
2＝3得q ＝1(舍去)．
综上可知，q ＝1.]
7．(2019·武汉模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2 019，则m ＝________.
1 010 [设公差为d ，由题知S 3＝a 5，即3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，又a 1＝1，故d ＝2，于是a n
＝1＋2(n －1)＝2n －1，再由2m －1＝2 019，得m ＝1 010.]
8．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．
8 [∵{a n }成等差数列，∴由a 7＋a 8＋a 9＞0可得a 8＞0， 又a 7＋a 10＜0，∴a 8＋a 9＜0，故a 8＞0，a 9＜0， ∴当n ＝8时，S n 最大．]
[能力提升练] (建议用时：20分钟)
9．(2019·马鞍山二模)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且－a 3，a 2，a 4
成等差数列，则S n 与a n 的关系是( )
A ．S n ＝2a n －1
B ．S n ＝2a n ＋1
C ．S n ＝4a n －3
D ．S n ＝4a n －1
A [设等比数列的公比q (q ＞0)，由a 1＝1，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3，即2q ＝q 3
－q 2
，得q ＝2，∴a n ＝2
n －1
，S n ＝1－2n
1－2
＝2n
－1，则S n ＝2a n －1.故选A.]
10．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11
＝7π，则tan b 3＋b 9
1－a 4·a 8
＝________.
－3 [∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，
∴a 36＝(3)3,
3b 6＝7π， ∴a 6＝3，b 6＝7π
3
，
∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 6
1－a 26
＝tan
2×
7π3
1－
3
2
＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7π3＝－ 3.] 11．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2
＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．
10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2
＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得
a n ＋1n ＋1－a n
n
＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a n n
＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，
所以a n ＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2
－42x ，在x ＝－b 2a ＝－－424
＝10.5时，f (x )取得
最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]
12．(2019·长春三模)已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×2n
，a 1＝2，数列{b n }满足b n ＋1＝
b n ＋2n ＋1，b 1＝1.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 2n 是等差数列；
(2)求数列{b n }的通项公式．
[解](1)证明：根据题意，数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×2n
， 等式两边除以2
n ＋1
得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋32
， 故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是以a 12＝1为首项，3
2为公差的等差数列．
(2)根据题意，由b n ＋1＝b n ＋2n ＋1得b n ＋1－b n ＝2n ＋1， 则b n －b n －1＝2(n －1)＋1＝2n －1，
则b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝
n ×[1＋2n －1]
2
＝n 2
.
题号 内容
押题依据
1
等差数列基本量的运算，等差数列的性质 以等差数列为载体，考查数列中“知三求
二”的基本量求法，考查等价转化能力和解方程的意识，具有较好的代表性
2
等比数列的概念，等差(比)数列的前n 项和公式
以数列递推关系为载体，考查等差(比)数列的基本概念及判定方法，考查考生的逻辑推理及数学运算能力
【押题1】 正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 3＋a 7－a 2
5＋15＝0，且S n
＝45，则n ＝( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
B [因为{a n }是正项等差数列，a 3＋a 7－a 2
5＋15＝0， 所以a 2
5－2a 5－15＝0，解得a 5＝5(a 5＝－3舍去)． 设{a n }的公差为d ，由a 5＝a 1＋4d ＝1＋4d ＝5，解得d ＝1. 所以S n ＝
n [2a 1＋n －1d ]2
＝
n [2＋n －1]2
＝
n n ＋1
2
＝45，即(n ＋1)n ＝90，进而
得n 2
＋n －90＝(n ＋10)(n －9)＝0，解得n ＝9(n ＝－10舍去)，故选B.]
【押题2】 已知数列{a n }满足a 1＝a,2a n －a n ＋1＝n －1，设b n ＝a n －n . (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (2)若a ＝2，求{a n }的前n 项和S n .
[解](1)根据题意，数列{a n }满足2a n －a n ＋1＝n －1， 变形可得2a n －2n ＝a n ＋1－(n ＋1)， 又由b n ＝a n －n ，则2b n ＝b n ＋1， 又由a 1＝a ，则b 1＝a －1，
当a ≠1时，b 1≠0，则数列{b n }为等比数列， 当a ＝1时，b 1＝0，则数列{b n }不是等比数列．
(2)由(1)的结论，a ＝2，则b 1＝a －1＝1，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则b n ＝1×2n －1
＝2
n －1
，
即a n －n ＝2
n －1
，则a n ＝2
n －1
＋n ，
则S n ＝20
＋1＋21
＋2＋22
＋3＋…＋2n －1
＋n
＝(20
＋21
＋…＋2n －1
)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2n
－1＋
n 1＋n
2
.。