基于VAR模型的中国居民消费水平贝叶斯单位根检验_朱慧明

t ( n + 1)
三、 模型的贝叶斯分析 ( 一) 参数的贝叶斯估计 参数先验分布的设置是作 Bayes 统计分析的前 提条件。 根据学者 Summers 选择参数 ,
1j [ 8]
关于
( 9) 的后验条件分布为 t 分布 , 其后
( ) , 根据贝叶斯定理 , 其贝叶斯估计 关
和孙茨等
[ 9]
的观点 ,
2
y t- 2 +
+ 为n
it 2
p
y t- p ( 1)
, t = 1, 2,
,n
j
y t - y t- 1 -
}
其中 p 为滞后阶数 , y t 是 p 维向量, 矩阵 , 误差项
t
n 系数
= (
1t
,
2t
,
it
,
nt
) ,
为一个高斯 )。 ,n ( 2)
由式( 7) 对 在区间( 0, + 联合后验边缘密度函数为 ( , | yt ) =
[ 10]
和
1
,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
(
0
)和
1
(
0
1
) 分别为
0
和
1
1
的
先验分布密度函数, L 0 ( y t | 别为样本 y t = ( y 1 , y 2 ,
) 和 L1 ( yt |
) 则分
, y n ) 在 H 0 和 H 1 下的似
然函数, 则 H 0 相对于 H 1 的贝叶斯因子为 : L 0 ( yt | B 01 = L 1 ( yt | P(
, t = 1, 2, y t- 1
exp{- 2
2
Z t- 1 ,
0
}d ex p{2 [( ( ) ) b1 +
2
, Z t- 1 =
y t- 2 y t- p
1 2
( n+ 2) / 2
b2 ( ) [( -
b 3( ) ]}d 1 b1
2
0
2j
0 0 ( ) ) b1 + b2 ( ) , j = 1, 2, ,p 其中
2 2 2
从而 , 样本似然函数为 L( , , | yt) = ( Z t- 1 ) exp{yt ( 4) = 1/ Z t- 1 ,
2
y t- 1 此处 yt |
2
}
表示向量范数的平方 , 它等于该向量各 , 则有 I n ) ( 5)
-1
元素平方之和。 为了方便起见 , 记 , , y t- 1 ~ N ( yt- 1 +
1 0
) )
0
(
0
)d =
1
, 因此我们不考虑结
1
(
1
)d
= 1 | , yt ) / ( 1- P( P ( = 1) / ( 1 - P (
= 1 | , yt) ) = 1) ) ( 11)
构突变的影响。在 Gibbs 抽样过程中, 首先对每个 参数进行 10000 次迭代 , 进行退火, 以保证参数的收 敛性 , 然后舍弃原来的迭代, 再进行 15000 次迭代, 对模型进行模拟仿真。图 1 和图 2 给出了农村居民 消费水平和城镇居民消费水平 VAR 模型参数轨迹 图 , 图 3 和图 4 给出了它们的后验分布密度函数仿 真图。 根据 Gibbs 抽样结果, 利用 M CM C 数值计算法 可以模拟得出参数的贝叶斯估计值。表 1 给出了中 国农村居民消费水平和城镇居民消费水平在 VAR 模型 下 参 数 的均 值、 标 准差、 MC 误 差、 2. 5% 和 97. 5% 分位数的贝叶斯估计值。
[ 7]
2008- 01- 21 国家自然科学基金项目 ( N SFC 70770138) 、 教育部人文社会 科学规划项目 ( 06JA 910001) 、 教育部 新世纪优秀人 才支持计 划 项目 ( N ECT050704) 朱慧明 ( 1966- ) , 男 , 湖南湘潭人 , 湖南大学工商管理学院教授、 博士生导师 , 研究方向 : 计量经济模型及其仿真分析。
一、 引言 居民消费水平是代表一国经济发展水平和居民 福利的一项重要指标, 为了对居民消费作一个准确 的分析 , 有必要对消费进行平稳性检验。国际上相 关研究主要是从消费者价格的角度对消费进行平稳 [ 1] 性检 验。 Nelson 和 Plosser 于 1982 年 在 ARIMA ( k, 1, 0) 模型基础上采用 DF, ADF 单位根检验法对 美国的消费者价格进行了单位根检验。随后很多学 [ 2] 者对该方法进行了拓广和改进 , 如 St ock 于 1991 年在相同模型下提出了自回归单位根的最大渐近置 信区间, L eybourne 和 McCabe 于 1994 年在原假设 为 AR( k) 过程时进行了类似的单位根检验 , Perron 以及 Zivot 和 Andrew 则在进行单位根检验 时考虑 了结构突变问题。相应地, 中国居民消费平稳性检 验的现有研究一般也是采用 DF, ADF 检验 , 或者在 考虑结构断点时继而检验差分平稳或趋势平稳 。 传统的这些单位根检验都是相对大样本的渐近 性质而言的 , 在小样本下进行这些检验存在功效偏 低的问题 , 并且检验模型中的待估参数过多, 而经济 时间序列的样本容量有限且一般比较小, 从而导致 参数估计量的优良性质难以保证 , 模型的预测精度 偏低。贝叶斯方法为解决这些难题提供了便利的分 析框架。因为在贝叶斯理论框架中参数是一个随机 变量 , 也有具体的统计分布, 可以用于解决小样本条
[ 6] [ 5]
对单变量自回归
模型的单位根检验 , 此后, 很多学者进行了深入的研 究 , 例如, Sun 等 应用非信息先验分布对 VAR 模 型进行了贝叶斯分析。但是 , 从国内外文献资料来 看 , 关于 VAR 模型的贝叶斯单位根检验方法还没 有形成系统理论研究。本文主要研究 VAR 模型参 数的贝叶斯估计以进行单位根检验, 建立向量自回 归居民消费水平模型, 用基于 Gibbs 抽样的 MCMC 方法 , 结 合 Savage - Dickey Density Ratio ( SDDR) 方 法 求贝叶斯因子 , 对中国居民消费水平( 包括农村 居民消费水平和城镇居民消费水平 ) 分别进行贝叶 斯平稳性分析。 二、 模型结构分析 假设 { y t } 是一 经济 时间 序列 向量 , 所研 究的
布, 其期望值为 a , 根据贝叶斯定理, 其贝叶斯条件 ( 二) SDDR 贝叶斯因子 在贝叶斯理论中, 贝叶斯因子是进行模型选择 和假设检验的主要工具。 在分析一个具体问题时, 若 有两个假设 H 0 和 H 1 可供选择, 我们想利用现有数 据, 应用两个假设对应的模型对数据拟合的优劣进 行比较来对这两个假设进行检验, 就需要用到贝叶 斯因子。 贝叶斯因子通常应用边缘似然函数来计算 , 设 M 0 和 M 1 分别为 H 0 和 H 1 对应的模型, 其参数 分别为
2 2 n2
式( 2) ,
t
与 y t , y t- 1 , Z t- 1 之间的关系表示为: ( 3) 1 2 2
b 3 ( ) = y t- 1 ( y t -
Z t- 1 ) ,
( )=
b3 ( ) . b1
= yt -
下面讨论模型参数的后验分布及其贝叶斯估计 问题。 ( 1) 参数 的后验条件分布。 根据条件概率的定 义 , 参数 ( 关于 的条件后验密度函数为 ( , | yt ) | , yt ) = [ 1+ ( | yt) b1 ( ( )) - ( n+ 2) ] b2 ( ) - b3 ( ) / b1 显然 , 参数 验期望值为 为 ( )。 ( 2) 参数 的后验条件分布。 类似地 , 参数 ( , , | yt) ( , | yt) 2 [( ( ) ) b1 + b 2 ( ) ( 10)
98
财经理论与实践 ( 双月刊 )
2007 年第 4 期
VAR 模型不含常数项 , 则 n 维经济变量的 V A R ( p) 模型形式为 yt = +
t
数为 ( , ,
( n+ 1) / 2
| yt) exp{2
L( , ,
| yt )
( , , ) Z t- 1
2
y t- 1 +
1
y t- 1 +
收稿日期 : 基金项目 : 作者简介 :
[ 4] [ 3]
件下参数估计与假设检验问题。尤其是最近几年马 尔可 夫 链 蒙 特 卡 罗 ( M arkov Chain Monte Carlo, M CM C) 数 值模拟 方法 的研 究及其 相应 统计 软件 WinBU GS 等的开发应用, 解决 了贝叶斯统计分析 过程中的复杂计算问题 , 为推广贝叶斯方法的应用 开辟了广阔的前景。 本文应用贝叶斯统计方法在时间序列向量自回 归模型 ( Vect or Aut oregressive Model, 简称 VAR 模 型) 基础上对我国居民 消费水平进行单位 根检验。 VAR 模型非 平稳性 的贝叶 斯分 析研究 始于 Sims ( 1988) 以及 Sims 和 Uhlig( 1991)
it
j
=
0 0
b 3 ( ) - ( n+ 2) / 2 ] b1 ( 8)
0 ,
2 nt
nj
由于 则
t
1t ,
2t ,
相互独立, 且有
~ N ( 0,
2
),
b1 = yt - 1 yt - 1 , b2 ( ) = ( yt -
Z t- 1 ) ( yt -
Zt- 1 ) ,
~ N ( 0,
t
I n ) , 其中 I n 为 n 阶单位矩阵。 根据 yt- 1 Z t- 1 1 2
,
2j
,
,
nj
, ,
的先验分布分别为 , n ; j = 1, 2, , p,
于 ( , ) 的条件后验密度函数为 ( | , , yt) = exp{-
( ) 1/ U ( 0, 1) , i = 1, 2, ij ~ ~ U ( - 1. 225, 1. 225) 从而 , ,
( n+ 1) / 2
第 29 卷 第 154 期 2008 年 7 月
财经理论与实践 ( 双月刊 ) THE THEO RY A N D PRA CTICE OF FIN A NCE A ND ECO N OM ICS
V ol. 29
No. 154 Jul 2008
经济管理
基于 VAR 模型的中国居民消费水平 贝叶斯单位根检验
朱慧明, 李素芳
( 湖南大学 工商管理学院 , 湖南 长沙 410082)
摘
要 : 针对经济时序 DF 单位根检验方法在小样本条件下功效偏低问题 , 应用贝叶 斯统计方 法对中国
居民消费水平进行单位根检验 , 提高单位根检验的功效水 平 , 建 立向量自回 归居民消费 水平模型 , 并 通过马 尔可夫链蒙特卡罗仿真结合贝叶斯因子分 别对农村居民消费和 城镇居民 消费进行单 位根检验 , 结果 表明贝 叶斯单位根检验方法解决了向量自回归模 型超参数估计的难题 , 克服 了经典单位 根检验在 经济时序 小样本 下功效偏低的缺陷 , 提高了模型预测精度 。 关键词 : 居民消费 ; 单位根检验 ; 贝叶斯估计 ; V AR 模型 ; M CM C 仿真 ; 贝叶斯因子 中图分类号 : F224. 0 文献标 识码 : A 文章编号 : 1003- 7217( 2008) 04- 0097- 05
的联合先验密度函数为 ( 1
4
( , , ) = ) ( | ) ( )
|
, ) ( , ) =
(
|
, ( 6) 其中
b3 ( ) ]} b1
( a, b )
根据 Bayes 理论 , , ,
的联合后验密度函
a=
n+ 3 1 , b=[( 2 2
( ) ) b1 +
2
2008 年第 4 期 ( 总第 154 期 )
0
四、 实证分析 为了获得 模型 参数 的贝 叶斯 估计 , 我们 通过 M CM C 仿真方法借助 WinBUGS 软件来分 析中国 居民消费水平 , 由于我国的城乡经济是典型的二元 经济 , 城乡二元经济发展的不平衡相当长时期内是 影响我国消费率偏低的主要因素, 这就导致在对我 国居民消费进行平稳性分析时必须先划分为城镇居 民消费单位根检验和农村居民消费单位根检验, 然 后再对检验结果进行比较 分析得出结论。本文用 1985~ 2006 年农村和城镇居民消费水平年度数据 分别进行分析( 资料来源: 国家发改委、 国家统计局、 国家信息中心) , 求出参数的后验条件分布。由于在 此期间数据不包括结构断点
( n+ 1) 2 0 0
( 7) ) 上积分 , 得到 与 的
白噪声过程, 且相互独立 , yt = 其中 y 1t yt = y 2t y nt
1j
~ N ( 0,
为了便于研究, 上述模型( 1) 可表示为矩阵形式 yt- 1 + Z t- 1 +
t
( , , yt -
| yt) d y t- 1 -
朱慧明 , 李素芳 : 基于 VA R 模型的中国居民消费水平贝叶斯单位根检验
99
b2 ( ) 显然 , 参数 估计为 a 。
b3 ( ) b1 ] .
度的比值得到。 若 B 01 表示 H 0 :
= 1 相对于 H 1 :
关于 ( , ) 的后验条件, 分布为伽玛分
< 1 时的贝叶斯因子 , 即检验单位根过程的贝叶斯 因子, 则有 B 01 = ( = 1 | , yt) ( = 1) ( 12)