第六章 直线回归与相关解析
医学统计学-直线相关和回归分析
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
Page 17
➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
Page 41
最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。
直线相关与直线回归
案例二：医学研究
总结词
医学研究中，利用直线相关和回归分析探究疾病与危险因素之间的关系。
详细描述
在医学研究中，直线相关和回归分析常被用于研究疾病与危险因素之间的关系。 例如，通过分析吸烟、饮酒、饮食等危险因素与肺癌发病率之间的关系，可以 建立线性模型，从而为预防和治疗提供依据。
案例三：农业研究
总结词
通过假设检验的方法，检验两个变量之间是否存在显著的线性关系。常用的假设检验方法 包括t检验、F检验等。
直线相关系数
直线相关系数是用来量化两个变量之间线性关 系的强度和方向的一个数值，其取值范围为-1 到1。
相关系数的值为1表示完全正相关，值为-1表示 完全负相关，值为0表示无直线相关。
相关系数的绝对值越大，说明两个变量之间的 线性关系越强。
直线相关结果通常以相关系数和散点图等 形式呈现，而直线回归结果则以回归方程 、系数表和预测值等形式呈现。
联系
理论基础
直线相关和回归都基于线性关 系假设，即两个变量之间存在
一条直线的趋势。
应用场景
在某些情况下，直线相关和回 归可以相互转换，例如当一个 变量是另一个变量的函数时。
相互支持
在数据分析过程中，可以先进 行直线相关分析，再基于相关 系数进行直线回归分析，或者 反之。
结果解释
在某些情况下，直线相关和回 归的结果可能相似或一致，例 如当两个变量之间的线性关系
很强时。
04
直线相关与回归的应用
经济预测
预测市场趋势
通过分析历史数据，利用直线相关或回归分析来预测市场趋势， 如股票价格、商品需求等。
评估经济政策效果
通过分析政策实施前后的经济数据，利用直线相关或回归分析来评 估政策效果，为政策制定提供依据。
统计学第六章课后题及答案解析
第六章一、单项选择题1．下面的函数关系是( )A现代化水平与劳动生产率 B圆周的长度决定于它的半径C家庭的收入和消费的关系 D亩产量与施肥量2．相关系数r的取值范围( )A -∞< r <+∞B -1≤r≤+1C -1< r < +1D 0≤r≤+13．年劳动生产率x(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )A增加70元 B减少70元 C增加80元 D减少80元4．若要证明两变量之间线性相关程度高，则计算出的相关系数应接近于( )A +1B -1C 0.5D 15．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( )A线性相关还是非线性相关 B正相关还是负相关C完全相关还是不完全相关 D单相关还是复相关6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间(x)与考试成绩(y)之间建立线性回归方程ŷ=a+bx。
经计算，方程为ŷ=200—0.8x，该方程参数的计算( )A a值是明显不对的B b值是明显不对的C a值和b值都是不对的D a值和b值都是正确的7．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为：( )A 8B 0.32C 2D 12．58．进行相关分析，要求相关的两个变量( )A都是随机的 B都不是随机的C一个是随机的，一个不是随机的 D随机或不随机都可以9．下列关系中，属于正相关关系的有( )A合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系B产品产量与单位产品成本之间的关系C商品的流通费用与销售利润之间的关系D流通费用率与商品销售量之间的关系10．相关分析是研究( )A变量之间的数量关系 B变量之间的变动关系C变量之间的相互关系的密切程度 D变量之间的因果关系11．在回归直线y c=a+bx，b<0，则x与y之间的相关系数 ( )A r=0B r=lC 0< r<1D -1<r <012．当相关系数r=0时，表明( )A现象之间完全无关 B相关程度较小C现象之间完全相关 D无直线相关关系13．下列现象的相关密切程度最高的是( )A某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数0.87B流通费用水平与利润率之间的相关系数为-0.94C商品销售额与利润率之间的相关系数为0.51D商品销售额与流通费用水平的相关系数为-0.8114．估计标准误差是反映( )A平均数代表性的指标 B相关关系的指标C回归直线方程的代表性指标 D序时平均数代表性指标二、多项选择题1．下列哪些现象之间的关系为相关关系( )A家庭收入与消费支出关系 B圆的面积与它的半径关系C广告支出与商品销售额关系D商品价格一定，商品销售与额商品销售量关系2．相关系数表明两个变量之间的( )A因果关系 C变异程度 D相关方向 E相关的密切程度3．对于一元线性回归分析来说( )A两变量之间必须明确哪个是自变量，哪个是因变量B回归方程是据以利用自变量的给定值来估计和预测因变量的平均可能值C可能存在着y依x和x依y的两个回归方程D回归系数只有正号4．可用来判断现象线性相关方向的指标有( )A相关系数 B回归系数 C回归方程参数a D估计标准误5．单位成本(元)依产量(千件)变化的回归方程为y c=78- 2x，这表示( ) A产量为1000件时，单位成本76元B产量为1000件时，单位成本78元C产量每增加1000件时，单位成本下降2元D产量每增加1000件时，单位成本下降78元6．估计标准误的作用是表明( )A样本的变异程度 B回归方程的代表性C估计值与实际值的平均误差 D样本指标的代表性7．销售额与流通费用率，在一定条件下，存在相关关系，这种相关关系属于( ) A完全相关 B单相关 C负相关 D复相关8．在直线相关和回归分析中( )A据同一资料，相关系数只能计算一个B据同一资料，相关系数可以计算两个C据同一资料，回归方程只能配合一个D据同一资料，回归方程随自变量与因变量的确定不同，可能配合两个9．相关系数r的数值( )A可为正值 B可为负值 C可大于1 D可等于-110．从变量之间相互关系的表现形式看，相关关系可分为( )A正相关 B负相关 C直线相关 D曲线相关11．确定直线回归方程必须满足的条件是( )A现象间确实存在数量上的相互依存关系B相关系数r必须等于1C y与x必须同方向变化D现象间存在着较密切的直线相关关系12．当两个现象完全相关时，下列统计指标值可能为( )A r=1B r=0C r=-1D S y=013．在直线回归分析中，确定直线回归方程的两个变量必须是( )A一个自变量，一个因变量 B均为随机变量C对等关系 D一个是随机变量，一个是可控制变量14．配合直线回归方程是为了( )A确定两个变量之间的变动关系 B用因变量推算自变量C用自变量推算因变量 D两个变量都是随机的15．在直线回归方程中( )A在两个变量中须确定自变量和因变量 B一个回归方程只能作一种推算C要求自变量是给定的，而因变量是随机的。
第六章相关与回归分析
• 总体相关系数ρ——根据总体数据计算的，
• 样本相关系数 r ——根据样本数据计算的。
6 - 12
统
计
相关关系的计算பைடு நூலகம்式
学
rSxy
(xx)y (y)
SxSy
(xx)2 (yy)2
或化简为
r
nx yxy
nx2x2 ny2y2
6 - 13
统
计
相关系数取值及其意义
相关图——也称为散点图。一对数据对应坐标图 上一个点，将成对的观察数据表现为坐标图 的散点而形成的图。
编制相关表、图的意义——有助于分析者判断 相关的有无、方向、形态、密切程度。
6 - 10
统
计
相关关系的图示
学
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
2. 一元线性（总体）回归方程的形式如下：
3.
E( y ) = α + b x
▪ 方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ α 是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期 望值，是回归直线是起始值；
▪ b 是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值。
6 - 22
统
6 - 11
统
计 学
（二）相关系数和判定系数
1. 都是对变量之间关系密切程度的度量； 2. 判定系数=相关系数的平方； 3. 不同类型的相关,相关系数的计算方法也不同.
对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相 关系数（也称直线相关系数）,常简称相关系数.
此外还有复相关系数、非线性相关系数、偏相关系 数
[课件]第6章 直线回归与相关分析PPT
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第四象限： x x 0 , y y 0 ( x x ) ( y y ) 0
进一步讨论
当正相关时，如右图，可见 大多数点子在一、三象限，
2
2
SS . 8183 1 Rdf R 83 F 1940 . 2384 * * SS 0 . 216 5 r df r
F0.05(1, 5)=6.61 F0.01(1, 5)=16.26
因为F > F0.01，所以否定H0，推断回归关
系极显著，即表明蔗糖质量分数x与食品 甜度 y 具有真实的直线关系。
一元直线相关（简单相关）
相关 分析 多元线性相关
复相关 偏相关
回归分析：研究变量之间的联系形式的一种
统计方法。
联系形式用回归方程来表示。由方程次数不
同来分：
线性回归———方程次数为1
如：y＝a＋bx。 非线性回归——方程次数不为1 如：y＝axb（b≠1）
由方程的自变量个数来分 一元回归——只有一个自变量 如：y＝a＋bx，y＝axb 多元回归——自变量个数多于1
2. 控制： 由 y 去控制 x。 这主要在制定生产措施时用。 例，某作物产量y与施肥量x的回归方程如下：
ˆ y 3 9 1 . 9 36 . 6 2 x
若希望y＞600斤/亩，则施肥量至少多少斤/亩？ 由
可推出
ˆ y 3 9 1 . 9 3 6 . 6 2 x 6 0 0
6 0 03 9 1 . 9 3 x 3 1 . 4 ( 斤 / 亩 ) 6 . 6 2
[( y y ) b ( x x )][ b ( x x )]
b ( x x )( y y ) b ( x x )
直线相关与回归-PPT
相关得类型
相关与回归
25
相关系数概念
相关系数(correlation coefficient), 又称simple correlation coefficient, coefficient of product – moment correlation, 或 Pearson’s correlation coefficient 、
相关与回归
6
相关与回归
图 1078对父子身高间得关系
7
直线回归就就是用来描述一个变量 如何依赖于另一个变量得统计方法。
dependent variable(应变量) indepentent variable(自变量)
相关与回归
8
回归方程
❖ 直线回归得任务就就是要找出因变量随自变量变 化得直线方程,我们把这个直线方程叫做直线回归 方程。
14
(1)回归系数得方差分析
P(X ,Y)
Y
总情况(Y Y )
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y )回归部分
y
X
Y Y Y Yˆ Yˆ Y
相关与回归
15
Y得离均差平方和得分解
由于：(Y Y ) (Y Yˆ) (Yˆ Y ) 可以证明：
(Y Y ) 2 (Y Yˆ)2 (Yˆ Y )2
5、相关、回归若无统计学意义,不等于无任何关系。
相关与回归
36
相关与回归得区别
❖ 1、应用 :研究两变量得相互关系,用相关分析,即在两个变量中,任何一个得变
化都会引起另一个得变化,就是一种双向变化得关系。回归就是反映两个变量得 依存关系,一个变量得改变会引起另一个变量得变化,就是一种单向得关系。
❖ 2、资料要求:回归分析要求Y呈正态分布;相关分析要求资料呈双变量正态分布
生物统计6-直线回归和相关
直线回归和相关一、基本概念1、回归模型：x是固定的，实验时预先确定的，没有误差或误差很小；Y不仅随X的变化而变化，且有随机误差。
X叫自变数，Y叫依变数。
回归模型具有预测的特征。
如一代三化螟盛蛾期Y与春季气温的关系。
2、相关模型：X和Y是平行变化关系，皆具有随机误差，不能区分谁是自变数谁是依变数。
相关模型不具有预测性质。
例如不同大豆品种中籽粒内脂肪含量（X）和蛋白质含量（Y）的关系。
二、注意事项1、变数间是否存在回归和相关关系，必须由具体学科本身来决定，回归分析和相关分析只是作为一种工具。
不能风牛马不相及，胡乱联系：你的年龄（X，不断长大），近些年恐怖活动不断加剧（Y），认为你的长大与恐怖活动不断加剧呈正相关。
2、如果仅研究事物Y和另一事物X的关系，则要求其余事物尽可能严格保持一致。
如研究种植密度X和产量的关系，如果品种、播期、施肥不同，而这些又影响产量，则无法得出X和Y之间的正确关系。
3、为了提高回归和相关分析的准确性，双变数成对观察值应尽可能多一些，至少应有5对以上。
如农药生物测定求LC50一般浓度5－7个，太多工作量太大。
4、利用回归方程进行预测时，X的取值范围必须严格限制在建立回归方程时双变数资料X变数的取值范围内，不能外推。
例如：药剂浓度和害虫死亡率的关系。
（经验风险与结构风险）假定建立回归方程y＝a＋bx，则不能预测x＝109时的死亡率（硬要预测，死亡率会超过100％，因此是不可能的）。
三、直线回归方程的建立y a bx=+ y是和x的量相对应的依变数Y的点估计值。
依最小二乘法，当2()Q y y =-∑最小时可得： 2221()()()()/1()()xa y bxxy x y x x y y n b SP SS x x x x n =----===--∑∑∑∑∑∑∑ SP ：乘积和，即X 的离均差和Y 的离均差的乘积和，即()()x x y y --∑x SS ：x 的离均差平方和，即2()x x -∑例：江苏武进测定1956-1964年3月下旬至4月中旬旬平均温度累计值(x ，旬·度)和一代三化螟盛发期(y ，以5月10日为0)的关系如下，试建立回归方程。
第六章 直线回归和相关
sb =
s2/ x y ∑( x − x )
2
=
sy/ x SS x
• 而
b−β t= sb
• 遵循 ν = n − 2 的t分布，故由 值即可知道 分布， 分布 故由t值即可知道 样本回归系数b来自 =0总体的概率大小。 总体的概率大小。 样本回归系数 来自 总体的概率大小
• 试测验例 资料回归关系的显著性。 试测验例6.1资料回归关系的显著性 资料回归关系的显著性。 • 已算得b=-1.0996，SSx=144.6356， ， ， 已算得 sy/x=3.266，故有： ，故有：
• 是x的离均差和 的离均差的乘积之和，简 的离均差和y的离均差的乘积之和 的离均差和 的离均差的乘积之和， ），记作 称乘积和 (sum of products），记作 ），记作SP • x的离均差平方和，记作 的离均差平方和， 的离均差平方和 记作SSx • a和b值皆可正可负，随具体资料而异 值皆可正可负， 和 值皆可正可负 • a和b值将有专业上的实际意义 和 值将有专业上的实际意义
• 3. 回归分析和相关分析 • 统计关系与函数关系的根本区别，在于前 统计关系与函数关系的根本区别， 者研究的是具有抽样误差的数据， 者研究的是具有抽样误差的数据，而实验 数据必须采用统计方法处理。 数据必须采用统计方法处理。 • 对具有因果关系的两个变数，统计分析的 对具有因果关系的两个变数， 任务是由试验数据推算得一个表示Y随 的 任务是由试验数据推算得一个表示 随X的 改变而改变的方程 • • Y依X的回归方程 的回归方程(regression equation of Y 依 的回归方程 on X)
二、直线回归的假设测验
• 1．回归关系的假设测验 ． • 若X和Y变数总体并不存在直线回归关系， 变数总体并不存在直线回归关系， 和 变数总体并不存在直线回归关系 则随机抽取的一个样本也能用上节方法算 得一个直线方程 =a+bx。 。 • 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程， 直线回归关系总体的概率大小。 直线回归关系总体的概率大小。 • 回归关系的假设测验，可由 测验或 测验 回归关系的假设测验，可由t测验或 测验或F 给出。 给出。
直线回归与相关分析PPT课件
变量
关系
反）
性质：正（负）相关——方向一致（相
相关
一元直线相关（简单相关）
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将计算回归方程为基础的统计分析方法称为回 归分析，将计算相关系数为基础的统计分析方 法称为相关分析。
原则上两个变数中Y含有试验误差而X不含试验 误差时着重进行回归分析；Y和X均含有试验误
差时则着重去进行相关分析。
• 已知： b=－1.0996,
第29页/共72页
yˆ a bx
yy
SSy ( y y)2 [(y yˆ) x
SSy ( y y)2 [(y yˆ) ( yˆ y)]2
[( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2 ]
( y yˆ)2 2 ( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
• b2
(x x)2 b2[
x2 (
x)2 n
]
b2 SS x
b
(x
x)(
y
y)
b[
xy
x
n
y
]
bSP
[ (x x)( y y)]2 (x x)2
[
xy
x
n
y
x2
( x)2
n
]2
SP 2 SS x
第35页/共72页
• ∴ S2回＝SdSf回回
sy x
＝SS回 ,
Q n2
SS2d离Sf离＝离
第4页/共72页
2. 自变数与依变数
回归关系（因果关系）
两个变数间的关系若具有原因和反应(结果)的性质，则称这 两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数(independent
variable)，以 X 表示；定义结果变数为依变数(dependent variable)， 以 Y 表示。
6.0 第六章 直线回归
ˆ a bx y
称为直线回归方程(linear regression equation)。 其中a 是x=0时的值，即回归直线在y 轴上的截距， 叫回归截距(regression intercept);b 是x 每增加 一个单位数时， 平均地将要增加(b>0时)或减少(b<0 时)的单位数，叫回归系数(regression coefficeint)。
查附表4， t
0.05, 7
2.36, t0.01,7 3.50。
现实得 | t | 4.05 t0.01,7 3.50
接受HA： β≠0，即认为积温和一代三化螟盛发期 是有真实的直线回归关系。
（二）、直线回归的区间估计 1、直线回归的抽样误差 在直线回归总体 N ( X , 2 ) 中抽取若干个 样本时，由于 2 ，各样本的a、b 值都 有误差。因此，由 y ˆ a bx 给出的点 估计的精确性，决定于 s 2 和a、b的误差 y x 大小。
3.2
4.0
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130
4.8
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132
干重/mg.dm-2
90 95 85 89 107 115 93 92 103 115 92 120 78 95 105 95 93 105 85 98
ห้องสมุดไป่ตู้
s2 y n
x
s2 y
x
SS x
(x x) sy
2
x
于是条件总体平均数的95%的置信区间为：
ˆ t0.05 s y ˆ t0.05 s y [ L1 y ˆ , L2 y ˆ]
直线回归与相关分析
第6页，共65页。
第7页，共65页。
第8页，共65页。
一、确定曲线类型的方法
1 专业知识、经验或文献确定曲线类型
单细胞生物生长初期符合指数函数增长，但若考虑到生长
一定时间后，后期生长受到抑制，其生长曲线变成“S”形。 酶促反应动力学中的米氏方程是一种双曲线。
第36页，共65页。
由于 SS 1 X12，SS 2 X22， ，SS m Xm 2； S1P2 X1X2， ，S1Pm X1Xm，SP 2m X2Xm， ; S1Py X1Y，SP 2y X2Y， ，SP my XmY;
则可得如下方程组：
b1SP1 b2SP12 bm SP1m SP1y
曲线回归方程
经尺度转换的新变量及参数
y´
x´
a´
ˆy=(a+bx)/x y´=yx
ˆy=1/(a+bx) y´=1/y
ˆy=x/(a+bx) y´=x/y
ˆy=ax+bx2 y´=y/x
ˆy=a+blnx
x´=lnx
ˆy=a+blgx
x´=lgx
ˆy=axb
y´=lny
x´=lnx a´=lna
ˆy=aebx
A-1 A=I（单位矩阵）
第39页，共65页。
由Ab=K 得b=A-1K：
b1 c11 c12
b2
c21
c22
bm cm1 cm2
c1m SP1y c2m SP2y
cmm
SPny
由此可见，求偏回归系数建立多元线性回归方程，首先
第六章相关分析与回归分析
+
-
x+x0
+yy0
+
Ⅳ
－
0
x
x
第六章 相关分析与回归分析
STAT
coxv,y()0则r>0，说明x和y之间为正线性
相关；
coxv,y()0则r<0，说明x和y之间为负线性
相关；
coxv,y()0则r=0，说明x和y之间不存在线
性相关。
第六章 相关分析与回归分析
2、标准差 x 和 y 的作用
第六章 相关分222470， 64098 y26383 .48 ， 7 5x7y1114.448633 STAT
r
nxyxy
nx2(x)2 ny2(y)2
1011144.486133371.785276.127
三、相关表和相关图
STAT
相关表
将某一变量x按其数值大小顺序排 列，然后再将与其相关的另一个变量y 对应值平行排列，观察x由小到大变化 时，y的变化情况。
第六章 相关分析与回归分析
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号
1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X
1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
联系
STAT
（1）有函数关系的变量间，由于有测 量误差及各种随机因素的干扰，可表 现为相关关系；
（2）对具有相关关系的变量有深刻了 解之后，相关关系有可能转化为或借 助函数关系来描述。
第六章 相关分析与回归分析
• 例：判断下列关系是什么关系？ • 1）物体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而STAT
第六章 相关分析与回归分析
正相关
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函数关系
有精确的数学表达式
（确定性的关系）
直线回归分析
一元回归分析
变量间的关系
因果关系
曲线回归分析
(回归分析）
多元线性回归分析
多元回归分析
相关关系
多元非线性回归分析
（非确定性的关系）
简单相关分析—— 直线相关分析
平行关系
复相关分析
（相关分析） 多元相关分析
偏相关分析
2 直线回归
高尔顿试验
“回归”一词是由英国著名人类学家、气象学 家和统计学家高尔顿于1885年在其《身高遗传 中的平庸回归》一文中首次引入的,他在研究身 高与遗传之间的联系时，观察了1078对夫妇的 二人的平均身高X以及其一个成年后代的身高Y， 从中发现在直角坐标系下，二者之间的关系近乎 是一条直线，并且得到如下数学关系：
统计学上采用回归分析 （regression analysis） 方法研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示 原因的变量称为自变量，表示结果的变量称为依 变量。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变 量的回归分析称为一元回归分析；
研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变 量的回归分析称为多元回归分析。
函数关系的例子:
1.圆的面积(S)与半径(R)之间的关系可表示为
S R2
2.某种商品的销售额(R)与销售量(Q)之间的关系可 表示为
R pQ (其中 p 为单价)
3.企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量 消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为
y = x1 x2 x3
第六章 直线回归与相关
客观事物在发展过程中是相互联系、相互影响， 常常要研究两个或两个以上变量间的关系。
相关分析和回归分析是研究事物之间既相互联系 又相互制约的关系、探索其紧密联系的程度、揭 示其变化的具体形式和内在规律性的一种常用的 统计分析方法，也是构造各种数学模型、借助于 数学方法对事物进行分析、评价、预测和控制的 重要工具，在科学实验和生产实际中有着广泛的 应用。
Y 33.73 0.516 X
此结果表明：父辈平均身高每增加或减少一个单 位，其成年后代的身高平均增加或减少 0.516 个单位。
高尔顿的结论是：
高个子的先代会导致产生高个子的子代，但 子代的身高并不象其先代，而是趋向于比他们先 代更加平均。
回归分析
（1）从一组样本数据出发，确定变量之间的数 学关系式，研究控制变量变化时对响应变量影响 程度。
（2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检 验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著。
（3）所求的关系式，根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出 这种预测或控制的精确程度。
回归模型的类型
一个预报变量
一元回归
回归模型
两个及两个以上预报 变量
一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回
归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归
分析与多元非线性回归分析两种。
回归分析的任务就是揭示出呈因果关系的相关 变量间的联系形式，建立它们之间的回归方程， 利用所建立的回归方程，由自变量（原因）来 预测、控制依变量（结果）。 回归分析主要包括：找出回归方程；检验回 归方程是否显著；通过回归方程来预测或控 制另一变量。
相关关系与函数关系的联系与区别 ⑴ 区别： ① 相关关系中的依存关系是不确定的；而函数关系中 的依存关系是确定的。 ② 函数关系所确定的相互依存关系可以用数学表达式 确切地表示出来；而相关关系一般是不确定的，不能用 数学表达式准确地表示出来。 ⑵ 联系： 对具有相关关系的现象进行分析、了解现象之间的密切 联系程度时，必须利用相应的函数关系数学表达式来表 明现象间的相互依存的关系。
在一定范围内，对一个变量的任意数值（Xi），虽然 没有另一个变量的确定数值yi与之对应，但是却有一个 特定yi的条件概率分布与之对应，这种变量的不确定关 系，称为相关关系。
相关关系的例子: 1. 人的身高(h)与体重(w)之间的关系。 2. 人的血压(P)与年龄、体质、生活习惯及从事的 工作与职业等的关系。 3. 食品的销售与产品的质量、包装、消费者爱好 等的关系。
1 回归与相关的概念
现实世界许多事物或现象之间相互依存、制约的关系
一般可分为两类 一类是完全确定性的关系，又称函数关系，可以用 精确的数学表达式来表示，即当变量x的值取定后， 变量y有唯一确定的值与之对应。
函数关系
特点
1-1对应的具有数量 上的严格确定性关系 （数学上以函数的形式表现）
表现为一个现象发生数量上的 变化，而另一个现象也相应产 生数量上的变化，并且有一个 确切的数值与之相对应。
统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来 研究呈平行关系相关变量之间的关系。
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为简 单相关分析（也叫直线相关Байду номын сангаас析）；
对多个变量进行相关分析时，研究一个变量与 多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其 余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关 称为偏相关分析。
另一类是非确定性关系，不能用精确的数学公 式来表示，当变量x的值取定后，y有若干种可 能取值。
表现为现象之间确实存在的相
非确定关系
互依存的关系，但数量上不是
严格对应的依存关系,并且其关
系数值是不固定的。
①现象之间确实存在着数量上的依存关系。 ②现象之间数量上的关系不是确定的。
变量间都存在着十分密切的关系，但不能由一个或几个 变量的值精确地求出另一个变量的值。统计学中把这些变 量间的关系称为相关关系，把存在相关关系的变量称为相 关变量。
4. 农作物的产量与施肥量之间的关系。
相关变量间的关系一般分为两种:
一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个 或几个变量的影响（单向依存、 互为因果）。如 小麦的生长速度受遗传特性、营养水平、管理条 件等因素的影响。
另一种是平行关系，它们互为因果或共同受到 另外因素的影响。如人的身高和胸围之间的关系 属于平行关系。
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
2.1 直线回归方程的建立
2.1.1数学模型 对于两个相关变量，一个变量用x表示，另
一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2， y2），……，（xn，yn）