建筑力学电子教案14静定结构的位移计算

5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。 力偶臂为d ，每一力的大小为1/d
力和力偶统称为广义力，单位广义力用
=1表示 线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
14.2 虚功原理和单位荷载法
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度
，也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
14
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
14 由0增加至 14
力Fp1在位移
14
上作的实功
W14=
FP1 14
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功
有以下三个方面：
1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否 超过允许的位移限制值
2、为超静定结构的计算打基础。在计算超 静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还 需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位 移。
3、在结构的制作、架设、养护过程中，有 时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定 的施工措施，因而也需要进行位移计算。
P
由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组 成：
设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计 算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注 意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结 果为
=
中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四 部分之比
M : N : Q : r = 1200 : 1 : 3 : 2
二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式
(3) 改善荷载的作用情况
在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形 ，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用 ，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁 的变形减小，刚度提高。
14.4 图乘法 一、图乘法原理 1、图乘法的适用条件：
（1）杆段的轴线为直线 （2）杆段的弯曲刚度EI为常数
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载 求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
K+ RiCi= 式中， =1 则
d+ N + Q
K=
d+
N+
C Q
—
Ri i
经进一步推导，可得
式中：
E
弹性模量； G
剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k
截面形状系数。如：对矩形截面
k=6/5;圆形截面k=10/9。
=4.75mm<[ ]= 梁的刚度足够 所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施
梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施：
(1) 增大梁的抗弯刚度EI
增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
，列表如下:
杆件 编号 /mm A/mm2 上弦 6-7 6000 10000 下弦 1-3 12000 10000 斜杆 1-6 10000 12500 斜杆 3-6 10000 5000 竖杆 2-6 竖杆 3-7
/(1/mm)
0.6 1.2 0.8 2
FNP/N
N
-750000 -0.75
337500
(3).图乘求位移
下面介绍几个规则图形的面积和形心位置
4.图形的分解
当图形的面积和形心不便确定时，可以将其 分解成几个简单的图形， 分别与另一图形相 应的纵坐标相乘。
梯-梯同侧组合：
同侧组合：
异侧组合
பைடு நூலகம்
由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可 以看成一个梯形和一个规则抛物线图形 的叠加 。
曲-折组合
将上述各部分分别图乘再叠加，即得
例14.6 试求图 (a)所示刚架结点B的水平
位移 BH。 设各杆为矩形截面，截面尺寸
为bxh，惯性矩l=
E为常, 数，只
考虑弯矩变形的影响。
解: 先作出MP图和
图, 分别如图 (b) (c)所示 。
应用图乘法求得结点B的水平位移为：
14.5 静定结构由于支座位移所引起的位移
14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、静定结构在荷载作用下的位移公式
如体果 位结 移构只Ci有＝荷0，载位作移用公，式因则支为座移动引起的刚
对于曲杆（曲率半径r），荷载作用下的位移公式为
＋
曲率的影响
剪力的影响 轴力的影响 弯矩的影响
图a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与 截面高度之比r/h=10,弹性模量之比E/G=2.5， 曲杆B端形心在竖向荷载F 作用下的竖向线位移
件横截面面积（单位cm2 ）。许可挠度与跨
长的比值
，试校核桁架的刚度。
解 对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发 生在桁架的对称面处。 须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度校核。
1）建立虚拟状态（如图b 所示）
2）计算 N 和FNP，并标于图b、a 上 3）求3点的竖向位移，进行刚度校核
计算半个桁架的
（1）梁和刚架
梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ， 位移计算公式中取第一项便具有足够的工 程精度
（2）桁架
各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内 只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的 第二项并简化为实用的形式
（3）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项
（4）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽 略不计
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理 ：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上 所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移 的相应变形上所作虚功的总和。
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
由图乘法得
代入以上数据,于是
例14.5 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移 cv 。 设EI=
解: 荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。
在AB段, MP和 图均是三角形；在BC段，MP图 可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形 与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图 [即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成 。
静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形， 只发生刚体位移。如图 a所示静定结构,其支座
发生水平位移C1 、竖向位移C2 和转角C3，
现要求由此引起的任
一点沿任一方向的位
移，例如求k点竖向位
移
K。
这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一 般公式
因为从实际状态中取出的微段ds的变形为d =du=
于是上式可简化为
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
（2）减小梁的跨度L
梁的变形与其跨度的n次幂成正比。设法减小 梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提 高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用 两种办法减小L 值：
①增加中间支座
而
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变 成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减 小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部 分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度 （图c），从而使梁中段在荷载作用下产生 的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中 的最大挠度值。
阶梯形截面杆
二、 图乘法计算直梁和刚架的位移 下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移 例14.4 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移
CV。梁的EI=常数
解 MP、 图分别如图 (b).(c)所示。
BC 段的MP图是标准二 次抛物线；
AB段的MP图较复杂，
但可将其分解为一个 三角形和一个标准二 次抛物线图形 。
四、 静定桁架的位移计算 计算步骤为
（1）设虚拟状态； （2）计算 ,FNP ; （3）用桁架的位移计算公式计算位移。
例14-1 图示桁架各杆的EA相等，求C 结点
的竖向位移
vc
解: （1）设虚拟状态（如上图b所示）
（2）计算
N 和FNP（标于上图 b.a ）
（3）代公式求C点的竖向位移
例14-2 图示钢桁架，图中括号内数值为杆
直梁和刚架的 位移公式则为
（3） MP图和 图中至少有一个直线图形
２．图乘法原理
图乘法求位移的一般表达式为
注意 ： [1].
应取自直线图中
[2].若 与 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值
[3]. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
3.图乘法的步骤:
(1).设虚拟状态； (2).画 图； 图
、
三、刚架的位移举例
A 点的线位移
水平线位移
竖向线位移 截面A 的角位移
C、D 两点的水平相对线位移
( D)H = C + D
A、B两个截面的相对转角 AB= A+ B
四、引起位移的原因
一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变 （如图a）、支座移动（如图b）材料收缩 、制造误差等
五、 计算位移的目的
其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变
梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移 12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移 12 上作了功，为虚 功，大小为 W12=FP1 12
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺 寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力 状态。
三、虚拟状态的选取
欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应 的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地 方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载： 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的 单位集中力偶
K= －
-
Ci
这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。
式中 为虚拟状态图b的支座反力，
Ci为实际状态的支座位移， Ci为反力虚功。
当 与实际支座位移Ci 的 方向一致时其乘积取正 ，相反时取负。 此外，上式右边前面还有 一个负号，不可漏掉。
例14.7
图 (a)所示静定刚架，若支架A发生图示的位移 :a=1.0cm,b=1.5cm. 试求C点的水平位移
建筑力学电子教案14静定结 构的位移计算
14．1 概 述
一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由 于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横 截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
二、位移的分类 线位移：截面形心的直线移动距离
角位移：截面的转角
位移
位移
绝对位移
相对位移
广义位移
=3m ，许用应力 =160MPa，许用挠度[w]=
/500，弹性模量E=2×105MPa ，试选择工字钢 的型号。
解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为：
＝ 按弯曲正应力强度条件选截面
查型钢表选用20a工字钢,其弯曲截面系数为 237cm3，惯性矩I=2370cm4 （2）校核梁的刚度
+600000 +0.375 270000
-1000000 -0.625 500000
250000 +0.625 312500
0
0
0
0
1420000
根据上表，得
< 所以，桁架满足刚度条件
五、梁的位移及刚度校核
1、 梁的位移
挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移
用w 表示，规定w 向下为正。
转角：横截面的角位移 ，规定顺时针转为正
-
6简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端
-
（在
处）
2．梁的刚度校核
梁的位移过大，则不能正常工作
对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长
之比
为标准
在工程上，吊车梁的
＝ 1/600
铁路钢桁梁的 ＝ 1/900
梁的刚度条件为:
例14-3 图示简支梁由工字钢制成， 跨度中 点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度
在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果 （如表14.1所示），可供计算时查用。
表14.1 梁的挠度与转角公式
荷载类型
转角
最大挠度
1.悬臂梁 集中荷载作用在自由端
2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上
时
时
－
续表
5简支梁 均匀分布荷载作用在梁上
cH、竖向位移 Cv。
解 在C 点处分别加一水平和竖向的单位力， 求出其支座反力如图 (b) (c) 所示。
由公式
K= －
-
Ci
得： cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cm
cv=-1.5×1=-1.5cm
14.6 互等定理 一、功的互等定理 图示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2， 称之为第一状态和第二状态。