7 第7讲 定积分与微积分基本定理

第7讲 定积分与微积分基本定理

1．定积分的概念

在⎠⎛a

b f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积

函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义

设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛a

b f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝

b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质

(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a

b f (x )dx (k 为常数)；

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a

b f 2(x )dx ；

(3)⎠⎛a

b f (x )dx ＝⎠⎛a

c f (x )dx ＋⎠⎛c

b f (x )dx (其中a <

c

4．微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a

b f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这

个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．

为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛a

b f (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪b

a ＝F (

b )－F (a )．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛a

b f (t )dt .( )

(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0

a f (x )dx .( )

(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a

a f (x )dx ＝0.( )

(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛0

1(x 2－x )dx .( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× ⎠⎛0

1e x dx 的值等于( )

A ．e

B ．1－e

C ．e －1 D.1

2

(e －1)

解析：选C.⎠⎛0

1e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.

如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )

A ．1 B.4

3

C. 3

D ．2

解析：选B .由⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，

y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.

所以S ＝⎠⎛

2(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝

⎠⎛0

2(－x 2＋2x )dx ＝

⎝⎛⎭⎫－x 3

3＋x 2|20＝－83＋4＝43

.

若∫π

2

0(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π

2

0＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1

设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，

则⎠⎛0

e f (x )dx 的值为________．

解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，

所以⎠⎛0

e f (x )dx ＝⎠⎛0

1x 2dx ＋⎠⎛1

e 1

x

dx

＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝1

3＋ln e ＝43. 答案：43

定积分的计算

[典例引领]

利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛1

2(x 2＋2x ＋1)dx ；

(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ；

(3)⎠⎛02|1－x |dx ； (4)⎠⎛1

2⎝

⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛1

2(x 2＋2x ＋1)dx

＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛1

22xdx ＋⎠⎛1

21dx

＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪2

1＋x ⎪⎪⎪2

1＝193. (2)⎠⎛0

π(sin x －cos x )dx

＝⎠⎛0π

sin xdx －⎠⎛0

π

cos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪

π

0＝2.

(3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛1

2(x －1)dx

＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭

⎫12x 2－x |2

1 ＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫1

2×12－1＝1. (4)⎠⎛1

2⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛1

2e 2x dx ＋⎠⎛1

21x

dx ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝1

2e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－1

2

e 2＋ln 2.

若本例(3)变为“⎠⎛0

3|x 2－1|dx ”，试求之．

解：⎠⎛0

3|x 2－1|dx

＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛1

3(x 2－1)dx

＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪3

1 ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫6＋23＝223

.

计算定积分的解题步骤