第5节动量定理及应用

第5节 动量定理及应用
一 动量定理
物体质量m 与运动速度u 的积称为动量M 。

按牛顿定律，物体受到
外力F 的作用，必然产生加速度a ，物体运动速度u
就要产生改变：
t
m t t m d d )(d d d d M
u u F
即作用于物体的外力 F 等于该物体在力作用方向上的动量改变率，称动量定理。

用动量定理分析流体质点系统与接触它的周界之间的
相互作用是比较方便的。

所谓流体质点系统是所选定的控制界面内的流体质点的集合。

流场中某确定的空间区域称控制体，这个区域的周界称为控制面(Control surface )。

一旦选定之后，它的形状就不随流体的流动而改变。

若控制体的位置相对坐标系是固定的，称固定控制体；否则称运动控制体。

前者如一段固定安装的管道；后者如滑阀开启或关闭的过程，火箭升空过程。

c 的速度为u ，密度为 ，点质量为V
d ，则t
时刻动量为t
V V
c d u ，经
过时间t d ，即在t t 时，控制体内的流体运动到图4-13(b)中虚线位置；流体系统在t t 时刻有三部分组成；(1) t t 时刻控制体c V 内的所有质
点（包括新流入控制体和尚留在控制体c V 的部分）总动量t
t V V
c d u ；
(2) 流出控制体c V 表面1A （图4-13(c)、u 与外法线n 成角小于o 90）的动量 1
)d (d A t A u u ；(3) 流入控制体c V 表面2A (u 与内法线n 成角小于o 90)
的动量 2
)d (d A t A u u 。

即在t t 时刻，流体系统的动量为
21c )d (d )d (d d A A t
t V t t V A u u A u u u
A t
t V t V )d (d d c A u u u (4.5-1)
按动量定理对流体系统的作用力 F 为
)(u F m dt
d
t V A t t V t V V t c c d )d (d 1lim
u A u u u
A
V V t )d (d c A u u u (4.5-2) 其中在 c
d V V u 中，u 为控制体内任意一点的流速，在 A
)d (A u u 中，A
为控制表面，A d 为矢量微面，A d d n A ，n 为法线方向单位矢量，u 为
表面出流速度。

规定流出时 )d (A u u 为“＋”的原因是u 与外法线n
成锐角，流入为“－”的原因是u 与内法线－n 成锐角。

对于定常流，控制体c V 内各点流速u 仅为坐标的函数与时间t 无关，即
0d c
V V t u ，则有 A
)d (A u u F (4.5-3)
即对流体的作用力等于流出和流入控制体表面的动量的代数和；或流出动量和流入动量之差。

一维管流为常见的流动，对定常一维管流，取流动方向为自然坐标，则上式可简化为
1
2
)d ()d ()d (1
1
1
2
2
2
A A A
A u A u u u A u u F
)(d d 12121
2
u u u u Q Q Q A A (4.5-4)
F 在z y x ,,
向投影为
)
()()
(z 1z 2z y 1y 2y x 1x 2x u u F u u F u u F (4.5-5) 二 动量定理的应用
1 流体对弯管的作用力
一维流变径弯管如图4-15所示，液体密度为 ，流量为Q ，确定流
图 4-14 一维管流
图4-15 变径弯管
体对弯管的作用力x F 和y F 。

弯管承受的作用力有两部分，其一为静压力，其二为动压力——流体流动的动量变化引起的作用力，参看图4-16，将1A 和2A 面上的静压力
11A p 和22A p 分解成y x ,向的分力，记弯管上与11A p 和22A p 相应的支撑力
为1x F 和1y F ，按力平衡原理，则有
2
221111y 2
221111x cos sin sin cos A p A p F A p A p F (a)
图 4-16 弯管上的静压力
按动量定理，弯管对流体作用力)(x 1x 2'2x u u Q F ，
)(y 1y 2'2y u u Q F ，而流体对弯管的作用力'2x 2x F F ，'2y 2y F F ，故有
)cos sin ()()
sin cos ()(2211y 2y 12
y 2211x 2x 12x u u Q u u Q F u u Q u u Q F (b) 联立式(a)和(b)则有
)cos sin (cos sin )
sin cos (sin cos 22112221112y 1y y
22112221112x 1x x u u Q A p A p F F F u u Q A p A p F F F (c) 图4-15中的弯管为一段变径弯管，特例情况如下：(a) 021 ，
21A A ，21u u ；(b) 021 ，Q A u A u 2211 ；(c) o 90,021 ，
21A A ，21u u ； (d) o 90,021 （水平管），21A A ，21u u ；(e)
o 90,021 ，Q A u A u 2211，读者可自行分析。

2 射流对固体壁面的冲击力
液体自管嘴喷出，形成射流；若不计重力，则作用在流体上的力，只有固体壁面对流体的阻力，其反作用力则为射流对固体壁面的作用力。

如图4-17所示，射流自断面0A 的管嘴以水平速度0u 射向与水平面成倾角为 的平板后，分成两股，其动量分别为11u m 和22u m 。

取射流为分离体，平板沿其法向n 对射流作用力为R ，射流所受的相对压力为零，按动量定理则有
R u u u 002211m m m (4.5-6)
以平板法线方向为x 轴方向，向右为正；上式各量在x 轴上的投影为
sin sin 20000u A m R u
即
sin 2
0u A R (4.5-7)
射流对倾角平板（壁面）的冲击力 sin 2
0'u A R R ；当o 90 ，即射流垂直射向平板时，2
00'u A R 即为液流对平板的冲击力。

2
图 4-17 射流冲击平板 图 4-18 射流反推力
若平面沿射流方向以速度u 移动时，则液流对平板的冲击力为
200')(u u A R (4.5-8)
参看图4-18，容器侧壁开有面积为0A 的小孔，液体以速度gh u 2 自小孔泻出。

设出流量甚小，在很短的时间内可看成定常流。

则液体沿x 轴（u 方向）的动量变化率为
2)d (d d
)(d d Au Qu tu Q t
mu t (4.5-9) 按动量定理，这个量为容器对液体在x 向的作用力2x Au R ；同时液体对容器的反作用力为
2x x Au R F (4.5-10)
如果容器可在向x 向自由移动，由于x F 的作用，容器将朝u 得把反方向运动，这就是射流的反推力。

若容器上的压强不是大气压强，而是恒定的压力p ，则小孔中流体速度
p
gh u 22。

3 动量矩定理
动量矩定理在流体机械（如燃气轮机、水轮泵等）中得到广泛应用。

动量矩定理可根据动量定理和矢量叉积运算理论导出。

在式（4.5-2）中， F 是作用在控制体上的外力（合力，矢量），
c
d V V t u 是控制体内动量（矢量）对时间的变化率； A A u u )d ( 是通过控制面的净动量（矢量）。

式中，u 为任意的速度（矢量）。

如果用r 表示该点在坐标系中的矢径，对式（4.5-2）作叉积运算，则有
A
V udA dV t c )()(u r u r F r （4.5-11） 式中 F r 即是控制面上合外力（矢量）对坐标原点的合力矩，用T 表示，对于稳定流，式（4.5-11）等号右侧第一项为零，则有
1
2
d )(d )(d )(A A A
A u A u A u u r u r u r T （4.5-12）
其中 1A 为流入面，2A 为流出面，这就是常用于叶轮机的定常流动矩方
程。

由于矢量叉积，u r 的大小u r 可表示为
cos )sin(ru ru u r u r （4.5-13）
式中 ——矢量r 与流体质点的绝对速度u 所成的角。

这样式（4.5-13）可以改写为
)cos cos (111222 u r u r T （4.5-14）
式中 2r ——流体流出控制体的半径，单位为m ；
1r ——流体流入控制体的半径，单位为m ；
2u ——流体流出控制体的绝对速度的平均值，单位为m/s ； 1u ——流体流入控制体的绝对速度的平均值，单位为m/s ；
2 ——2r 与2u 所成的角；
1 ——1r 与1u 所成的角。

补加说明一点的是，绝对速度21V V u ，1V 为控制体的旋转速度，
r V 1， 为角速度；2V 为流体相对控制体的运动速度。