应力与应变间的关系共31页
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《材料力学》课件7-4应力与应变间的关系
胡克定律是描述弹性材料的固有性质，它表明应力与应变之间呈线性关系。 弹性模量是表征材料反抗形变的能力，是应力与应变之间的比值。 切变模量是材料抵抗剪切形变的能力，是切应力与切应变之间的比值。
胡克定律
胡克定律是一个简单而重要的材料力学公式，它描述了应力与应变之间的线性关系。
弹性模量与切变模量
弹性模量是一个常用的材料力学参数，它用于衡量材料在受力时的弹性性质。 切变模量是另一个衡量材料性能的参数，它描述了材料抵抗剪切形变的能力。
《材料力学》课件7-4应 力与应变间的关系
本节课将讨论应力与应变之间的关系，以及胡克定律、弹性模量、切变模量、 杨氏模量和泊松比等概念。
应力与应变的定义
应力是单位面积上的力，用于描述物体内部的分子之间的相互作用力。 应变是物体单位长度的发生变化，用于描述物体在受力时的形变程度。
应力与应变之间的关系
杨氏模量
杨氏模量是一个衡量材料刚度的参数，它描于描述材料性质的参数，它衡量了材料在拉伸时的侧向收缩 程度。
剪切模量
剪切模量是一个衡量材料剪切属性的参数，它描述了材料抵抗剪切形变的能力。
胡克定律
胡克定律是一个简单而重要的材料力学公式，它描述了应力与应变之间的线性关系。
弹性模量与切变模量
弹性模量是一个常用的材料力学参数，它用于衡量材料在受力时的弹性性质。 切变模量是另一个衡量材料性能的参数，它描述了材料抵抗剪切形变的能力。
《材料力学》课件7-4应 力与应变间的关系
本节课将讨论应力与应变之间的关系，以及胡克定律、弹性模量、切变模量、 杨氏模量和泊松比等概念。
应力与应变的定义
应力是单位面积上的力，用于描述物体内部的分子之间的相互作用力。 应变是物体单位长度的发生变化，用于描述物体在受力时的形变程度。
应力与应变之间的关系
杨氏模量
杨氏模量是一个衡量材料刚度的参数，它描于描述材料性质的参数，它衡量了材料在拉伸时的侧向收缩 程度。
剪切模量
剪切模量是一个衡量材料剪切属性的参数，它描述了材料抵抗剪切形变的能力。
应力和应变之间的关系
s2 0
即为平面应力状态，有
1
1 E
s 1 s 3
3
1 E
s 3 s 1
联立两式可解得：
s1
E 1
2
1 3
210 10 1 0 .3
2
9
240
0 . 3 160 10
6
s3
44 . 3 M Pa 9 E 210 10 3 1 160 0 . 3 240 10 2 2 1 1 0 .3
利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：
t max s1 s3
2 7.25MPa
§7-5 平面应力状态下的电测法
对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、 小变形条件下，sx、sy与切应变无关，即有：
sy sx
x y
1 E 1 E
s s
E
x
s s s
y
y F a
sy sx sz
x
a
(a)
z
(b)
解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：
s
y
F A
30 MPa
受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零， 并产生压应力，即有：
x z
1 E 1 E
s s
x
s s
y
s s
z
0 0
所以，应变能密度为： v
d V dxdydz
1tx 2 G
而对纯剪应力状态，其主应力为：
s 1 tx
s2tx
s1 t
x
s
2
即为平面应力状态，有
1
1 E
s 1 s 3
3
1 E
s 3 s 1
联立两式可解得：
s1
E 1
2
1 3
210 10 1 0 .3
2
9
240
0 . 3 160 10
6
s3
44 . 3 M Pa 9 E 210 10 3 1 160 0 . 3 240 10 2 2 1 1 0 .3
利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：
t max s1 s3
2 7.25MPa
§7-5 平面应力状态下的电测法
对各向同性材料图示平面应力状态，在线弹性、 小变形条件下，sx、sy与切应变无关，即有：
sy sx
x y
1 E 1 E
s s
E
x
s s s
y
y F a
sy sx sz
x
a
(a)
z
(b)
解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：
s
y
F A
30 MPa
受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零， 并产生压应力，即有：
x z
1 E 1 E
s s
x
s s
y
s s
z
0 0
所以，应变能密度为： v
d V dxdydz
1tx 2 G
而对纯剪应力状态，其主应力为：
s 1 tx
s2tx
s1 t
x
s
2
第四章 应力和应变的关系
于是
∂K ∂2 u ∂2 v ∂2 w δK = δ t = ∫∫∫ ρ dτ[ 2 δu + 2 δv + 2 δw] ∂t ∂t ∂t ∂t
第二节 弹性变形过程中的能量 对于物体静止时 可认为 δ K = 0 , 不考虑热交换 ，即 δ Q = 0 δ V = δ U , δ U = δ U1 + δ U 2 其中，
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
σ x = f 1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ z = f 3 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ xy = f 4 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ yz = f 5 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
+
σ ij , j + X i = ρ u i
..
第二节 弹性变形过程中的能量 由平衡方程： σ ij, j + X i = ρ ui ∂δu ∂u ∂ v ∂u 又 ; ∂ δ v ∂δ u =δ = δε = δγ + = δ +
应力与应变间的关系
22
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
P a
y
z
x
23
y
解：铜块上截面上的压应力为
9
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
z E ( x y)
xy
xy
G
10
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1
1
E [ 1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
(7-7-6)
11
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
3
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
应力与应变之间的关系_图文_图文
例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。 材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。 求该点处的主应力值数，并求另一应变2的
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
即为平面应力状态，有
联立两式可解得：
主应变2为： 其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为 正，反之为负。
对应的六个应变分量，
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。
对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
应力与应变之间的关系_图文_图文.ppt
3）空间应力状态：
sy
dy
sx txy
tdxzxsttzyxtxyttsyzzzxtxyyttzzyyxstzxtdzxyzsx
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
则可得： 同理可得： 对切应力分量与切应变的关系，有：
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设sz=0，txz=0，tyz=0，有：
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
二向应力状态：
设
有
可见，即使s3 =0，但3 0
而且各向同性材料有
§10-5 广义胡克定律
应变和应力关系
生物医学工程：利用应变和应力原理，开发出更符合人体生理需求的医疗 器械和生物材料，提高医疗效果和人体健康水平。
新能源技术：利用应变和应力原理，优化风力发电机叶片设计，提高风能 利用率和发电效率。
机器人技术：通过研究应变和应力与机器人关节运动的关系，提高机器人 的灵活性和稳定性，拓展机器人的应用领域。
应变和应力对未来科技发展的影响
增强材料性能：通过深入研究应变和应力，可以开发出性能更强的新型材 料，为未来的科技发展提供物质基础。
智能制造：利用应变和应力的知识，可以优化制造过程中的材料性能，提 高生产效率和产品质量，推动智能制造的发展。
生物医学应用：在生物医学领域，应变和应力的研究有助于更好地理解和 控制人体生理机制，为未来的生物医学应用提供支持。
压痕法：利用压痕仪在物体表面压出一定形状的压痕，通过测量压痕的尺寸来计算应力
应变和应力的相互影响
应变和应力之间的关系：应变是应力作用下的物体形状变化，应力是抵抗变形的力。
应变和应力的测量方法：通过应变计和应力计进行测量，应变计测量物体变形，应力计测量物 体受到的力。
应变和应力的相互影响：应变和应力之间存在相互影响，例如在材料屈服点附近，应变和应力 之间会发生突变。
应力的概念
分类：正应力、剪应力、弯 曲应力等
定义：物体受到外力作用时， 内部产生的反作用力
单位：帕斯卡（Pa） 作用效果：使物体产生形变
应变和应力的关系
应变是物体形状 的改变，应力是 物体内部抵抗变
形的力
应变和应力之间 存在线性关系， 即应变正比于应
力
应变和应力之间 的关系可以用胡 克定律表示，即 应力=弹性模量
应变和应力关系
汇报人：XX
应变和应力的定义 应变和应力的测量方法 应变和应力的应用领域 应变和应力的研究进展 应变和应力的未来展望
新能源技术：利用应变和应力原理，优化风力发电机叶片设计，提高风能 利用率和发电效率。
机器人技术：通过研究应变和应力与机器人关节运动的关系，提高机器人 的灵活性和稳定性，拓展机器人的应用领域。
应变和应力对未来科技发展的影响
增强材料性能：通过深入研究应变和应力，可以开发出性能更强的新型材 料，为未来的科技发展提供物质基础。
智能制造：利用应变和应力的知识，可以优化制造过程中的材料性能，提 高生产效率和产品质量，推动智能制造的发展。
生物医学应用：在生物医学领域，应变和应力的研究有助于更好地理解和 控制人体生理机制，为未来的生物医学应用提供支持。
压痕法：利用压痕仪在物体表面压出一定形状的压痕，通过测量压痕的尺寸来计算应力
应变和应力的相互影响
应变和应力之间的关系：应变是应力作用下的物体形状变化，应力是抵抗变形的力。
应变和应力的测量方法：通过应变计和应力计进行测量，应变计测量物体变形，应力计测量物 体受到的力。
应变和应力的相互影响：应变和应力之间存在相互影响，例如在材料屈服点附近，应变和应力 之间会发生突变。
应力的概念
分类：正应力、剪应力、弯 曲应力等
定义：物体受到外力作用时， 内部产生的反作用力
单位：帕斯卡（Pa） 作用效果：使物体产生形变
应变和应力的关系
应变是物体形状 的改变，应力是 物体内部抵抗变
形的力
应变和应力之间 存在线性关系， 即应变正比于应
力
应变和应力之间 的关系可以用胡 克定律表示，即 应力=弹性模量
应变和应力关系
汇报人：XX
应变和应力的定义 应变和应力的测量方法 应变和应力的应用领域 应变和应力的研究进展 应变和应力的未来展望
材料力学应力与应变之间的关系
2
=-34.6MPa
第13页/共20页
例 图示纯弯梁，已知外力为M，横截面对中性轴的惯
惯性矩为Iz，材料弹性常数为E、ν，试求线段AB
的长度改变量ΔlAB。
M
dl
Aa
45°
y
B
M
解： My
Iz
45
45
2
σ σ45° τ σ-45°
45
1 E
( 45
45 )
1
2E
dlAB
45
dl
1
2E
68.85MPa
3）求线应变
τ
0
E
50.86 210103
2.42104
σ
242με
σy≠0！！！
第7页/共20页
90 0 0.3 2.42104 7.26105 σy≠0！！！
y
45
1 E
( 45
45 )
x
45°
x
y
45
x
y
2
x
45
x
y
2
x
第8页/共20页
τ σ
2
45
2
非45°角时！！！
45
1 E
( 45
45 )
1 1
2E 2E
第12页/共20页
计算τ的解法二：
已知：ε0°=500με， ε 45°=400με
90 0 0.3500 150με
E
1
( 0
90
2
45 )
200 103 (500 150 400 ) 106
1 0.3
σ3
1 2E
[
2
1
应力与应变间的关系
τ xy
右侧面
σx τ xz
x
γ xy
γ yz
γ zx
O
∠ xOy ∠ yOz
∠zox 。
z
σz
前面
2、各向同性材料的广义胡克定 、 律
(1)线应变的推导 线应变的推导 分别单独存在时, 在σx σy σz 分别单独存在时 x 方 依次为: 向的线应变 εx 依次为
x σ
z
x
x σ
εx ' =
σx
τ = Gγ
或
γ=
τ
G
τ γ γ τ
为剪切弹性模量，单位为N/m G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变的关系 σx σy σz τ x y τ y z τ z x εx ε y ε z γ x y γ y z γ z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定 ） (a)三个正应力分量 拉应力为正 (a)三个正应力分量 三个正应力分量：拉应力为正
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 因此 该圆筒变形后的厚度并无变化 仍然为 t =10mm .
G G G
在线弹性范围内, 小变形条件下, 在线弹性范围内 小变形条件下 各向同性材料。 各向同性材料。
1 εx = σx ν (σ y +σz ) E 1 E
[
]
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 在线弹性范围内 小 变形条件下, 变形条件下 各向同性材 料。
ε y = [σ y ν (σz +σx )]
ν ν ε z = (σ x + σ y ) = (τmax + τmax ) = 0 E E
同理可得,圆筒中任一点 该点到圆筒横截面中心的距离为 该点到圆筒横截面中心的距离为ρ 同理可得 圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为ρ) 处 的径向应变为
应力应变之间关系
我所认识的应力与应变的关系弹性与塑性应变的关系：一维：胡克定律弹性变形三维：广义胡克定律屈服条件应力曾变与增量之间的关系—增量理论塑性变形比例变形时全量理论低碳钢拉伸应力应变曲线：σO O’ O’’εOB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。
在弹性变形阶段，应力与应变之间的关系满足胡克定律，即：σij =Cijklεkl。
应力与应变的关系可以近似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。
因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。
J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。
其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。
应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。
物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换能量，物体的总能量发生变化。
热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即udu U ⎰=。
应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ij ij u εσ21=。
格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ij ij ij u εεσ∂∂=)(，该公式适用于所有弹性体。
应力分析、应变分析的结果适合于连续介质力学的所有问题，与材料物质特性无关。
本构关系的影响因素有：材料、环境、加载类型、加载速度，用函数表达式表示为：),,(T t f εσ=单一曲线假设认为不管何种应力状态，加载时，应力强度和应变强度的关系是一种单一曲线关系，可由简单加载的应力应变获得。
等向强化模型是认为加载时，在各个方向强化的程度相同。
随动强化模型是认为一个方向强化的程度等于相反方向弱化的程度。
应力和应变之间的关系
应力和应变的关系曲线
描述
应力和应变的关系曲线是描述应力与应变之间关系的图形表示。
形状
在弹性范围内，曲线呈直线上升；超过弹性极限后，曲线出现弯曲。
应用
通过应力和应变的关系曲线，可以确定材料的弹性模量、屈服点和 极限强度等机械性能参数。
04
应力和应变的应用
弹性力学
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下 变形和内力的规律的科学。在弹性力学 中，应力和应变是描述物体变形和受力 状态的基本物理量。
公式
σ=Eεsigma = E varepsilonσ=Eε
解释
σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。 当应力增加时，应变也相应增加， 且两者成正比关系。
非线性关系
描述
当材料受到超过其弹性极限的应力时 ，应力与应变之间的关系不再是线性 的，而是呈现非线性关系。
特征
在非线性阶段，应变随应力的增加而 急剧增加，可能导致材料发生屈服或 断裂。
设计优化
优化结构设计
通过对应力和应变的分析，优化结构设计，提高结构的承载能力 和稳定性。
考虑材料特性
在设计过程中，充分考虑材料的力学特性和性能，合理选择和使 用材料，以降低应力和应变对结构的影响。
引入减震和隔震措施
通过引入减震和隔震措施，降低地震等外部载荷对结构产生的应 力和应变，提高结构的抗震性能。
时间
蠕变
在长期恒定应力作用下，材料会发生 缓慢的塑性变形，即蠕变。蠕变会影 响材料的应力和应变关系，特别是在 高温和长期载荷作用下。
时间依赖性
某些材料的力学性能会随时间发生变 化，对应力和应变的关系产生影响。 例如，疲劳和时效等现象会导致材料 性能随时间发生变化。
07
应力和应变在工程实践中的 注意事项
工学材料性能材料在静载下的力学性能
↑σYS→δ↓
复相钢：（即能提高σYS，又能↑δ）
a. 铁素体+马氏体钢 b.γ+M,或γ+贝
氏体
利用多相组织增强形变强化的例子，利用受力
变形时γ→M是第28形页/共变55硬页 化作用增强的特点，达 到推迟颈缩的目的。
图1-10 贝氏体-奥氏体钢的应力应 变曲线
图1-9 复相钢的应力应变曲线
（a) 低奥氏体含量
工程上用途不同区别,枪炮材料要求高的比例极限,弹簧材料要求高的弹 性极限
屈服强度σ0. 2或σys : 以规定发生一定的残留变形为标准,通常为0.2%
残留变形的应力作为屈服强度.
第17页/共55页
比例极限σP,弹性极限σel,屈服强度σ0. 2或σys 这三种标准在测量上实际上都是以残留变形为依据
第6页/共55页
弹性比功：1为.应2力.3-应变曲弹线性下弹比性功范围所吸收的
变形功的能力,又称弹性比能，应变比能。
即弹性比功=σe2/2E =σeεe/2 其中σe为材
料的弹性极限，它表示材料发生弹性变形的极限抗
力
第7页/共55页
理论上：弹性极限的测定应 该是通过不断加载与卸载， 直到能使变形完全恢复的极 限载荷。
测定) ,所以,包辛格效应可用来研究材料加工硬化的机制.
工程上:
材料加工工艺时,需要注意或考虑包辛格效应. 输油管UOE工艺 包辛格效应大的材料，内应力较大。 包辛格效应和材料的疲劳强度也有密切关系
第14页/共55页
清除包辛格效应的方法
预先进行较大的塑
性变形,或在第二次反向
受力前先使金属材料于
性变形方式,孪晶变形可以调整滑移面的方向, 使新的滑移系开动,间接对塑性变形有贡 献.(滑移受阻→孪第1生6页/,共变55页形速度加快)
最新应力与应变之间的关系
应力与应变之间的关系
4
则可得：
x x x x E 1x y z
同理可得：
yE 1yxz
z E 1zxy
对切应力分量与切应变的关系，有：
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
应力与应变之间的关系
5
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：
x
1 E
x
y
y
1 E
y
xy
1 G
xy
应力与应变之间的关系
6
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
1
2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3 2 1 3 3 1 2
二向应力状态：
设 3 0,
1
有
2
3 应力与应变之间的关系
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
x, y, z; xy, yz, zx
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为
正，反之为负。
对应的六个应变分量，
x, y, z, x,y y,z zx
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
2 0
即为平面应力状态，有
1 E113
3 E131
应力与应变之间的关系
9
联立两式可解得：
11 E 2132 11 0 .1 32 0 90 24 0.0 316 1 06 0
应力与应变间的关系
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ1 σ2 15.5MPa , σ3 30MPa
体积应变和最大剪应力分别为
1 2
E
(1
2
3)
1.95 104
max
1 2
(1
3
)
7.25MPa
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:
y
1 E
[ y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
(2)剪应变的推导
剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
xy
xy
G
yz
应力与应变关系
一、应力与应变1、应力在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。
通常的术语“应力"实际上是一个叫做“应力张量” （stress tensor ）的二阶张量。
概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。
具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二,那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。
很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。
对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。
2、应变应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。
因此是一个无量纲的物理量。
在直杆模型中,除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变"，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径)改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。
对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。
3、本构关系应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。
E σε=（应力=弹性模量＊应变） 4、许用应力（allowable stress ）机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。
要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低,需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力.凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。
许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。
失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。
5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系塑性材料(大多数结构钢和铝合金)以屈服极限为基准,除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。
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P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上的压应力为
yP A30 0 .1 1 20 3 0
y x
3M 0 Pa
x
(b) Z z
1[ ( )]0
x Ex
y
z
由
1[ ( )]0
z Ez
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.314-(01.3042.34)(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ 1 σ 2 1 .5 M 5 σ P 3 3 a M 0 ,P
体积应变和最大剪应力分别为
1 E 2(123 ) 1 .9 5 1 4 0
max 1 2(13)7.25MPa
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点 处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。
在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为
y E 1[y (z x)] z E 1[z (x y)]
(2)剪应变的推导 剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。
右侧面
σx
τ xz x
前面
2、各向同性材料的广义胡克定
z
律
(1)线应变的推导
σ x
在x y z 分别单独存在时, x 方
x
σ x
向的线应变 x 依次为:
σ y
x '
x
E
" y
x
E
"' z
x
E
σ z
σ z
σ y
在x y z同时存在时, x方向的线应变x为
1 x E x (y z )
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
σx
τ xz
x
前面
图中表示的均为正方向
线应变: 以伸长为正,
y
缩短为负。
剪应变: 使直角减小者为正,
增大者为负。x
xOy yOz zox 。
O
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ1σ3τxy σ2 0
代入得
1E2(123)
12
E
(xy
xy
0)
0
可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪 应力不引起各向同性材料的体积改变。
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
dx
3
1
dy
dz
V ' d ( 1 x 1 ) d ( 1 y 2 ) d ( 1 z 3 )
体积应变为
V 'V
V
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3 ) dxdydz
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3 ) dxdydz
dxdydz
1 2 3
o
压应力为负。 z
σy
上面
τ yx
τ yz
τ xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
x
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
x
1 E
x
(y
z)
y E1[y (z x)]
z E1[z (x y)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小
变形条件下, 各向同性材 料。
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
xE 1(xy) yE 1(yx)
zE(xy)
xy
例题7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为
1240106 , 3160106 。构件材料为Q235钢，其弹
性模量E=210GPa，泊松比=0。3。求该点处的主应力值，
并求该点处另一主应变2的数值和方向。
ε2
物体表面 σ2 =0
ε3
ε1 σ3
σ1
解： 1 , 2 , 3 与 1 ,2 ,3一，一对应。
二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变的关系
x y z x y y z z x
y
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
由于构件自由表面，所以主应力2=0。 所以该点为平面应力状态。
由 解得
1E 1(13) 3E 1(31)
11 E 2(13)4.4 3MPa
31E 2(31)2.3 0MPa
该点处另一主应变2的数值为
2 E (1 3 ) 3.3 4 1 6 0
2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的 外法线方向。
123
将广义胡克定律
1E 1[1(23)] 2E 1[2(31)] 3E 1[3(12)]
代入得
1 E 2(123)
在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变
只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有
1E2(xyz)
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的 体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正 应力之和成正比, 而与剪应力无关。
xy
G
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1E 1[1(23)] 2E 1[2(31)] 3E 1[3(12)]
(7-7-6)
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
1E 1(12) 2E 1(21)
3E(12)
材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:
G E 2(1 v)
四、各向同性材料的体积应变
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为: