北师大版数学高一必修1学案第三章3.5对数函数

第1课时 对数函数的概念 对数函数y ＝log2x 的图像和性质

[核心必知]

1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：

一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：

我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数．

2．反函数

指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质

图像

性质

(1)定义域：(0，＋∞)

(2)值域：R

(3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0

[问题思考]

1．函数y ＝log 3x (x >0)，y ＝log 12x (x >0)，y ＝2log 2x ，y ＝log 12x 2都是对数函数吗？为什么？

提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是

对数函数．

因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 12x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y ＝log 1

2x 2等都不

是对数函数．

2．函数y ＝log a x 2与y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)是同一个函数吗？为什么？ 提示：不是，因为定义域不同．

3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 有何关系？

提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称； (2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x 的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域．

(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x 的单调性一致，即都是增函数．

讲一讲

1．求下列函数的定义域．

(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x )． [尝试解答] (1)要使函数有意义，

需有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧

x <1，

log 2(1－x )≤0，

解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．

(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧

x －1>0，

16－4x

>0，x ＋1>0，

x ＋1≠1，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1

求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．

练一练

1．求下列函数的定义域． (1)y ＝1－log 2x ；

(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1

.

解：(1)要使函数有意义，需有⎩

⎪⎨⎪⎧

x >0，

1－log 2x ≥0，

即0

∴所求函数的定义域为(0,2]．

(2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1＞0，－x ＞0，

log 2

(－x )＋1≠0.

即－1＜x ＜0且x ≠－1

2

.

∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫－1

2，0.

讲一讲

2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x .

[尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x . (2)y ＝3.05x 的反函数是y ＝log 3.05x .

函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．

练一练

2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫13x

. 解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x . (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x . (3)y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的反函数为y ＝log 13x .

讲一讲

3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题． (1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围； (2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值． [尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．

(1)因为y ＝log 2x 是增函数， 若f (a )＞f (2)， 即log 2a ＞log 22， 则a ＞2.

所以a 的取值范围为(2，＋∞)．

(2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，

∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.

∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.

(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．

(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．

练一练

3．(1)比较log 245与log 23

4的大小；

(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， 又∵45＞34，∴log 245＞log 23

4

.

(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21， ∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1. ∴x 的取值范围为(－∞，1)．

当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？

[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．