离散数学 代数结构
离散数学代数结构
因此当x 1/2时，x/(1+2x)是x的逆元，1/2无逆元.
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群的性质：消去律
设G = {a1, a2, … , an}是n阶群，令aiG = {ai aj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n. 必有aj , ak∈G使得 ai aj = ai ak （j ≠ k） 由消去律得 aj = ak , 与 |G| = n矛盾.
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子群判定定理3
设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当
a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1∈H.
图2
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陪集的基本性质
设H是群G的子群，则a,b∈G有 a∈Hb Ha=Hb 证 充分性. 若Ha=Hb，由ea∈Hb 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
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子群判定定理2
G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，由上步知b1∈H， 从而a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
离散数学中的代数结构和置换群
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。
在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个重要例子。
代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。
它包括集合，运算和运算性质。
集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。
运算指的是将集合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。
运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。
在代数结构中，置换群是一种重要的结构。
置换是一种改变事物次序的方法，它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。
置换群是一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。
置换群可以描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。
置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作为第二个置换的作用对象来实现。
例如，设置换π1表示将物体的位置1和位置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。
正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。
封闭性指的是任意两个置换的合成结果仍然是一个置换。
结合律是指对于置换群中的任意三个置换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。
单位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。
在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。
对于每个置换a，都存在一个逆置换a'，使得a * a' = a' * a = e，其中e是置换群的单位元。
逆元表示将一个置换的操作逆向执行，可以将置换还原为原来的状态。
置换群不仅在离散数学中有重要应用，还在计算机科学、物理学和化学等领域中得到广泛应用。
在计算机科学中，置换群可以用于密码学中的置换密码，用于保护数据的安全性。
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学代数结构2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学-近世代数-代数结构
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
d
b
a
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d
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c
c
b
c
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*
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
《离散数学》第六章代数结构
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第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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离散数学课件 第五章 代数结构_1
例：P182 例题9，10，11，12
例：设X={e,a,b,c,d}，*是X上的二元运算，*的 运算表如下。 从表中可知，<X，*> * e a b c d 是代数系统，e是关于* e e a b c d 的幺元。X中无零元。 a a a a e e 表中 b*c=c*b=e； b b a a e e b*d=d*b=e，故c和d均 c c e e c c 为b的逆元，即b的逆元 d d e e c c 不唯一。原因在于运算 *不满足结合律。 从本例还可以看到a的逆元也是c, d。 运算*满足可交换性，但不满足等幂性。
子独异点
定义5-3.3 设代数结构<S,>为半群，若BS且 在B上封闭， B含有<S,>关于 运算的幺元,那么 <B, >称为子独异点，或子幺半群。
独异点举例
设Σ是一个非空有限集合，称为字母表，由 Σ中有限个字母组成的有序集合（即字符串）称 为Σ上的一个字，串中的字母个数m称为字长， m=0时，称为空字，即为单位元，记为e。Σ∗表示 Σ上的字的集合，Σ∗上的连接运算· 定义为α， β∈Σ∗，α· β=αβ，则<Σ∗，· >是一个代数系 统，而且是一个独异点, 是在计算机科学中自动 机理论及形式语言中最基本的结构。Σ∗的任一子 集就称为语言。
(2)如果对于任意的x,y,z∈S 有
(xoy)oz=xo(yoz),则称运算o在S上满足结合律。 (3)如果对于任意的x∈S有xox=x,则称o运算在 S上满足幂等律（等幂律）。
二元运算的主要算律（续）
定义 设o和*为S上两个不同的二元运算, (1)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x*y)oz=(xoz)*(yoz) 和 zo(x*y)=(zox)*(zoy), 则 称o运算对*运算满足分配律。 (2)如果o和*都可交换,并且对于任意的x,y∈S 有xo(x*y)=x和x*(xoy)=x,则称o和*运算满足吸收 律。
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学代数结构代数运算习题及答案
第4章:代数结构§4.1 代数运算习题4.11. 判断下列集合对所给地二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法与普通乘法运算,其n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法与普通乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通加法与普通乘法运算。
（4）集合}2|{+∈==Z n x x S n ，关于普通加法与普通乘法运算。
（5）n 阶)2(≥n 实可逆矩阵集合)(ˆR n M 关于矩阵加法与矩阵乘法运算。
对于封闭地二元运算,判断它们是否满足交换律,结合律与分配律,并在存在地情况下求出它们地单位元,零元与所有可逆元素地逆元。
解（1）封闭。
满足交换律,结合律与分配律,普通加法单位元0,没有零元,每个元素地逆元是其相反数。
普通乘法零元是0,如果n =1时有单位元1,只有1有逆元1自已,其它元素没有逆元。
如果n >1时,没有单位元。
（2）对普通加法不满足封闭。
对普通乘法满足封闭性,满足交换律,结合律。
没有零元,单位元是1,只有1有逆元1自已,其它元素没有逆元。
（3）对普通加法不满足封闭。
对普通乘法满足封闭性,满足交换律,结合律。
零元是0,单位元是1,只有1有逆元1自已,0没有逆元。
（4）对普通加法不满足封闭。
对普通乘法满足封闭性,满足交换律,结合律。
没有零元与单位元。
（5）封闭。
矩阵加法运算满足交换律,结合律,矩阵乘法满足结合律,不满足交换律。
矩阵加法与矩阵乘法满足分配律。
矩阵加法有单位元n 阶零矩阵,没有零元,每个矩阵地逆元是其相反矩阵。
矩阵乘法零元是n 阶零矩阵,单位元是n 阶单位矩阵,奇异矩阵没有逆元,非奇异矩阵有逆元,即其逆矩阵。
2. 判断下列集合对所给地二元运算是否封闭。
（1）正实数集合+R 与*运算,其*运算定义为: b a b a b a b a --⋅=*∈∀+，，R（2）2}{21≥=n a a a A n ，，，， 。
离散数学讲义之代数结构
11
•
定理 8.1.1 对于A ,B , C, D Σ* , φ 为空语言，则有 （1）A φ =φ A =φ （2）A {ε }={ε}A=A （3） （AB )C=A(BC) (4) A B ∧C D A C B D
Hale Waihona Puke 12• 由于语言是集合，故集合运算的一些概念可推广到语言上来。
的一个有穷序列。例如： U = abbaabd 都是字母表 Σ={ a，b，c，d }上的字。 为了叙述上的方便，aa 记为 a ，aaa 记为 a ，等等。此外，空序列也看成 Σ 上的一个 字，用 ε 表示空字。而用 Σ 表示 Σ 上全体字组成的集合。
* 2 3
和
V = abccdaa
9
•
对于任意 U，V ∈Σ ，把 V 的字母依次写在 U 的后面就得到 UV∈Σ 。实际上，这相当
2
第八章：半群、语言和自动机
主要内容：半群、语言、语言的表示、文法、正
则文法，形式文法的分类 有限状态自动机，自动 机的实现，自动机的简化；
教学要求：理解半群的概念，理解各种文法的区
别，理解自动机的构造， 掌握自动机工作的机制， 理解正则语言和自动机的对应关
重点：正则语言与自动机的实现 难点：自动机的简化 实践活动：设计输出状态自动机
* 2 *
*
*
于一种封闭运算，即（Σ ） 中的元<U, V>在该运算下的值是 UV∈Σ 。这种运算称为联接。 例如，对前面已给出的 U，V，有 UV = abbaabdabccdaa=ab2 a2 bdabc2 da2 * 对于任意的 U，V ，W∈Σ ，都有 （UV）W = U（VW） 故 Σ* 关于联接运算是一个半群。这一特殊的半群又称为 Σ 上的自由半群（也称为由 Σ 生成的半群） 。
离散数学 代数结构-代数系统
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对 象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数 结构。 代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。 代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值 叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组 成的系统称为一个代数系统，简称代数， 记作： < S ，f1，f2，…，fk > ． 例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
离散数学课件 第五章 代数结构_2
5-7 陪集与拉格朗日定理(群的分解)
定义5-7.1 设<G,>为群,A,Bρ(G),且A≠Φ， B≠Φ，记 AB={ ab aA,bB} 和 A-1= { a-1 aA} 分别称为A，B的积和A的逆。 定义5-7.2 设<H，>为<G，>的子群，那么对任 一 aG ， 称 aH={a*h ｜ h∈H} 为 H 的 左 陪 集 (left coset), 记 为 aH; 称 Ha={h*a ｜ h∈H} 为 H 的 右 陪 集 (right coset),记为Ha。
6
3
2
3
6
1
循环群与生成元
定义5-5.2 设<G,>为群，如果在G中存在元素a,使 得G中的任何元素都可表示为a的幂（约定 a0=e,ak=a*a*…*a(k个)）,称<G,>为循环群，这时a 称为循环群G的生成元。 例1：整数加群<I,+>是循环群，其生成元为 1和-1 。 计算群的生成元是判别一个群是否为循环群的 关键。
∴ {a,a2,,ar}=G ∴ <G,*>是循环群
拉格朗日定理练习
例1.试证奇数阶群所有元素之积等于幺元。 证: 设<G,*>是一个群,e为幺元,则 在G中不存在这样的元素a：ae，a=a-1 ∵ 若a=a-1 则a2=e <{a,e},*> 是<G,*>的子群 又因为|{a,e}|=2，所以由拉格朗日定理可得： 2整除|G|，这与G是奇数阶群矛盾。 所以，∀a∈G，若a≠e,a、a-1总是成对出现 G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,,an,an-1}，其中aiai-1 e*a*a1-1**an*an-1 = e
离散数学代数结构-第九章 代数系统
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运算性质比较
V1
V2
+ 可交换、可结合 + 可交换、可结合
·可交换、可结合 ·可交换、可结合
+ 满足消去律
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 不满足消去律
·对 + 可分配
·对 + 可分配
+ 对 ·不可分配 + 对 ·不可分配
代数系统的定义
代数系统的定义: 一个代数系统< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成： • 一个集合S ，叫做代数的载体； • 定义在载体上的运算f1, f2, …, fm
代数系统
一个集合，叫做代数的载体 – 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 – 一般不讨论载体是空集合的代数结构
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
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实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
+ 与 ·没有吸收律 + 与 ·没有吸收律
V3
∪可交换、可结合
∩可交换、可结合 ∪不满足消去律
∩不满足消去律 ∩对∪可分配 ∪对∩可分配 ∪与∩满足吸收律
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子代数系统
定义9.8 设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B是S的非空子 集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代 数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代 数. 有时将子代数系统简记为B.
离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质
代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质
12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说 明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定 义 12.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算， 等等。
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示 二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一 个代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常 要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。 则在该计算机中由232有限个不同的数字所组 成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构 成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。
2.交换律 给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。
离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环
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群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
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群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
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10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得