柱面锥面旋转曲面与二次曲面

例 2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解
yoz 面上直线方程为 z y cot

z
x 2y
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
平面方程：
抛物柱面方程：
x 2y2ຫໍສະໝຸດ y x只含 x , y 而缺 z 的方程F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征： 实 例
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
§4.1
柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫 柱面的准线， 动直线叫柱面 的母线. 观察柱面的形 成过程:
母线
准 线
柱面举例：
z
M ( x, y, z ) M1 ( x, y,0)
y2 z2 2 1 椭圆柱面， 母线// x 轴 2 b c 2 2 x y z轴 母线 // 双曲柱面 ， 1 a 2 b2 抛物柱面， 母线// y 轴 x 2 2 pz
1. 椭圆柱面
2. 双曲柱面
x y 2 1 2 a b
z
2
2
x2 y2 2 2 1 a b
1
Z
且有 F1 ( x1, y1, z1 ) 0, F2 ( x2 , y2 , z2 ) 0 故x1,y1,z1满足四个等式，消去x1,y1,z1得一个三元方程 F(x,y,z)=0就是所求的柱面方程

例1 柱面的准线方程为
2 2 2 x y z 1 2 2 2 2 x 2 y z 2
z
o
O
y
y
x
x

柱面的一般方程
设柱面的准线方程为
F1 ( x, y , z ) 0 F2 ( x, y , z ) 0
母线的方向数为X,Y,Z，求柱面的方程 设M1(x1,y1,z1)为准线上的任意一点，那么过点M1的 母线方程为 x x y y z z
1
X

1
Y

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与 二次曲面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义： 如果曲面 S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
例1 已知圆锥面的定点为(1,2,3)，轴垂直于平面 2x+2y-z+1=0，母线与轴组成30度角，试求这 圆锥的方程
例 2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
而母线的方向数为-1,0,1，求柱面的方程

例2 已知圆柱面的轴为 点(1,-2,1) 在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程
x y 1 z 1 1 2 2
§4.2
锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一 族直线所产生的曲面叫做锥面.
这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程.
F(x,y,z)=0

锥面的一般方程
设锥面的准线为
F1 ( x, y , z ) 0 F2 ( x, y , z ) 0
顶点为A(x0,y0,z0)的锥面方程。 设M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点，则锥面过点M1的 母线为：
x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
且有 F1 ( x1, y1, z1 ) 0, F2 ( x1, y1, z1 ) 0 从四个等式中消去x1,y1,z1 得一个三元方程，即为所求的锥面

例1 锥面的顶点在原点，且准线为
x2 y2 2 2 1 b a z c
求锥面的方程
特别当顶点在坐标原点时：
若 F (tx, ty, tz ) t n F ( x, y, z ). 方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：

2 2 z x y cot 圆锥面方程
o
y
或
z a x y
2 2 2

2

x
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
反之，以原 点为顶点的锥面 的方程是n次齐次 方程 F(x,y,z)= 0.
锥面的准线不 唯一，和一切母线 都相交的每一条曲 线都可以作为它的 母线.
z
准线
顶点 x
0
y
x y z 2 2 0 2 a b c
椭圆锥面
2
2
2
请同学们自己用截痕法 研究其形状.